郭源源

（江蘇省南京市金陵中學(xué)西善分校）

在當前的教學(xué)背景下，存在著不重視章節(jié)起始課的概念教學(xué)的現(xiàn)象，即將概念的來源、概念產(chǎn)生的必要、概念本質(zhì)生成的過程一帶而過，將概念課上成解題課.章節(jié)的起始課，涉及到本章知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)路線，研究問題的一般方法，以及知識背后所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，所以概念起始課對于本章知識來說至關(guān)重要.筆者很認同李邦河院士的一個觀點，他認為，數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴重偏離了數(shù)學(xué)的正軌，必須糾正.

筆者以“分式”一節(jié)課為載體踐行“關(guān)注概念產(chǎn)生的必要性與合理性”的理念，基本想法是聚焦概念教學(xué)，探索概念教學(xué)的基本規(guī)律.期待筆者的案例能拋磚引玉，希望廣大教師積極參與“如何講好數(shù)學(xué)概念課”的討論.

一、教學(xué)背景簡析

“分式”是章節(jié)的起始課，屬于概念課.筆者對這節(jié)課的感受是不難上、難上好.為此筆者沒有采用大眾化的講法（通過問題情境產(chǎn)生代數(shù)式—分類辨析出定義—概念的應(yīng)用拓展），而是認為想讓學(xué)生從根本上認同這個概念，還需要從它產(chǎn)生的必要性和合理性來引入.

學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了分數(shù)和整式的概念，為什么還要引入分式？相比而言分式有什么特殊的優(yōu)勢，而這種優(yōu)勢是分數(shù)和整式做不到的？針對這一點，筆者設(shè)計了“從整到分，從數(shù)到式”的活動1來闡釋分式產(chǎn)生的必要性.

從分式的構(gòu)造上來看，分式是否真的和整式一點聯(lián)系都沒有？分式可否認為是整式之間通過某種運算構(gòu)造出來的？針對這一點，筆者設(shè)計了“分式構(gòu)造”的活動2來解釋分式和整式的關(guān)聯(lián).

二、教學(xué)設(shè)計簡述

活動1：（1）40 m2的房子，有的面積鋪地板，則地板的面積是_____.

（2）40 m2的房子，有的面積鋪地板，則地板的面積是_____；如果有6套這樣的房子，則地板總面積是_____.

【設(shè)計意圖】有了整數(shù)和小數(shù)，為什么還要引入分數(shù)？活動1讓學(xué)生充分感受到分數(shù)的優(yōu)勢：一方面，分數(shù)使數(shù)學(xué)中的問題結(jié)果更加簡單明了；另一方面，有助于問題的進一步運算.這樣的設(shè)計既讓學(xué)生認同了整數(shù)到分數(shù)知識邏輯的合理性，又為后面的整式到分式做好鋪墊.

（3）am2的房子，有的面積鋪地板，則地板的面積是_____；如果有2b套這樣的房子，則地板總面積是_____.

【設(shè)計意圖】這一問將所有的數(shù)字換成了字母，從數(shù)的問題變成了式的問題.一方面，讓學(xué)生理解當運算結(jié)果無法用整式呈現(xiàn)時，學(xué)生只能用一類新的式子（即分母中帶有字母的式子）呈現(xiàn)；另一方面，這一類分母中帶有字母的式子也更加有利于進一步的式的運算.所以在數(shù)到式的發(fā)展過程中，分式的產(chǎn)生是必然的，是有必要的.

在學(xué)生理解了分母中帶有字母的式子產(chǎn)生的必要性和合理性之后，就應(yīng)該給這樣的式子定義一個名稱，即分式.

整式和分式之間有聯(lián)系嗎？通過整式之間的運算可以構(gòu)造出分式嗎？

活動2：在(a+1)，3，(a-1)這三個整式中，每位同學(xué)任選兩個整式進行加、減、乘、除運算，把所得的結(jié)果填在學(xué)習(xí)單中.

問題：（1）所得結(jié)果都是整式嗎？

（2）新的代數(shù)式有何特征？

（3）它是由整式之間的何種運算構(gòu)造出來的？

（4）你能從運算構(gòu)造上給分式下個定義嗎？

【設(shè)計意圖】通過活動2讓學(xué)生理解整式和分式并不是毫無關(guān)聯(lián)的兩個概念，整式之間的運算可以產(chǎn)生分式；同時讓學(xué)生在經(jīng)歷了“分母中帶有字母的式子就是分式”這樣簡單的認識之后，又更加完善地領(lǐng)悟了分式的完整定義，即一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.

