程 順， 沈振興， 崔 濤， 李慧劍

(燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

當(dāng)前航天器正面向大型化、復(fù)雜化和精密化方向發(fā)展，為了提高大型空間結(jié)構(gòu)的使用壽命、運(yùn)行精度和工作效率，考慮航天器主體和所帶軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁的剛-柔耦合作用是十分有必要的。截至目前為止，考慮柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)、橫向振動(dòng)以及航天器姿態(tài)擾動(dòng)三者之間相互耦合的文獻(xiàn)非常少。

Tabarrok等[1]引入新的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，利用牛頓第二定理和拉格朗日法推導(dǎo)出模型系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，采用假設(shè)模態(tài)法離散得到一個(gè)含有時(shí)變系數(shù)矩陣的偏微分方程；沈少萍等[2]利用動(dòng)量矩定理推導(dǎo)出末端帶集中質(zhì)量的可伸縮柔性附屬結(jié)構(gòu)與航天器姿態(tài)耦合動(dòng)力學(xué)方程，研究帶末端質(zhì)量附件的軸向伸展運(yùn)動(dòng)對(duì)航天器姿態(tài)及對(duì)附件橫向振動(dòng)的影響；Wang等[3]運(yùn)用廣義Hamilton原理推導(dǎo)出軸向運(yùn)動(dòng)Euler-Bernoulli梁的運(yùn)動(dòng)控制偏微分方程，采用假設(shè)模態(tài)法求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；劉寧等[4]將彈炮發(fā)射系統(tǒng)簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量作用下的軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁系統(tǒng)，推導(dǎo)出軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)方程，采用修正Galerkin法得到以模態(tài)坐標(biāo)表示的二階時(shí)變常微分方程組，通過(guò)Newmark法對(duì)方程組進(jìn)行求解； Park等[5]對(duì)軸向可伸縮梁進(jìn)行振動(dòng)分析，同時(shí)考慮縱向和橫向位移，推導(dǎo)出的縱向運(yùn)動(dòng)方程是線性的，與橫向運(yùn)動(dòng)不耦合，推導(dǎo)出的橫向運(yùn)動(dòng)方程是非線性的，與縱向運(yùn)動(dòng)耦合；Shen等[6]采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法研究航天器結(jié)構(gòu)在耦合熱-結(jié)構(gòu)分析和非耦合熱-結(jié)構(gòu)分析情況下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；Yang等[7]考慮軸向運(yùn)動(dòng)梁縱向-橫向振動(dòng)的耦合，采用Galerkin截?cái)喾▽⑦\(yùn)動(dòng)控制偏微分方程截?cái)酁轳詈系姆蔷€性常微分方程組，運(yùn)用多尺度法求解運(yùn)動(dòng)方程；陳紅永等[8]針對(duì) Galerkin截?cái)喾ㄔ谟?jì)算軸向受壓運(yùn)動(dòng)梁的固有特性時(shí)，低階頻率誤差較大的問(wèn)題，通過(guò)引入軸向力作用對(duì)試函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，分析兩端固支和固支-自由邊界條件下Timoshenko運(yùn)動(dòng)梁在軸向壓力作用下振動(dòng)特性；閆業(yè)毫等[9]利用有限元方法對(duì)柔性梁進(jìn)行離散，采用 Lagrange方程建立柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)方程，研究柔性梁的大范圍運(yùn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)的相互耦合機(jī)理，比較零次模型、一次耦合模型、精確模型的差異，探討各種模型的適用性；孫述鵬等[10]針對(duì)帶大型太陽(yáng)能帆板的航天器，使用蜂窩板對(duì)太陽(yáng)能帆板進(jìn)行建模，利用Hamilton原理建立了航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程，分析了剛?cè)狁詈戏蔷€性項(xiàng)及系統(tǒng)參數(shù)對(duì)航天器固有特性和熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響。

