王 學(xué) 平

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 問題的產(chǎn)生

所謂半環(huán)[1-2],就是指帶有2個(gè)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)L=(L，+，·，0，1),它滿足:1)(L，+,0)是交換幺半群；2)(L，·,1)是幺半群；3)?r,s,t∈L,r·(s+t)=r·s+r·t與(s+t)·r=s·r+t·r成立；4)?r∈L,0·r=r·0=0成立；5)0≠1。如果半環(huán)的乘法還是交換的,則稱該半環(huán)為交換半環(huán)。如果半環(huán)L滿足對(duì)任意a,b∈L,a+b=0蘊(yùn)含a=0與b=0,則稱該半環(huán)為zerosumfree半環(huán)。半環(huán)這樣的代數(shù)系統(tǒng)是大量存在的,我們熟知的代數(shù)系統(tǒng)環(huán)與域顯然是半環(huán)的特例。如果定義∨=+,∧=·,則容易驗(yàn)證有界分配格是半環(huán)。如果定義max=+,把普通的加法定義為乘法,則易驗(yàn)證(R∪{-∞},+,·,-∞)也是半環(huán),通常我們稱該半環(huán)為max-plus代數(shù)或schedule代數(shù)[3-5]。顯然,前面2個(gè)半環(huán)均為交換的zerosumfree半環(huán)。

如果半環(huán)L的元a滿足:存在b∈L使得ab=ba=1,則稱a是乘法可逆的,記U(L)={a:a是半環(huán)L上乘法可逆元}，稱b為a的可逆元,易見,a的可逆元b是唯一的,記為a-1。如果半環(huán)L的元a滿足對(duì)任意b,c∈L,a+b=a+c蘊(yùn)含b=c,則稱元a是可消的。如果半環(huán)L的每個(gè)元都是可消的,則稱半環(huán)L是可消的(cancellative semiring)。如果半環(huán)L的元a滿足:對(duì)任意b,c∈L,ab=ac蘊(yùn)含b=c,則稱元a是乘法左可消的。類似可定義乘法右可消元。如果元a既是乘法左可消的又是乘法右可消的,則稱a是乘法可消的。如果對(duì)任意a,b∈L,存在元r∈L使得a+r=b或a=b+r,則稱半環(huán)L是yoked的(yoked semiring)，稱無零因子半環(huán)為整半環(huán)(entire semiring)[2]。如果半環(huán)L的元r滿足:對(duì)任意a,b∈L,r=a+b蘊(yùn)含r=a或r=b,則稱元r是可加既約元[6]。

為描述如醫(yī)療診斷等復(fù)雜系統(tǒng),1976年,Sanchez開始了完備Brouwer格上模糊關(guān)系方程的研究[7],給出了模糊關(guān)系方程有解的充要條件,并在有解時(shí)給出了模糊關(guān)系方程最大解的表述公式。從本質(zhì)上來說,完備Brouwer格上的模糊關(guān)系方程就是有界分配格上線性方程,即方程A⊙x=b或

(1)

其中,A=(aij)m×n與b=(b1,b2,…,bm)T為已知的，而x=(x1,x2,…,xn)T是未知的。

1960年,為解決調(diào)度以及分離事件等問題,R.A.Cuninghame-Green開始研究max-plus代數(shù)上線性系統(tǒng)A⊙x=b或

(2)

其中,A=(aij)m×n與b=(b1,b2,…,bm)T為己知的,而x=(x1,x2,…,xn)T是未知的。max-plus代數(shù)上線性代數(shù)理論提供了用線性方法求解非線性問題的數(shù)學(xué)理論和方法,被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)問題、運(yùn)輸問題、資源分配及信息處理等[4-5],最典型的例子就是飛機(jī)的起飛時(shí)間問題的求解。

由于有界分配格和max-plus代數(shù)都是半環(huán)的特例,因此完備Brouwer格上模糊關(guān)系方程與max-plus代數(shù)上線性系統(tǒng)方程都是半環(huán)上線性方程的特例。因?yàn)橛蚣坝袉挝辉沫h(huán)也是特殊半環(huán),所以大家熟知的經(jīng)典線性方程也是半環(huán)上線性方程的特例。于是一個(gè)自然的問題就是:能否在半環(huán)上統(tǒng)一完備Brouwer格上模糊關(guān)系方程理論、max-plus代數(shù)上線性系統(tǒng)方程理論及大家熟知的經(jīng)典線性方程理論等?也就是說, 我們能否建立半環(huán)上求解線性方程Ax=b或

