張東洋，姚小蘭，焦路亮

(北京理工大學 自動化學院，北京 100081)

糾偏控制系統(tǒng)廣泛應用于金屬帶材(如帶鋼、帶鋁等)軋機、縱剪機列和清洗機列等生產(chǎn)中，是帶材處理線上重要的環(huán)節(jié)。其作用是對齊帶鋼的邊部或者使其運行在軋制線中央，從而保證帶鋼軋制產(chǎn)品的質(zhì)量。

典型的帶鋼糾偏控制系統(tǒng)主要由光電傳感器、控制器、伺服系統(tǒng)和糾偏輥組成。當系統(tǒng)正常運行時，帶鋼處于光電傳感器中央，如果帶鋼跑偏，即偏離光電傳感器中央，則由光電傳感器檢測出帶材的位置偏差，并將信號傳輸?shù)诫娍匮b置，經(jīng)過放大等一系列的作用后傳輸?shù)剿欧刂葡到y(tǒng)，伺服系統(tǒng)推動液壓缸以驅(qū)動糾偏輥來調(diào)整帶鋼的位置。帶鋼位置由光電傳感器進行位置跟蹤，當跟蹤位置與設定值相等時，偏差信號為零，處于新的平衡，從而實現(xiàn)帶鋼糾偏。

糾偏控制系統(tǒng)始于20世紀60年代末期，在80年代和90年代有了很大的提高[1]。近年來，由于結構簡單以及參數(shù)整定方便，工業(yè)生產(chǎn)線中常采用傳統(tǒng)的PI/PID控制，但傳統(tǒng)的PI/PID控制很難滿足高精度和快速性的要求。為了進一步提高系統(tǒng)的控制性能，研究者們又提出了智能控制、模糊PID控制和滑模變結構控制等方法[2-3]。在糾偏控制系統(tǒng)回路中(包括位置環(huán)和速度環(huán))，位置環(huán)對擾動以及閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性起主要作用，然而，目前存在的控制方法對系統(tǒng)擾動抑制能力很弱，從而影響了整個控制系統(tǒng)的性能，限制了這些現(xiàn)存方法的實用性；因此，尋找一種有效的控制策略實現(xiàn)高精度、快速、有效的糾偏控制很有必要。

自抗擾控制(ADRC)技術的出現(xiàn)，給帶鋼糾偏控制帶來一種新的思路[4-5]。自抗擾控制技術能夠?qū)崟r估計并補償系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)擾動和外部擾動，是一種響應速度快、算法簡單、精度高、適用范圍廣、抗干擾性強且不依賴于系統(tǒng)的模型的新型反饋線性化控制策略，理論上更適用于以抗干擾為主要任務的糾偏系統(tǒng)。基于此，本文采用自抗擾控制實現(xiàn)了高精度、高抗擾性的帶鋼糾偏系統(tǒng)的控制，并對該控制器的穩(wěn)定性進行證明，總結出基于帶寬法的參數(shù)整定方法，并將自抗擾控制器應用到帶鋼糾偏系統(tǒng)仿真模型中，與工業(yè)PI控制器在跟蹤和抗干擾性能上進行了比較分析，以驗證該控制器設計方法的有效性。

1 帶鋼處理線偏差校正系統(tǒng)模型

在帶鋼高速運行過程中，一些外部因素(如速度、張力和溫度)的變化會引起帶鋼位置偏差，甚至發(fā)生斷帶現(xiàn)象，帶鋼糾偏控制系統(tǒng)主要就是針對帶鋼位置與設定值之間的偏差進行糾正，使帶鋼運行在中心位置。中心位置控制(Central Position Control，CPC)的穩(wěn)定性和抗干擾能力是實現(xiàn)帶鋼穩(wěn)定糾偏控制的前提，因此，為了實現(xiàn)帶鋼的穩(wěn)定控制，需要尋找一種有效的控制方法來隔離擾動的影響。

1.1 系統(tǒng)分析

帶鋼偏差的修正是通過調(diào)節(jié)糾偏輥的擺動來實現(xiàn)的。由于電液伺服控制性能(輸出功率大和動態(tài)響應時間短)優(yōu)于電伺服控制，因此，本文選擇電液伺服系統(tǒng)。文獻[6]已經(jīng)將電液伺服控制系統(tǒng)應用于帶鋼糾偏控制系統(tǒng)中，控制框圖如圖1所示。