活動3：求分式的值.

（1）a=3；（2）（3）a=-2.

【設(shè)計意圖】筆者并沒有直接提問“當a為何值時，分式?jīng)]有意義？”而是采用倒逼的方法.當a=-2時，學(xué)生在計算分式的值時會出現(xiàn)各種錯誤，學(xué)生就會思考：當分母為0時，究竟分式的值是0，還是無意義？從而總結(jié)出分式有意義的前提，即分母不為0.在學(xué)生的概念形成過程中，筆者認為不要刻意的去回避一些常見的認知錯誤，碰壁也是一次很好的糾正錯誤的機會.

活動4：關(guān)于分式，何時分式無意義？何時分式有意義？何時分式的值為0？

【設(shè)計意圖】這樣的題目既要兼顧到分子也要兼顧到分母，要求學(xué)生對分式有意義、無意義、值為0三種情形及背后隱含的條件理解到位；讓學(xué)生在解決問題中產(chǎn)生困惑，基于困惑的內(nèi)容去尋找抽象知識背后的本質(zhì)，實現(xiàn)逐層的分解與消化，達到真正理解和領(lǐng)悟，并從中理清三種情形之間的關(guān)系，體會研究問題中“去雜”思想，進而探得概念的“完形”.

活動5：歸納總結(jié).

（1）說說本節(jié)課我們是怎么研究分式的？

（2）你能用結(jié)構(gòu)圖的方法畫出分式的研究順序嗎？

（3）你會用研究分式的方法，去研究今后要學(xué)到的無理數(shù)到無理式嗎？

【設(shè)計意圖】通過歸納總結(jié)，讓學(xué)生站在思想方法的平臺上進行思維追溯，以對數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解為理念，走出千篇一律的設(shè)計，給學(xué)生留下帶得走的東西，讓學(xué)生能在數(shù)學(xué)的道路上越走越遠.

三、概念教學(xué)簡思

何為概念？查閱資料顯示，概念是人腦對現(xiàn)實的對象和現(xiàn)象的一般特征和本質(zhì)特征的反映.每一個概念都有它的內(nèi)涵和外延.概念的內(nèi)涵是指概念所反映的事物本質(zhì)屬性的總和；概念的外延是指具有該概念所反映的本質(zhì)屬性的一切事物.總結(jié)一下筆者的感悟，可以從以下兩點來理解.

（1）通過恰當?shù)谋尘耙?，結(jié)合前期同類知識在接下來研究過程中出現(xiàn)的困惑和不足，需要這種新概念的產(chǎn)生，從而揭示概念產(chǎn)生的必要性.

概念的建構(gòu)需要經(jīng)歷三個階段，即感覺、感知和感悟.感覺階段學(xué)生僅憑自己的直觀認識或字面意思對概念進行初步的了解，并不涉及到內(nèi)在本質(zhì)；感知階段學(xué)生通過操作、體會、對比、實踐等逐步掌握概念的內(nèi)在屬性和其細節(jié)；感悟階段學(xué)生能通過自己的經(jīng)驗積累，類比知識發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系，掌握和理解概念的本質(zhì)屬性.三個階段中如何讓學(xué)生清楚地體會到新概念的必要性？筆者認為要做好兩點；一是了解相應(yīng)的數(shù)學(xué)背景，根據(jù)背景選擇恰當?shù)那腥朦c，使得學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識、基本方法或經(jīng)驗不足以解決新問題，因此迫切需要引入一種新的概念來延續(xù)和推廣知識；二是背景的選擇要有普遍性和適應(yīng)性，能真實的反映問題，并能提煉出概念的本質(zhì)屬性，這種背景中的問題也是滲透新概念的研究方法和研究方向的載體.總之通過背景來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，進一步體會過程中蘊涵的思想方法，感知概念產(chǎn)生的必要性.

（2）通過課堂上的互動，多角度的思考問題并解決問題，用思維碰撞來揭示概念產(chǎn)生的合理性.

概念的生成過程是學(xué)生得以完善知識并提升自身認知水平的根本，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)興趣的媒介.本節(jié)課中，筆者并沒有草率、快速地強調(diào)概念的關(guān)鍵詞，并讓學(xué)生記憶其特征，而是采用師生的互動、問題的碰撞，讓學(xué)生明白為什么要這樣規(guī)定？這樣規(guī)定之后所有問題是否都能得以順利解決？從而體現(xiàn)新概念的優(yōu)越性，也進一步揭示了概念產(chǎn)生的合理性.