(3)

的理論?其中,A=(aij)m×n與b=(b1,b2,…,bm)T為己知的,而x=(x1,x2,…,xn)T是未知的

以下分半線性空間、 矩陣的McCoy秩、 廣義Cramer法則進(jìn)行討論, 未交代的概念及符號(hào)參見文獻(xiàn) [8]。

2 半線性空間

對(duì)經(jīng)典線性方程組來說, 要刻畫其解集，核心的問題就是尋找解空間的基,即方程組對(duì)應(yīng)齊次組的基礎(chǔ)解系。對(duì)max-plus代數(shù)上線性方程組的研究也揭示了這一規(guī)律。因此，要研究半環(huán)上線性方程(3)的解,我們首先來建立半環(huán)上線性空間,我們稱半環(huán)上的線性空間為L(zhǎng)-半線性空間(L-semilinear space)。其定義如下:

定義2.1[1-2]設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉為半環(huán),A=〈A,+A,0A〉為交換幺半群。如果外積*:L×A→A滿足?r,r′∈L,a,a′∈A,

1)(r·r′)*a=r*(r′*a),

2)r*(a+Aa′)=r*a+Ar*a′,

3)(r+r′)*a=r*a+Ar′*a,

4)1*a=a,

5)0*a=r*0A=0A,

則稱〈L,+,·,0,1;*;A,+A,0A〉為左L-半模。類似可給出右L-半模的定義。

易見,如果(L，+,·,0,1)是有單位元的環(huán)且A是Albel群,則定義2.1是模的定義[9]。特別地,如果(L，+,·,0,1)還是域,則定義2.1退化為線性空間的定義[10-11]。

稱半環(huán)L上的半模為L(zhǎng)-半線性空間。這里的半模或是左L-半模,或是右L-半模。

例2.1 (a)設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉是半環(huán)。對(duì)n≥1,令

其中(a1,a2,…,an)T表示(a1,a2,…,an)的轉(zhuǎn)置。對(duì)任意的x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T∈Vn(L)和r∈L,定義

x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)T,r*x=(r·x1,r·x2,…,r·xn)T，

則Vn=〈L,+,·,0,1;*;Vn(L),+,0n×1〉是L-半線性空間。其中,0n×1=(0,0,…,0)T。設(shè)

類似地,按照以上方法定義運(yùn)算“+”和“*”,則Vn=〈L,+,·,0,1;*;Vn(L),+,01×n〉是L-半線性空間，其中,01×n=(0,0,…,0)。

(b)設(shè)X≠?,L=〈L,+,·,0,1〉是半環(huán)。令A(yù)=LX={f:f:X→L}，對(duì)任意的f,g∈A及r∈R,定義

f(x)+Ag(x)=f(x)+g(x)及r*f(x)=r·f(x)對(duì)任意x∈X成立。

又設(shè)0A:X→L滿足:對(duì)任意x∈X,0A(x)=0，則A=(L,+,·,0,1;*;A,+A,0A)是L-半線性空間。

以下在不會(huì)引起混淆的情況下,在L-半線性空間〈L,+,·,0,1;*;A,+A,0A〉中,對(duì)任意的r∈L,a∈A,我們將用ra代替r*a。我們引入線性相關(guān)、線性無關(guān)及基的概念。

定義2.2[12]設(shè)〈L,+,·,0,1;*;A,+A,0A〉為L(zhǎng)-半線性空間，稱表達(dá)式λ1a1+A…+Aλnan為A中向量組a1,…,an的線性組合。其中,λ1,λ2,…,λn∈L為標(biāo)量(也稱系數(shù))。若向量x能表示為向量組a1,…,an的線性組合,則稱向量x能被向量組a1,…,an線性表出(或線性表示)。

定義2.3[12]在L-半線性空間中,單個(gè)向量a是線性無關(guān)的。若向量組a1,…,an(n≥2)中的任意向量都不能被其余向量線性表出,則稱該向量組是線性無關(guān)的。否則,稱向量組a1,…,an是線性相關(guān)的。如果有無限個(gè)向量的向量組中任意有限個(gè)向量都是線性無關(guān)的,則稱該向量組是線性無關(guān)的。