圖1 糾偏控制系統(tǒng)結構框圖

1.2 糾偏系統(tǒng)模型

1.2.1 液壓缸模型

本文研究的糾偏系統(tǒng)的液壓缸是一個伺服閥控制的單桿液壓缸。模型的建立包括液壓伺服閥的流量方程、液壓缸流量的連續(xù)性方程以及液壓缸與負載之間的力平衡方程[7]。

本文做如下假設：液壓油源恒壓；液壓伺服閥為零開啟精確定心閥；忽略泄漏和泄漏對系統(tǒng)的影響。

1)液壓伺服閥的流量方程。方程為：

qL=kqxv-kcpL

(1)

式中，qL是負載流量；kq是流量增益；xv是閥門開度；kc是流量壓力系數(shù)；pL是負載壓力。

2)液壓缸流量的連續(xù)性方程。方程為：

(2)

式中，Ap是液壓缸活塞的有效面積；xp是活塞位移；Vt是總壓縮量；βe是有效體積彈性模量。

3)液壓缸與負載之間的力平衡方程。方程為：

(3)

式中，mt是加到活塞上的總質(zhì)量；Bp是活塞和負載的粘滯阻尼系數(shù)；K是負載彈性剛度，F(xiàn)L是作用于活塞的負載流量。

對上述三部分模型進行拉氏變換，得出：

(4)

由式4可以推導出液壓缸的傳遞函數(shù)為：

(5)

除去彈性負載，忽略負載的擾動，式5可以寫成

(6)

在電液伺服系統(tǒng)中，xv不能直接測量，可由無負載流量間接表示為：

Q0=Kqxv

(7)

因此，液壓缸的傳遞函數(shù)為：

(8)

(9)

且需保證液壓缸的頻率：

(10)

1.2.2 電液伺服閥模型

本文研究的系統(tǒng)采用三位四通閥，電液伺服閥的固有頻率是23 Hz，液壓系統(tǒng)的固有頻率是24 Hz。當電液伺服閥的固有頻率與液壓系統(tǒng)的固有頻率接近時，電液伺服閥可以近似為1個二階振蕩連桿[8]，其傳遞函數(shù)為：

(11)

式中，Ksv是伺服閥的流量增益；ωsv是伺服閥固有頻率；ζsv是伺服閥的阻尼系數(shù)；Q0(s)是伺服閥的空載流量；I(s)是伺服閥的額定電流。

(12)

式11的頻域特性為：

(13)

式12的頻域特性為：

(14)

由伺服閥的額定流量Q(s)=6.67×10-4m3/s，伺服閥的額定電流I(s)=0.3 A，燃油壓力Ps=9 MPa，額定壓降Pn=7 MPa，可得：

(15)

根據(jù)糾偏系統(tǒng)的工作情況，查閱所選伺服閥參數(shù)可知：ζsv=0.7，ωsv=144，代入式12，可得：

(16)

1.2.3 傳感器模型

1)帶鋼位置傳感器。帶鋼位置傳感器的范圍為0～500 mm，輸出電壓為-10～10 V。帶鋼位置傳感器可以看成是一個比例環(huán)節(jié)，則其模型為：

(17)

2)液壓缸活塞位移傳感器。由于位移傳感器的固有頻率遠遠高于系統(tǒng)中元件的固有頻率，所以把位移傳感器近似看成比例環(huán)節(jié)。Lw為液壓缸活塞的有效行程，Lw=500 mm，和帶鋼位置傳感器范圍一致；位移傳感器的輸出電壓為-10～10 V，用Iw表示。則液壓缸活塞位移傳感器模型為：

(18)

1.2.4 糾偏輥模型

由于比例積分效應糾偏輥應用廣泛，本文將其作為實例來分析糾偏輥模型的傳遞函數(shù)。查閱相關文獻，比例積分效應糾偏輥有最大旋轉角度，取為5°。如上所述，液壓缸活塞杠的有效行程為500 mm。將液壓缸活塞位移和糾偏輥的旋轉角度近似看作一個比例環(huán)節(jié)，則：

(19)