以上大多數(shù)研究模型是考慮了航天器主體與柔性附屬結(jié)構(gòu)之間的剛?cè)狁詈献饔茫瑓s沒(méi)有考慮柔性附屬結(jié)構(gòu)的軸向運(yùn)動(dòng)，或者考慮柔性附屬結(jié)構(gòu)軸向運(yùn)動(dòng)，卻尚未考慮航天器主體與柔性附屬結(jié)構(gòu)之間的剛-柔耦合作用。而剛?cè)狁詈夏Ｐ徒７椒ǜ鶕?jù)參考坐標(biāo)的選取不同，基本上可分為3種[11]：浮動(dòng)坐標(biāo)系法、隨轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法和慣性坐標(biāo)系法。其中浮動(dòng)坐標(biāo)系法是將多體動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)相結(jié)合的方法，這種方法使多體動(dòng)力學(xué)軟件擴(kuò)展應(yīng)用于柔性多體系統(tǒng)，可以充分利用模態(tài)技術(shù)，是目前柔性多體系統(tǒng)建模使用最廣泛的方法。

本文主要通過(guò)浮動(dòng)坐標(biāo)系法[11]建立航天器主體-軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁剛-柔耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，考慮軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁與航天器主體之間的耦合作用，分析航天器主體半徑、航天器主體面密度和柔性運(yùn)動(dòng)梁軸向速度對(duì)柔性梁橫向振動(dòng)以及航天器姿態(tài)角的影響。

1 模型建立

本文以帶有大型撓性天線的航天器為主要研究對(duì)象，首先建立研究對(duì)象的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，在建模過(guò)程中，作如下假設(shè)：

(1) 航天器在近地軌道上運(yùn)行，忽略其所受重力；

(2) 航天器主體簡(jiǎn)化為圓柱形剛體，為研究方便，航天器只作單軸轉(zhuǎn)動(dòng)；

(3) 大型撓性天線簡(jiǎn)化為滿足Euler-Bernoulli梁理論的軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁，其長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于寬度和厚度，線密度均勻，無(wú)需考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響，僅考慮柔性梁的橫向彎曲振動(dòng)。

圖1 航天器主體-軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁剛-柔耦合模型Fig.1 The rigid-flexible coupling model of the spacecraft body and axially moving flexible beam

如圖1所示，僅考慮耦合系統(tǒng)的二維平面模型，將衛(wèi)星等航天器主體視為可繞其中心C轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，剛體中心是固定的，剛體半徑為R。天線等柔性附屬結(jié)構(gòu)視為軸向運(yùn)動(dòng)的柔性梁結(jié)構(gòu)，軸向速度為v(t)。其中，當(dāng)v(t)>0表示柔性梁作軸向伸展運(yùn)動(dòng)；v(t)<0表示柔性梁作軸向收縮運(yùn)動(dòng)。航天器主體與柔性梁接口位于O點(diǎn)，柔性梁未伸出部分全部集中于接口處，其質(zhì)量相對(duì)于航天器主體可忽略。建立兩套坐標(biāo)系，坐標(biāo)系CX0Y0表示固定慣性坐標(biāo)系；坐標(biāo)系OXY以接口O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OX軸為柔性梁未變形的中性軸，該坐標(biāo)系用于描述柔性梁的軸向運(yùn)動(dòng)和橫向振動(dòng)。OX軸和CX0軸的夾角用θ(t)表示，用于描述航天器主體的姿態(tài)擾動(dòng)。

2 方程推導(dǎo)

如圖1所示，航天器主體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用Ihub表示；均質(zhì)柔性梁可看作是細(xì)長(zhǎng)懸臂梁，線密度為ρ，軸向速度v(t)。柔性梁的外伸長(zhǎng)度用L(t)表示，隨時(shí)間發(fā)生變化，梁的初始外伸長(zhǎng)度用L0表示。由于柔性梁作軸向運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致柔性梁橫向產(chǎn)生振動(dòng)，航天器主體產(chǎn)生姿態(tài)擾動(dòng)，而柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)、橫向振動(dòng)以及航天器主體姿態(tài)擾動(dòng)三者之間是相互耦合的。

未變形前梁上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0)， 變形后該點(diǎn)坐標(biāo)為(X(x,t),Y(x,t))， 航天器主體的擾動(dòng)用θ(t)來(lái)表征。 假設(shè)OX軸和OY軸的單位矢量分別為i和j， 則柔性梁上任一點(diǎn)的位置矢量為：

r=(R+X)i+Y(X,i)j

(1)

式中：X=X(x,t)，Y=(X,t)=Y(x,t)。

所以該點(diǎn)的絕對(duì)速度矢量為：

(2)

由上述一系列分析，可得耦合系統(tǒng)的動(dòng)能為：

(3)

航天器在微重力場(chǎng)中運(yùn)行，不考慮其重力勢(shì)能，僅考慮其變形能，故耦合系統(tǒng)的勢(shì)能為：

(4)

