湖北省廣水市第一高級(jí)中學(xué)(432700) 聶文喜

在近年高考及全國(guó)各地模擬考試中,頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題,學(xué)生面對(duì)此類問題往往束手無(wú)策,本文通過一道高考題探究與此類問題有關(guān)的三個(gè)優(yōu)美結(jié)論,通過具體例子并說明結(jié)論的應(yīng)用.

題目 (2016年高考浙江理科第7題)已知橢圓C1:n＞0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則( )

A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1

C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1

解 設(shè)P為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn),F1,F2為它們的公共焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2n,所以|PF1|=m+n,|PF2|=m-n,所以m＞n,

反思1 本題中橢圓短半軸與雙曲線的虛半軸相等,橢圓離心率與雙曲線離心率之間等量關(guān)系式為如果對(duì)任意兩個(gè)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線,那么橢圓與雙曲線的離心率有何等量關(guān)系式.

反思2 本題中橢圓短半軸與雙曲線的虛半軸相等,橢圓與雙曲線的離心率之積的取值范圍為(1,+∞),如果對(duì)任意兩個(gè)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線,那么橢圓與雙曲線的離心率之積的取值范圍是否為(1,+∞).

反思3若將橢圓和雙曲線的離心率之積改為橢圓和雙曲線的離心率倒數(shù)之和,是否有相應(yīng)的結(jié)論呢?

例1(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(四川初賽))已知F1,F2為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是( )

例2(2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北賽區(qū)預(yù)賽第10題)記共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2,若橢圓短軸長(zhǎng)是雙曲線虛軸長(zhǎng)的2倍,

例3(2014年高考湖北理科第9題)已知F1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且∠FPF=,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大

12值為( )

通過對(duì)高考題的反思與探究,不僅對(duì)解題過程有較為全面的認(rèn)識(shí),還可以使試題的內(nèi)涵與處延得到深入挖掘與拓展,從而達(dá)到做一題、通一類、會(huì)一片,真正實(shí)現(xiàn)在反思中探究,在探究中提升學(xué)生的思維與創(chuàng)新能力.