在這里，選取積分效應糾偏輥為例，帶鋼偏差可以簡化為：

(20)

由于偏差角很小，且sinα≈α，則：

(21)

對式21求導并進行拉氏變換，得到：

(22)

式中，v=150 m/min；d=0.1 m；h=1 m。由式19和式22可得，糾偏輥的傳遞函數(shù)為：

(23)

綜上所述，結合每部分模型的傳遞函數(shù)得到帶鋼糾偏系統(tǒng)控制結構框圖如圖2所示。

圖2 帶鋼糾偏系統(tǒng)控制結構框圖

2 控制系統(tǒng)設計

結合式9和式12，可以得到：

(24)

由于典型I型系統(tǒng)的超調(diào)性能優(yōu)于典型II型系統(tǒng)，但其抗擾性弱，所以，內(nèi)環(huán)采用I型控制器，即PID控制策略，傳遞函數(shù)為：

WPD(s)=K2p(1+τds)

(25)

取微分時間常數(shù)τd=2ζh/ωh，則內(nèi)環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(26)

外環(huán)(位置環(huán))采用抗擾性強的自抗擾控制器，這樣既實現(xiàn)了小超調(diào)量，又達到了抗擾性的目的。

2.1 自抗擾控制器結構

典型的自抗擾控制器組成包括1個跟蹤微分器(TD)、1個擴張狀態(tài)觀測器(ESO)、狀態(tài)誤差反饋(SEF)和擾動補償項。在實際應用中，不需要TD環(huán)節(jié)，且為了減少控制器參數(shù)，常采用線性自抗擾控制結構，即線性狀態(tài)誤差反饋(LSEF)和線性擴張狀態(tài)觀測器(LESO)。

根據(jù)傳遞函數(shù)(式26)，設計1個二階線性自抗擾控制器，控制器結構如圖3所示。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)結構圖

將被控對象(式26)轉化成如下形式：

(27)

(28)

對于式28，按照自抗擾控制的設計方法，利用擴張狀態(tài)觀測器用于系統(tǒng)狀態(tài)和總擾動的估計，其結構為：

(29)

式中，β1,β2,β3為需要確定的擴張狀態(tài)觀測器參數(shù)。

狀態(tài)誤差反饋控制律為：

(30)

式中，kp、kd、b0為控制器參數(shù)；r為參考輸入。

2.2 自抗擾控制器穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)應用的最基本條件之一，針對自抗擾控制器的穩(wěn)定性目前也有很多研究[9-13]。本文將針對二階線性自抗擾控制器進行穩(wěn)定性分析。

結合式28和式29，可以得到觀測器誤差為：

(31)

(32)

很明顯，閉環(huán)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定的，如果式32的特征值都具有負實部，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征值滿足：

(33)

(34)

也就是說，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由式34所示的特征多項式?jīng)Q定的。為了便于分析，令：

(35)

可見，擴張狀態(tài)觀測器和自抗擾控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由帶寬ω0和ωc決定的。根據(jù)項z3/b0可以得出，控制增益b0能夠補償系統(tǒng)擾動項，且大量研究表明，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定域?qū)S著b0的增大而增大。

2.3 參數(shù)整定方法

由式33可以看出，觀測器帶寬ω0、控制器帶寬ωc以及控制增益b0需要整定。

(36)

綜上得出該二階控制器的參數(shù)整定過程為：1)給定ts，令k=4，根據(jù)式37，確定kp、kd；2)根據(jù)式38，計算β1、β2、β3；3)反復調(diào)節(jié)b0，直至滿足系統(tǒng)要求，結束。

3 仿真實例分析

為了驗證本文設計的控制系統(tǒng)的有效性，下述將從跟蹤性能和抗擾性能方面進行仿真分析。仿真參數(shù)見表1。

表1 PID與ADRC仿真參數(shù)

3.1 跟蹤性能

當不加入任何擾動時，設定值為400，跟蹤性能如圖4所示。從圖4中可以明顯看出，本文提出的控制系統(tǒng)的跟蹤性能優(yōu)于PID控制方法。具體的性能比較見表2。