值得指出的是,按照定義2.3,單個(gè)的零向量也是線性無關(guān)的,這與經(jīng)典線性代數(shù)很不相同。事實(shí)上,我們僅需注意到在經(jīng)典線性代數(shù)中,對(duì)零空間沒定義維數(shù)這一事實(shí)即可[11]。另一方面,由于半環(huán)中元關(guān)于乘法不一定可逆；因此,即使λi≠0,λj≠0(1≤i≠j≤n),我們也不能由λiai=λjaj推出向量組a1,…,an線性相關(guān)。為此,我們引入如下定義。

定義2.5[8]稱非半線性相關(guān)的線性無關(guān)向量組a1,…,an(n≥2)為強(qiáng)線性無關(guān)向量組(a set of strongly linearly independent vectors)。

注2.1 半環(huán)上向量組線性相關(guān)或無關(guān)的定義[1,4,13-15]有很多。特別地,Celchlarova等在文獻(xiàn)[15]中給出了bottleneck代數(shù)(一類特殊半環(huán))上向量組線性相關(guān)的3組9種不同的定義方式,它們一般不是等價(jià)的[16]。

設(shè)G是L-半線性空間A的非空子集,如果L-半線性空間A中任意向量都能由集合G中向量線性表出,則稱G是L-半線性空間A的生成集[13]。如果L-半線性空間A的元至多能被非空子集G中元以一種方式表出,則稱G是自由的。顯然,自由集一定是線性無關(guān)的。

定義2.6[2,17]稱L-半線性空間A中線性無關(guān)的生成集為A的基。特別地,稱L-半線性空間A的自由生成集為自由基(a free basis)，稱有自由基的L-半線性空間A為自由的。

易見,Vn與Vn都是自由的L-半線性空間。

與經(jīng)典線性空間不同的是，半環(huán)上構(gòu)成L-半線性空間的基的基數(shù)一般不唯一[12]。

因此,一個(gè)有趣的問題是:在什么樣的條件下,L-半線性空間的基的基數(shù)一定唯一?

可以證明,定義在模糊代數(shù){[0,1],max,min}及max-plus代數(shù)上的L-半線性空間的基的基數(shù)一定唯一[12,18]。2010年,趙姍和王學(xué)平給出了定義在交換的zerosumfree半環(huán)上L-半線性空間Vn的基的基數(shù)唯一的一個(gè)充分條件[6]。特別地,他們?cè)?011年證明了:定義在完備并半環(huán)上的L-半線性空間Vn的基的基數(shù)是n的充要條件是1是并既約元[19]。這一結(jié)論被舒乾宇和王學(xué)平推廣到了交換的zerosumfree半環(huán)上,進(jìn)一步,舒乾宇和王學(xué)平還證明了:定義在交換的zerosumfree半環(huán)上L-半線性空間Vn的基的基數(shù)是相等的充要條件是Vn的每個(gè)向量能被基唯一表出[20]。該充要條件被譚宜家推廣為如下定理[17]:

定理2.1 設(shè)A為交換半環(huán)L上有限生成的自由L-半線性空間,則A的基有相同基數(shù)的充要條件是每個(gè)基都是自由的。

設(shè)K(L)=max{t∈N:L-半線性空間V1有t個(gè)元的基}。譚宜家還證明了下面定理[17]:

定理2.2 設(shè)L為交換半環(huán),則下面條件等價(jià):

1)K(L)=1;

2)對(duì)任意u,v∈U(L),1=u+v蘊(yùn)含u∈U(L)或v∈U(L);

3)有限生成的自由L-半線性空間A的任意兩個(gè)基有相同的基數(shù)。

由于Vn是有限生成的自由L-半線性空間,因此由定理2.2易得下面推論。

推論2.1[17]設(shè)L為交換半環(huán),則K(L)=1的充要條件是L-半線性空間Vn的基的基數(shù)是n。

2013年,在交換的zerosumfree半環(huán)L上,Kanan等[21]證明了:L-半線性空間Vn的基的基數(shù)是n的充要條件是L-半線性空間V1的基的基數(shù)是1。2014年,該結(jié)論被推廣到了交換半環(huán)上:

定理2.3[22]設(shè)L為交換半環(huán),則L-半線性空間Vn的每個(gè)基有相同基數(shù)的充要條件是Vn的每個(gè)向量可被基惟一線性表出。

定理2.4[22]設(shè)L為交換半環(huán),則L-半線性空間Vn的每個(gè)基的基數(shù)是n的充要條件是V1的基的基數(shù)是1。

由推論2.1與定理2.4易證下面推論成立。

推論2.2 設(shè)L為交換半環(huán),則K(L)=1的充要條件是V1的基的基數(shù)是1。

值得指出的是,Kim等1980年研究半環(huán)上L-半線性空間Vn時(shí)把空間的極小生成集(a minimal spanning set)定義為Vn的基(注:這里所說的極小,是從集合包含來說的),由此證明了定義在模糊代數(shù){[0,1],max,min}上有限生成空間的任意2個(gè)基的基數(shù)是相等的[13]。