(5)

(6)

方程式(5)和式(6)是所研究系統(tǒng)精確模型的偏微分方程，根據(jù)小變形假設(shè)，忽略方程中高次項(xiàng)，可得系統(tǒng)一次剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的偏微分方程：

(7)

(8)

當(dāng)不考慮剛-柔耦合作用時(shí)，可得到零次剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的偏微分方程：

(9)

當(dāng)不考慮柔性梁軸向加速度，即梁的軸向速度是恒定不變的，此時(shí)可將方程式(7)～式(9)簡(jiǎn)化為：

(10)

(11)

(12)

3 方程求解

3.1 假設(shè)模態(tài)法離散偏微分方程

推導(dǎo)出的耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程是時(shí)變系數(shù)偏微分方程組，對(duì)于復(fù)雜的時(shí)變系數(shù)偏微分方程直接求解或采用積分的方法進(jìn)行數(shù)值求解都是非常困難的。一般懸臂梁的振動(dòng)偏微分方程可以采用假設(shè)模態(tài)法進(jìn)行求解，得到用模態(tài)坐標(biāo)表示的解耦方程，解出每一個(gè)模態(tài)坐標(biāo)，根據(jù)振型疊加得到系統(tǒng)的總動(dòng)力響應(yīng)。但是，由于耦合系統(tǒng)中柔性梁的外伸長(zhǎng)度隨時(shí)間變化，柔性梁固有頻率和固有振型已然失去了原有的物理意義。

本節(jié)采用修正的振型疊加法對(duì)方程式(10)～式(12)進(jìn)行近似求解。根據(jù)分離變量和振型疊加法，可以把方程的解Y(X,t)假設(shè)為如下形式：

(13)

式中：φi(X,L)為柔性梁的瞬時(shí)模態(tài)， 它不僅與變量X有關(guān)， 而且與梁的外伸長(zhǎng)度L(t)有關(guān)。

根據(jù)懸臂梁特征值理論， 可以把函數(shù)φi(X,L)寫(xiě)成如下形式：

(14)

表1 特征值

將上述假設(shè)解代入偏微分方程式(10)～式(12)中，將得到含有假設(shè)模態(tài)形式的偏微分方程，根據(jù)振型函數(shù)的正交歸一性質(zhì)，可將所得的偏微分方程進(jìn)一步整理化簡(jiǎn)為：

(15)

式中：

(16)

式中：

(17)

根據(jù)分塊矩陣?yán)碚摚瑢⒎匠淌?15)和式(16)合并成一個(gè)矩陣形式的偏微分方程組。即：

(18)

方程式(17)為不考慮剛?cè)狁詈献饔孟碌南到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，也是所研究模型的零次剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的偏微分方程。方程式(18)為航天器主體-軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁剛-柔耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，除時(shí)變系數(shù)外，與定常系統(tǒng)相比較，方程式(18)多出了偽阻尼項(xiàng)和幾何剛度項(xiàng)，而且不僅存在慣性耦合，其剛度矩陣、阻尼矩陣均相互耦合。當(dāng)不考慮彈性變形高階項(xiàng)的影響時(shí)，利用數(shù)值方法對(duì)方程式(18)進(jìn)行求解，最終可以得到柔性梁的橫向位移和航天器主體的姿態(tài)角。

3.2 初始條件

(19)

(20)

一般已知柔性梁的末端初始位移和初始速度，這里借助于材料力學(xué)中懸臂梁的撓曲方程，將柔性梁的末端初始位移和初始速度轉(zhuǎn)化成柔性梁的初始位移和速度方程：

(21)

(22)

4 算例分析與討論

系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程式(18)是用模態(tài)坐標(biāo)表示的二階時(shí)變系數(shù)偏微分方程。根據(jù)分析，取柔性梁前四階振型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件，分別計(jì)算出各系數(shù)矩陣，采用四階Runge-Kutta法對(duì)偏微分方程組進(jìn)行數(shù)值求解。

由于考慮了軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用，需要已知航天器主體半徑R和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ihub。對(duì)于圓柱形航天器主體而言，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

(23)

式中：ρhub是航天器主體的密度；h是航天器主體的高度；R是航天器主體半徑。

由于ρhub與h的乘積與R獨(dú)立， 定義ρhub與h的乘積為航天器主體的面密度， 記作ρs=ρhubh。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]及航天器常識(shí)，航天器主體的物理參數(shù)擬采取R=0.1～5 m，ρs=100～15 000 kg/m2。