表2 PID與ADRC控制跟蹤性能比較

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤性能

3.2 抗擾性能

當t=5 s時，增加1個控制輸入擾動u1=10時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應如圖5所示。當增加1個正弦擾動時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應如圖6所示。從圖5和圖6可以看出，自抗擾控制方案的抗擾性優(yōu)于PID控制。圖5中，當加入1個控制輸入擾動時，需要大約0.4 s恢復到穩(wěn)定狀態(tài)，且超調(diào)量很??；而PID控制方法需要1.3 s恢復到原穩(wěn)定狀態(tài)，且超調(diào)量很大。圖6中，當加入正弦擾動時，自抗擾控制方案以很小的誤差在穩(wěn)定狀態(tài)上下波動；而PID控制的振蕩很明顯。

圖5 具有控制輸入擾動的位置糾偏控制響應

圖6 具有正弦擾動的位置糾偏控制響應

為了進一步驗證自抗擾控制的抗擾性，加入1個白噪聲擾動，閉環(huán)系統(tǒng)的響應如圖7所示。從圖7可以看出，自抗擾控制方案效果優(yōu)于PID控制方法。

圖7 具有白噪聲擾動的位置糾偏控制響應

綜上所述，本文提出的雙閉環(huán)自抗擾控制方案能夠有效地控制帶鋼糾偏系統(tǒng)，且性能優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制方案。

4 結語

本文主要針對帶鋼糾偏系統(tǒng)設計了雙閉環(huán)自抗擾控制方案，用于實現(xiàn)帶鋼跑偏糾正。設計了1個二階線性自抗擾控制器用于位置外環(huán)控制，內(nèi)環(huán)采用PID控制；并證明了自抗擾控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，總結出了控制參數(shù)整定規(guī)則，提高了所設計控制方案的實用性；對帶鋼糾偏系統(tǒng)進行仿真分析，驗證了自抗擾控制方案的有效性，且具有很強的抗擾性能。

[1] Zhang M Y, Yang H B, Zhang J B, et al. Servo system of harmonic drive electromechanical actuator using improved ADRC[J]. Optics & Precision Engineering, 2014, 22(1):99-108.

[2] Fan K, Yang Q, Yan W, et al. Fuzzy-PID based deviation-correcting control system for laser guided AGV[C]// Proceedings of International Conference on Modeling, Identification & Control. IEEE, 2012.

[3] Wang H, Bao Y. Fuzzy-PID dual mode fuzzy control of the electro-hydraulic deviation control system[C]// International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering. IEEE, 2010.

[4] 韓京清. 自抗擾控制技術[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2009.

[5] 黃一，薛文超. 自抗擾控制：思想，應用及理論分析[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2012, 32(10):1287-1307.

[6] Elbayomy K M. PID controller optimization by GA and its performances on the electro-hydraulic servo control system[J]. 中國航空學報: 英文版, 2008, 21(4):378-384.

[7] 姚靜, 孔祥東, 單東升, 等. 50MN自由鍛造水壓機電液伺服控制系統(tǒng)負載特性分析[J]. 機床與液壓, 2006(8):101-103.

[8] Li F, Wang K, Ma C L, et al. Dynamic modeling and tracking control simulation for large electro-hydraulic servo system[J]. Applied Mechanics & Materials, 2013, 416/417:811-816.

[9] Zheng Q, Gaol L Q, Gao Z. On stability analysis of active disturbance rejection control for nonlinear time-varying plants with unknown dynamics[C]// 46th IEEE Conf. on Decision and control. IEEE, 2007.

[10] Guo B Z, Zhao Z L. On the convergence of an extended state observer for nonlinear systems with uncertainty[J]. System & Control Letters, 2011, 60(6):420-430.

[11] Guo B Z, Zhao Z L. On convergence of nonlinear extended state observer for multi-input multi-output systems with uncertainty[J]. Control Theory & Applications Iet, 2012, 6(15):2375-2386.

[12] Chen Z Q, Sun M W, Yang R. On the stability of linear active disturbance rejection control[J]. Acta Automatica Sinica, 2013, 39(5):574-580.

[13] 陳星. 自抗擾控制器參數(shù)整定方法及其在熱工過程中的應用[D]. 北京：清華大學，2008.

[14] Gao Z. Scaling and bandwidth-parameterization based controller tuning[C]// Proceedings of the American Control Conference. IEEE, 2003.