3 矩陣的McCoy秩

與經(jīng)典線性代數(shù)一樣,矩陣的秩對(duì)判別線性方程組(3)是否有解特別重要。對(duì)半環(huán)上矩陣的秩進(jìn)行研究的論文較早見于Kim等[13],他們用矩陣的行空間與列空間的最小生成集(the smallest possible size of a spanning set)來定義矩陣的秩。即,如果該2個(gè)空間的最小生成集的基數(shù)相等就定義這個(gè)基數(shù)為矩陣的秩,否則分別稱為矩陣的行秩與列秩。2010年,借助于雙行列式,Perfilieva等[26]給出了矩陣秩的另一種定義方式。為敘述方便,先給出下面定義。

定義3.1[23]設(shè)L為半環(huán),對(duì)任意b,c∈L,如果b=c,則定義(b,c)≡0。設(shè)半環(huán)L是可消的,對(duì)任意a∈L,如果存在a+,a-∈L使a+a-=a+,則定義a≡(a+,a-)。

定義3.2[8]設(shè)(a,b),(c,d)∈V2(L)。定義：

1)(a,b)≈(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)存在r∈L使a+r=c,b+r=d或a=r+c,b=r+d成立；

2)(a,b)(c,d)=(a(c,d),b(c,d))=((ac,ad),(bc,bd))=(ac+bd,ad+bc)。

以下設(shè)L為半環(huán),記Mm×n(L)={(aij)m×n:aij∈L}。特別,記Mn(L)=Mn×n(L),用In表示n×n單位矩陣。矩陣的乘法、加法及數(shù)乘與經(jīng)典線性代數(shù)中一樣,不再贅述。

定義3.3[24]設(shè)A∈Mm×n(L),用P與Q分別表示{1,2,…,n}的偶置換與奇置換之集。定義矩陣A的雙行列式det(A)為序?qū)?/p>

det(A)=(det1(A),det2(A))。

其中,

由定義3.1易見,det(A)?0當(dāng)且僅當(dāng)det1(A)≠det2(A)。

注3.1 在文獻(xiàn)[25]中,|A|+=det1(A),|A|-=det2(A)，因此,det(A)=(|A|+,|A|-)。

設(shè)A∈Mm×n(L),B為A的s×s子矩陣,1≤s≤min{m,n},稱det(B)為矩陣A的s階子式。

下面是Perfilieva與Kupka給出的矩陣秩的定義[26]。

定義3.4 設(shè)A∈Mm×n(L),稱A的不為零的最大子式的階s為矩陣A的秩，記矩陣A的秩為r(A)。

用Ab表示線性方程組(3)系數(shù)矩陣A的增廣矩陣,其中b=(b1,b2,…,bm)T。于是基于定義3.4,我們有下面判定半環(huán)上線性方程組(3)有解的Kronecker-capelli定理。

定理3.1[26]在交換半環(huán)L上,如果線性方程組(3)有解,則r(A)=r(Ab)。

文獻(xiàn)[26]中例2.1告訴我們,定理3.1的逆一般不成立,也就是說,定理3.1僅能用于判別線性方程組(3)無解的情況。為此,舒乾宇和王學(xué)平[27]對(duì)定義3.4進(jìn)行了如下改造。

定義3.5[20]如果L-半線性空間A的每個(gè)基的基數(shù)相等,則稱基的基數(shù)為A的秩或維數(shù),記為dimA。

應(yīng)該指出的是,定義3.4與定義3.6本質(zhì)上是不一樣的。

(x,y)=x1y1+x2y2+…+xnyn。

易見,對(duì)任意的x,y∈Vn及k∈L,(x,y)=(y,x),k(x,y)=(kx,y)=(x,ky)。

于是,我們有下面判定半環(huán)上線性方程組(3)有解的Kronecker-capelli定理。

定理3.2[27]在交換半環(huán)L上,如果U(L)=L(〗0},且系數(shù)矩陣的列向量組a1,a2,…,an是正交的,則線性方程組(3)有解的充要條件是r(A)=r(Ab)。而且,如果線性方程組(3)有解,則有唯一解。

