高海燕

蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州 730020

1 引言

生化研究證明：在趨化因子作用下，生化系統(tǒng)會從均勻穩(wěn)定態(tài)變成不穩(wěn)定的，從而導(dǎo)致系統(tǒng)斑圖生成。這種機(jī)制可以由一個(gè)簡化的化學(xué)反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)（Chemical Reaction Network，CRN）來描述，即 Keller-Segel模型[1-5]。趨化模型的一個(gè)重要性質(zhì)是它豐富的斑圖性質(zhì)，在本文中，試圖考慮一類有失穩(wěn)均勻穩(wěn)定態(tài)的CRN，即一類帶Logistic源項(xiàng)的具有非線性信號動力學(xué)趨化模型[6]：

類似的趨化失穩(wěn)機(jī)制將導(dǎo)致斑圖生成。這里Ω??n是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域。d1,d2,χ,α,β和γ均為正常數(shù)。u(x,t)和v(x,t)分別表示細(xì)胞密度和化學(xué)引誘劑的含量，d1和d2是擴(kuò)散率，χ表示趨化敏感性系數(shù)。α表示細(xì)胞的線性增長率，γ表示在穩(wěn)態(tài)條件下細(xì)胞的密度，β控制化學(xué)引誘劑的生成。這里假設(shè)隨著細(xì)胞密度的增加化學(xué)物質(zhì)的生產(chǎn)達(dá)到飽和，這將防止化學(xué)引誘物隨著細(xì)胞密度的增加而過度產(chǎn)生。

在二維空間中，文獻(xiàn)[6]討論了模型（1）的有限振幅、穩(wěn)態(tài)和空間異構(gòu)解，并且通過數(shù)值模擬顯示，在趨化作用下該模型可以產(chǎn)生豐富且復(fù)雜的空間斑圖。通過關(guān)注邊界條件的作用以及比例與高寬比的影響，文獻(xiàn)[7]研究了模型（1）的斑圖時(shí)空動力學(xué)。當(dāng)α=0,1/γ→0時(shí)，模型（1）退化為經(jīng)典Keller-Segel模型。最近，文獻(xiàn)[8-9]分別討論了僅帶Logistic源項(xiàng)的Keller-Segel模型（1）的非線性不穩(wěn)定性及斑圖生成。對僅具有非線性信號動力學(xué)的趨化模型（1），文獻(xiàn)[10]研究了正常數(shù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;同時(shí)，文獻(xiàn)[11]考慮了不穩(wěn)定正常數(shù)平衡解附近的非線性動力學(xué)性態(tài)。文獻(xiàn)[12-14]也討論了具有一般信號生成機(jī)制和高密度下細(xì)胞退化的趨化模型的趨化交錯(cuò)擴(kuò)散的影響。本文將應(yīng)用Crandall和Rabinowitz的局部分支理論[15]，主要考慮模型（1）在矩形區(qū)域上的分支問題。以趨化敏感性系數(shù)χ為分支參數(shù)，在二維空間區(qū)域詳細(xì)討論非常數(shù)正平衡解的結(jié)構(gòu)以及刻畫時(shí)空斑圖的演化。

2 分支點(diǎn)

易知模型（1）有平凡解（0，0）及唯一正常數(shù)平衡解

模型（1）的平衡態(tài)問題為：

定義Hilbert空間：

F關(guān)于(u,v)在點(diǎn)Ec處的Fréchet導(dǎo)算子記為：

式（2）在Ec處的線性化系統(tǒng)是：

其中(h,k)∈X，且h,k≠0。將h和k表示為Fourier展式形式，即

其中

將式（4）代入式（3），則(hmn,kmn)滿足：

因此，式（3）有非零解當(dāng)且僅當(dāng)對某個(gè)m,n，式（7）有非零解，即對某個(gè)m,n。

從而，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)算子F(u,v)(χ;uc,vc)退化。

因此，當(dāng) χ=χ(m,n),m,n=0,1,2,…,(m2+n2≠0)時(shí)，(χ(m,n),uc,vc)是可能的分支點(diǎn)。例如，χ(1,0)=此時(shí)，dimkerF(u,v)(χ(1,0))=dimkerF(u,v)(χ(0,1))=1。注意到 (m,n)?χ(m,n)不是一一對應(yīng)的，如 χ(1,1)=χ(2,0),χ(3,1)=χ(0,2),χ(1,3)=χ(5,1)=χ(4,2)。所以，當(dāng)參數(shù)滿足適當(dāng)條件時(shí)，有dimkerF(u,v)(χ(m,n))≥2。