下面兩圖是航天器主體半徑R=5 m和面密度ρs=15 000 kg/m2時(shí)柔性梁末端位移曲線。此時(shí)兩者組合而成的航天器主體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大。

如圖2和圖3所示，除增加航天器主體面密度和半徑參數(shù)外，其余的物理參數(shù)與Park的研究完全相同，其數(shù)值模擬結(jié)果也完全一致。由此可以得出，在大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下，考慮剛?cè)狁詈献饔煤筒豢紤]剛?cè)狁詈献饔?，柔性梁末端位移基本不變；這也從另一方面證明了建立的系統(tǒng)模型和推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程的正確性。

圖2 大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下柔性伸展梁末端位移Fig.2 The tip displacement of the flexible beam in the large moment of inertia situation when deploying

圖3 大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下柔性收縮梁末端位移Fig.3 The tip displacement of the flexible beam in the large moment of inertia situation when retracting

需要指出的是，只要航天器主體的面密度和半徑都取較大值，即航天器主體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取較大值時(shí)，其計(jì)算結(jié)果與Park的結(jié)論比較吻合。這是因?yàn)楹教炱髦黧w的半徑和面密度較大時(shí)，航天器主體相當(dāng)于一個(gè)固定基礎(chǔ)，類似于不考慮剛-柔耦合時(shí)，將航天器主體看作是固定基礎(chǔ)。這也表明當(dāng)航天器主體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大時(shí)，可以忽略柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用。

4.1 航天器主體半徑的影響

通過(guò)數(shù)值計(jì)算，在同一航天器主體面密度下，不同半徑范圍內(nèi)的半徑值對(duì)柔性梁末端位移以及對(duì)航天器姿態(tài)角的影響是不相同的。

在同一航天器主體面密度下，總是存在如下的規(guī)律：R[0.1,Rup1]，柔性梁末端位移的振動(dòng)隨時(shí)間推移幅值有增有減；R[0.1,Rup2]，航天器姿態(tài)角的振動(dòng)隨時(shí)間推移幅值也是有增有減。把柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的振動(dòng)隨時(shí)間推移幅值有增有減的最大半徑值稱為無(wú)規(guī)律半徑上限值，分別記作Rup1、Rup2。

R[Rdown,5]，航天器主體半徑值對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角振動(dòng)的影響非常小，可忽略不計(jì)。把對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的振動(dòng)影響非常小的最小半徑稱為無(wú)影響半徑下限值，記作Rdown。

[Rup1,Rdown]為柔性梁末端位移的振動(dòng)隨時(shí)間變化是有規(guī)律的半徑區(qū)間， [Rup2,Rdown]為航天器姿態(tài)角的振動(dòng)隨時(shí)間變化是有規(guī)律的半徑區(qū)間。在這兩個(gè)有規(guī)律半徑區(qū)間，柔性梁伸展時(shí)，隨時(shí)間的推移，振動(dòng)幅值逐漸增加；柔性梁收縮時(shí)，隨時(shí)間的推移，振動(dòng)幅值逐漸減小。

將Rup1、Rup2和Rdown統(tǒng)稱為半徑臨界值，每一個(gè)航天器主體面密度都對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的三個(gè)半徑臨界值。此外，每個(gè)半徑臨界值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，把半徑臨界值對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值作如下定義：

定義Rup1對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iup1為航天器在同一面密度下使柔性梁末端位移幅值隨時(shí)間變化有增有減的最大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

定義Rup2對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iup2為航天器在同一面密度下使航天器姿態(tài)角幅值隨時(shí)間變化有增有減的最大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

定義Rdown對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Idown為航天器在同一面密度下對(duì)柔性梁位移和航天器姿態(tài)角影響較小的最小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

三個(gè)臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iup1、Iup2、Idown的表達(dá)式如下所示，它們的物理意義是三個(gè)臨界半徑值對(duì)應(yīng)的航天器主體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值。

(24)

(25)

(26)