雖然定理3.2是充分必要的,但遺憾的是,在定理的條件下,如果線性方程組有解,則僅有唯一解,這顯然與客觀事實(shí)不符,因?yàn)槲覀內(nèi)菀渍业接腥舾山獾木€性方程組。為此,我們引入矩陣的McCoy秩,以期獲得更符合實(shí)際的判定半環(huán)上線性方程組有解的Kronecker-capelli定理。

用A≡0表示A={(a,b)∈V2(L):a=b}。

定義3.8[23]設(shè)A是半環(huán)L上m×n矩陣。矩陣A的McCoy秩是最大的t,它滿足:任意y∈V2(L),如果y∈AnnihV2(L)(Ft(A)),則y≡0。其中,Ft(A)是A的所有t×t子陣的雙行列式之集,AnnihV2(L)(Ft(A))={r∈V2(L):rFt(A)≡0}。

易見,矩陣的McCoy秩是環(huán)上矩陣McCoy秩的推廣。由定義3.8容易證明A與AT的McCoy秩是相等的。

考慮半環(huán)L上線性代數(shù)系統(tǒng)

于是有下面兩個(gè)定理[23]:

定理3.3 設(shè)L為交換的可消半環(huán),A∈Mn(L),則矩陣A的McCoy秩小于n的充要條件是方程組Ax≡0有非平凡解。

定理3.4 在交換的可消的yoked整半環(huán)L中,設(shè)A∈Mn(L),且n≥2,則下面結(jié)論等價(jià):

1)矩陣A的列向量或是線性相關(guān)的或是半線性相關(guān)的;

2)方程組Ax≡0有非平凡解;

3)矩陣A的McCoy秩小于n;

4)det(A)≡0。

值得指出的是,上面定理3.4除了使用McCoy秩外,與經(jīng)典線性代數(shù)中結(jié)論是一致的。不過,其對(duì)半環(huán)的要求太強(qiáng)。另外,目前還沒有用McCoy秩描述判別半環(huán)上線性方程組有解的Kronecker-capelli定理的報(bào)道。

4 廣義Cramer法則

為敘述方便,以下先回憶可逆矩陣的概念[28]。

定義4.1 設(shè)A∈Mn(L),如果存在矩陣B∈Mn(L)使得AB=In,則稱矩陣A是右可逆的;類似地,可定義左可逆矩陣。如果矩陣A既是左可逆的又是右可逆的,則稱A是可逆矩陣。

1984年,Reurenauer等[28]證明了如下定理。

定理4.1 在交換半環(huán)L上,設(shè)A,B∈Mn(L),如果AB=In,則BA=In。

定理4.2[25]在交換半環(huán)L上,設(shè)A,B∈Mn(L)，如果AB=In,則

1+|A|+|B|-+|A|-|B|+=|A|+|B|++|A|-|B|-。

由行列式的定義3.3及定理4.1及4.2知下面推論成立。

推論4.1 在交換的可消半環(huán)L上,如果A是可逆矩陣,則det(A)?0。

由定理4.1即知,右(左)可逆矩陣一定是可逆矩陣。記可逆矩陣A的逆矩陣為A-1，設(shè)V(L)={a∈L:如果存在b∈L使得a+b=0},則有下面定理。

定理4.3[22]在交換半環(huán)L上,如果A是可逆矩陣,則|A|+∈V(L)或|A|-∈V(L)。

在經(jīng)典線性代數(shù)中,當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣非奇異時(shí)可用Cramer法則描述線性方程組的唯一解。研究求解半環(huán)上線性方程唯一解的Cramer法則的工作最早見于文獻(xiàn)[29]。田振際等[29]在系數(shù)矩陣可逆的條件下給出了求解完全分配格(一類特殊半環(huán))上線性方程唯一解的Cramer法則。2004年,Han等[30]研究了坡(incline,一類特殊半環(huán))上線性方程的Cramer法則。由于完全分配格是坡,從而推廣了田振際等[29]所獲得的Cramer法則。2007年,譚宜家[31]又在交換的zerosumfree半環(huán)上推廣了Han等的工作,即,在系數(shù)矩陣可逆的條件下給出了求定義在交換的zerosumfree半環(huán)上線性方程組唯一解的Cramer法則。

設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉為半環(huán),如果一一映射ε:L→L滿足:對(duì)任意a,b∈S,ε(ε(a))=a,ε(a+b)=ε(a)+ε(b),ε(ab)=aε(b)=ε(a)b;且對(duì)任意a∈V(S),ε(a)=-a，則稱一一映射ε為ε函數(shù)。