3 分支解的存在性

當(dāng)利用Crandall和Rabinowitz[15]的局部分支定理時(shí)要求核空間維數(shù)為一維，故當(dāng)考慮如χ(1,0)或χ(0,1)的情形時(shí)，只要選取m,n使得dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1。

定理3.1如果dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1，則存在一個(gè)正常數(shù)δ使得系統(tǒng)式（2）在點(diǎn)(χ(m,n);uc,vc)的鄰域中的非常數(shù)正解可以表示為：

其中φm(x)和ψn(y)由式（5）給出，并且

證明由dimkerF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1和式（7）可知：

記算子F(u,v)(χ(m,n);uc,vc)的伴隨算子為：

類似于前面的計(jì)算過程可得：

從而codimRangeF(u,v)(χ(m,n);uc,vc)=1進(jìn)一步，對F(u,v)(χ(m,n);uc,vc)關(guān)于χ求導(dǎo)得：

注意到

所以

由局部分支定理知，系統(tǒng)式（2）存在一條由點(diǎn)(χ(m,n);uc,vc)分支出的非平凡解曲線(χ(s),u(s),v(s))，并且它是點(diǎn)(χ(m,n);uc,vc)鄰域中唯一的解曲線，其中

為方便，記Φ(x,y)=φm(x)ψn(y)，注意到(s)和(s)實(shí)際也是 x,y 的函數(shù)，即(s)=(x,y,s),(s)=(x,y,s),又有：

將分支解(χ(s),u(s),v(s))代入式（2）的第一個(gè)方程中，并關(guān)于s求兩次導(dǎo)數(shù)得：

在式（15）中取s=0得：

運(yùn)用Green’s公式可計(jì)算得：

和

其中λ在Ω上滿足-ΔΦ=λΦ。式（16）與Φ作L2內(nèi)積，并結(jié)合式（17）與式（18）有：

因此η(0)=0。定理3.1證畢。

4 分支方向

考慮定理3.1中所得到的局部分支解式（10）在點(diǎn)(χ(m,n);uc,vc)處相應(yīng)于平凡解曲線Γ的分支方向。若，則稱分支式（10）為超臨界的；若，則稱分支式（10）為次臨界的。下面將給出(0)的具體表達(dá)式。以下記

為證明定理4.1，需先證明如下引理成立。

引理4.1式（9）中的(A,B,C,D)滿足如下代數(shù)方程：

證明由分部積分可得：

式（16）與Φ2作L2內(nèi)積得：

式（2）的第二個(gè)方程關(guān)于s求導(dǎo)兩次，并令s=0得：

進(jìn)一步，式（24）與Φ2作L2內(nèi)積可知：

式（16）和（24）分別與 ||?Φ2作L2內(nèi)積得：

結(jié)合式（23）和式（25）～（27），以及式（19）中關(guān)于(A,B,C,D)的定義知式（21）成立。引理4.1證畢。

證明定理4.1對式（15）關(guān)于s求導(dǎo)并令s=0得：

上式與Φ作L2內(nèi)積，又利用可得：

從而定理4.1得證。

5 結(jié)論

本文主要討論了一類帶Logistic源項(xiàng)的具有非線性信號動力學(xué)趨化模型在正常數(shù)平衡解(uc,vc)處的分支問題。在矩形區(qū)域上，運(yùn)用Crandall和Rabinowitz的局部分支理論，以趨化敏感性系數(shù)χ為分支參數(shù)，對二維情況下非常數(shù)正平衡解的結(jié)構(gòu)給出了細(xì)致的刻畫。

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