為確定各個(gè)面密度對(duì)應(yīng)的半徑臨界值Rup1、Rup2和Rdown，作如下規(guī)定：

當(dāng)航天器半徑R大于某一值后，柔性梁末端位移的幅值總是按升降規(guī)律排列，此時(shí)的半徑值為Rup1；

當(dāng)航天器半徑R大于某一值后，航天器姿態(tài)角的幅值總是按升降規(guī)律排列，此時(shí)的半徑值為Rup2；

當(dāng)航天器半徑R大于某一值后，柔性梁末端位移的各個(gè)幅值與此面密度下R=5 m時(shí)末端位移的對(duì)應(yīng)幅值之差的絕對(duì)值總小于一個(gè)很小的常數(shù)，此時(shí)的半徑值為Rdown。本文中對(duì)應(yīng)幅值之差的絕對(duì)值取10-5m。

換言之，就是利用數(shù)值方法計(jì)算出同一面密度下的所有半徑對(duì)應(yīng)的柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角，按上述規(guī)定分別計(jì)算出各個(gè)面密度對(duì)應(yīng)的Rup1、Rup2和Rdown。下面計(jì)算柔性梁伸展時(shí)不同航天器主體面密度下的半徑臨界值，航天器主體面密度分別取100 kg/m2、500 kg/m2、1 000 kg/m2、2 000 kg/m2、4 000 kg/m2、6 000 kg/m2、8 000 kg/m2、10 000 kg/m2、15 000 kg/m2，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 伸展時(shí)半徑臨界值

對(duì)伸展時(shí)航天器主體半徑臨界值進(jìn)行擬合，將得到很好的擬合公式：

(27)

其中：SSE=6.037×10-6R21

(28)

其中：SSE=2.376×10-5R20.999 9

(29)

其中：SSE=3.589×10-5R21

圖4 伸展時(shí)臨界半徑值擬合曲線Fig.4 The fitting curve of critical radius when deploying

擬合式(27)～式(29)能夠很好地預(yù)測(cè)柔性梁伸展時(shí)不同航天器主體面密度下半徑臨界值。

例如，當(dāng)ρs=5 000 kg/m2時(shí)，擬合公式預(yù)測(cè)結(jié)果為：Rup1=0.197 3、Rup2=0.206 2、Rdown=0.768 9；數(shù)值計(jì)算結(jié)果為：Rup1=0.196 5、Rup2=0.207 8、Rdown=0.767 3。公式預(yù)測(cè)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果非常接近。

同理，計(jì)算柔性梁收縮時(shí)不同航天器主體面密度下的半徑臨界值和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量臨界值，結(jié)果如表3所示。

表3 收縮時(shí)半徑臨界值

對(duì)收縮時(shí)航天器主體半徑臨界值進(jìn)行擬合，也將得到很好的擬合公式：

(30)

其中：SSE=1.831×10-6R21

(31)

其中：SSE=4.184×10-5R20.999 8

(32)

其中：SSE=7.021×10-7R21

圖5 收縮時(shí)臨界半徑值擬合曲線Fig.5 The fitting curve of critical radius when retracting

擬合式(30)～式(32)能夠很好地預(yù)測(cè)柔性梁收縮時(shí)不同航天器主體面密度下半徑臨界值。

例如，當(dāng)ρs=3 000 kg/m2時(shí)，擬合公式預(yù)測(cè)結(jié)果為：Rup1=0.178 3、Rup2=0.238 8、Rdown=1.024 8，數(shù)值計(jì)算結(jié)果為：Rup1=0.178 5、Rup2=0.237 4、Rdown=1.024 5。

當(dāng)ρs=5 000 kg/m2時(shí)，擬合公式預(yù)測(cè)結(jié)果為：Rup1=0.156 1、Rup2=0.207 7、Rdown=0.891 5；數(shù)值計(jì)算結(jié)果為：Rup1=0.156 5、Rup2=0.208 3、Rdown=0.891 8。公式預(yù)測(cè)結(jié)果和數(shù)值計(jì)算結(jié)果非常接近。

由上述幾個(gè)擬合公式可以預(yù)測(cè)出在某一航天器主體面密度下的三個(gè)半徑臨界值，從而了解在該面密度下半徑對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響區(qū)間。

數(shù)值計(jì)算還發(fā)現(xiàn)：不管柔性梁是伸展還是收縮，同一航天器面密度下，柔性梁末端位移振動(dòng)無(wú)規(guī)律半徑上限值總小于航天器姿態(tài)角振動(dòng)無(wú)規(guī)律半徑上限值，即Rup1