設(shè)L=〈L,+,·,0,1〉為有ε函數(shù)的交換半環(huán),A=(aij)∈Mn(L),定義

其中：Sn是n次對(duì)稱群；t(σ)為排列σ的逆序數(shù)。顯然Sn=P∪Q。

設(shè)a1,a2,…,an為線性方程組(3)的系數(shù)矩陣A∈Mm×n(L)的列向量,于是借助于上面的ε函數(shù),譚宜家[32]在交換半環(huán)上給出了系數(shù)矩陣可逆條件下求解線性方程組的Cramer法則。

定理4.4[32]設(shè)L為有ε函數(shù)的交換半環(huán),m=n,如果系數(shù)矩陣A是可逆的,則線性方程組(3)有唯一解

x=(d-1d1,d-1d2,…,d-1dn)T。

其中,d=detε(A),di=detε(Di),Di=(a1,…,ai-1,b,ai+1…,an)是用常值向量b替換系數(shù)矩陣的第i列所得。

上面定理的成立首先依賴于交換半環(huán)L有ε函數(shù),而廖亞林和王學(xué)平在文獻(xiàn)[33]中舉例說明并不是所有交換半環(huán)都有ε函數(shù)(參見文獻(xiàn)[33]第478頁最后一段)。其次,定理還依賴于系數(shù)矩陣A是可逆陣。眾所周知,在經(jīng)典線性代數(shù)理論中,矩陣A可逆等價(jià)于它的行列式不等于0。然而,在交換半環(huán)上,由矩陣A的行列式det(A)?0不一定能推出A是可逆的。

推論4.1與例4.1說明det(A)?0的矩陣比可逆矩陣要廣得多。因此,一個(gè)自然的問題就是:在交換的可消半環(huán)上,當(dāng)系數(shù)矩陣A的行列式det(A)?0時(shí),能否建立求解方程組(3)的Cramer法則?

我們有下面結(jié)論。

det(Di)≈det(A)ri。

其中,Di=(a1,…,ai-1,b,ai+1…,an)。而且,在方程組(3)有解時(shí)有唯一解(r1,r2,…,rn)T。

由定理4.5成立的條件易見,關(guān)于求方程組(3)唯一解的Cramer法則的研究并沒完結(jié)。

5 結(jié)論

眾所周知,半環(huán)上線性代數(shù)包含的內(nèi)容還有許多,如行列式[8,25]、空間維數(shù)公式[34]、可逆矩陣(見文獻(xiàn)[6,22,28,30-33]),以及連接兩個(gè)基的過度矩陣(transition matrix)[17]等。應(yīng)該說,這些內(nèi)容除行列式及可逆矩陣外研究還很不充分,如,目前還僅僅在1是可加既約元的條件下給出了維數(shù)公式。特別地,判別半環(huán)上線性方程組有解的Kronecker-capelli定理作為半環(huán)上線性代數(shù)的核心內(nèi)容,也還沒有一個(gè)更一般的結(jié)論。

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院舒乾宇博士閱讀了論文初稿,并提出修改意見，在此致以誠(chéng)摯的謝意。

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特約專家介紹

王學(xué)平(1965—)，男，漢族，四川遂寧人，中共黨員，理學(xué)博士，四川省學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人，四川省二級(jí)教授，博士生導(dǎo)師。1999年博士畢業(yè)于四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院?，F(xiàn)為美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員、《四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》主編、中國(guó)系統(tǒng)工程學(xué)會(huì)模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)委員會(huì)理事、中國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)模糊信息與工程學(xué)會(huì)委員會(huì)常務(wù)理事、四川省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事。主要從事格理論及其應(yīng)用、不確定性的數(shù)學(xué)理論、半環(huán)理論及其應(yīng)用、max-plus代數(shù)上線性代數(shù)理論與矩陣?yán)碚摰鹊难芯?。已在《中?guó)科學(xué)》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)年刊》《計(jì)算數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)進(jìn)展》《高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》及《SCIENCE CHINA Mathematic》《Fuzzy Sets and Systems》《Information Sciences》《Indian J. pure appl. Math.》《Int. J. General Systems》《Soft Computing》《Linear Algebra and Its Applications》《Linear and Multilinear Algebra》《Studia Logica》《Order》《Computers and Mathematics with Applications》等國(guó)內(nèi)外重要學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文50余篇。已主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目及四川省杰出青年科技基金各2項(xiàng)、教育部高校博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目1項(xiàng)，參與國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目1項(xiàng)。