其次，隨著航天器主體面密度的增加，Rup1、Rup2和Rdown的值逐漸減小，對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值Iup1、Iup2、Idown也在逐漸減小。

根據(jù)柔性梁伸展或收縮時(shí)的半徑臨界值Rup，航天器主體半徑和面密度分別取R=0.2 m，ρs=500 kg/m2，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。此時(shí)半徑值R小于該面密度下半徑臨界值Rup，數(shù)值計(jì)算結(jié)果反應(yīng)的是無(wú)規(guī)律半徑區(qū)間柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的振動(dòng)特性。

需要指出的是，在同一面密度下，不管伸展還是收縮情形，只要航天器主體半徑值取小于Rup，得到的柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的振動(dòng)規(guī)律和不考慮剛?cè)狁詈蠒r(shí)的振動(dòng)規(guī)律不同。不考慮剛?cè)狁詈献饔?，柔性梁伸展時(shí)，柔性梁末端做幅值遞增，振動(dòng)頻率減小的振動(dòng)；柔性梁收縮時(shí)，柔性梁末端做幅值遞減，振動(dòng)頻率增大的振動(dòng)。

圖6～圖9分別是航天器主體半徑在無(wú)規(guī)律半徑區(qū)間取值時(shí)，柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角曲線圖。這四圖表明：當(dāng)航天器主體半徑處于無(wú)規(guī)律半徑區(qū)間時(shí)，柔性梁的末端位移和航天器姿態(tài)角隨時(shí)間推移，其幅值有增有減。需要指出的是，R越接近于Rup，其幅值波動(dòng)越不明顯，并逐漸趨向于遞增或遞減。

圖6 伸展時(shí)無(wú)規(guī)律半徑下柔性梁末端位移Fig.6 The tip displacement of the flexible beam in the irregular radius situation when deploying

圖7 收縮時(shí)無(wú)規(guī)律半徑下柔性梁末端位移Fig.7 The tip displacement of the flexible beam in the irregular radius situation when retracting

圖8 伸展時(shí)無(wú)規(guī)律半徑下航天器姿態(tài)角Fig.8 The attitude angle of the spacecraft in the irregular radius situation when deploying

圖9 收縮時(shí)無(wú)規(guī)律半徑下航天器姿態(tài)角Fig.9 The attitude angle of the spacecraft in the irregular radius situation when retracting

在有影響半徑區(qū)間[Rup,Rdown]取不同的半徑進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析有影響區(qū)間的不同半徑對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響。

利用控制變量法，使航天器主體面密度、柔性梁軸向速度和初始條件分別采用相同值，而航天器主體半徑在[Rup,Rdown]區(qū)間取不同半徑值。航天器主體面密度擬采取ρs=500 kg/m2，航天器主體半徑擬采取0.4 m、0.7 m、1.0 m。分別計(jì)算這三個(gè)不同半徑下的柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角，再將三個(gè)不同半徑下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比。

圖10和圖11分別是在有影響區(qū)間取不同的半徑值時(shí)，柔性伸展(收縮)梁末端位移曲線圖?？梢钥闯?，在該半徑區(qū)間內(nèi)，對(duì)于同一半徑下，隨時(shí)間的推移，柔性伸展(收縮)梁末端位移幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同半徑下，隨著半徑的增加，柔性伸展(收縮)梁末端位移幅值在逐漸減小(增大)，周期在增加，頻率在下降。

圖12和圖13分別是在有影響區(qū)間取不同的半徑值，航天器在伸展(收縮)時(shí)的姿態(tài)角曲線圖?？梢钥闯觯谠摪霃絽^(qū)間內(nèi)，對(duì)于同一半徑下，柔性梁在伸展(收縮)時(shí)，隨時(shí)間的推移，航天器姿態(tài)角幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同半徑下，柔性梁在伸展(收縮)時(shí)，隨著半徑的增加，航天器姿態(tài)角幅值在減小，周期在增加，頻率在降低。

圖10 伸展時(shí)有影響半徑區(qū)間不同半徑下柔性梁末端位移Fig.10 The tip displacement of the flexible beam at the different radius located in the influence interval when deploying

圖11 收縮時(shí)有影響半徑區(qū)間不同半徑下柔性梁末端位移Fig.11 The tip displacement of the flexible beam at the different radius located in the influence interval when retracting

圖12 伸展時(shí)有影響半徑區(qū)間不同半徑下航天器姿態(tài)角Fig.12 The attitude angle of the spacecraft at the different radius located in the influence interval when deploying

圖13 收縮時(shí)有影響半徑區(qū)間不同半徑下航天器姿態(tài)角Fig.13 The attitude angle of the spacecraft at the different radius located in the influence interval when retracting

換言之，在區(qū)間[Rup,Rdown]內(nèi)的半徑對(duì)航天器姿態(tài)角和柔性梁末端位移是有影響的，在該半徑區(qū)間內(nèi)不可以忽略軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用。研究此類系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)，應(yīng)該考慮軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用。

最后在無(wú)影響半徑區(qū)間[Rdown,5]取不同的半徑進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，分析無(wú)影響區(qū)間的不同半徑對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響。

圖14和圖15分別是在無(wú)影響半徑區(qū)間取不同的半徑值時(shí)，柔性伸展(收縮)梁末端位移曲線圖?？梢钥闯觯谠摪霃絽^(qū)間內(nèi)，對(duì)于同一半徑下，隨時(shí)間的推移，柔性伸展(收縮)梁末端位移幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同半徑下，三個(gè)半徑對(duì)應(yīng)的柔性伸展(收縮)梁末端位移曲線重合。即在該半徑區(qū)間，航天器主體半徑的變化對(duì)柔性梁末端位移的影響很小。

圖14 伸展時(shí)無(wú)影響半徑區(qū)間不同半徑下柔性梁末端位移Fig.14 The tip displacement of the flexible beam at the different radius located in the no influence interval when deploying

圖15 收縮時(shí)無(wú)影響半徑區(qū)間不同半徑下柔性梁末端位移Fig.15 The tip displacement of the flexible beam at the different radius located in the no influence interval when retracting

圖16和圖17分別是在無(wú)影響半徑區(qū)間取不同的半徑值，航天器在柔性梁伸展(收縮)時(shí)的姿態(tài)角曲線圖?？梢钥闯?，在該半徑區(qū)間內(nèi)，對(duì)于同一半徑下，柔性梁在伸展(收縮)時(shí)，隨時(shí)間的推移，航天器姿態(tài)角幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同半徑下，柔性梁在伸展(收縮)時(shí)，隨著半徑的增加，航天器姿態(tài)角幅值減小，周期基本不變。但在該半徑區(qū)間，航天器姿態(tài)角幅值的量級(jí)非常小，也可以直接忽略不計(jì)。

圖16 伸展時(shí)無(wú)影響半徑區(qū)間不同半徑下航天器姿態(tài)角Fig.16 The attitude angle of the spacecraft at the different radius located in the no influence interval when deploying

圖17 收縮時(shí)無(wú)影響半徑區(qū)間不同半徑下航天器姿態(tài)角Fig.17 The attitude angle of the spacecraft at the different radius located in the no influence interval when retracting

換言之，在無(wú)影響半徑區(qū)間的半徑值對(duì)航天器姿態(tài)角和柔性梁末端位移沒(méi)有影響，為簡(jiǎn)化計(jì)算，航天器主體半徑在無(wú)影響半徑區(qū)間時(shí)，可以不考慮軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用。

4.2 航天器主體面密度的影響

在區(qū)間[0.1,Rup]取同一半徑值，對(duì)應(yīng)的各個(gè)面密度下的柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角隨時(shí)間變化幅值有增有減，研究航天器主體面密度對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響沒(méi)有意義。

在區(qū)間[Rup,5]取同一半徑值，航天器主體面密度的變化對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響可忽略不計(jì)。

在不同面密度對(duì)應(yīng)的有影響半徑區(qū)間取同一半徑值，面密度擬采取1 000 kg/m2、2 000 kg/m2、4 000 kg/m2，航天器主體半徑擬采取R=0.4 m。

圖18和圖19分別是不同航天器主體面密度下柔性伸展(收縮)梁的末端位移曲線圖。在半徑區(qū)間[Rup,Rdown]取同一半徑值時(shí)，對(duì)于同一面密度下，隨時(shí)間的推移，柔性伸展(收縮)梁的末端位移幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同面密度下，隨航天器主體面密度的增加，柔性梁的末端位移的幅值在逐漸減小(增加)，周期都在增長(zhǎng)，頻率都在降低。

圖18 伸展時(shí)在不同面密度下柔性梁末端位移Fig.18 The tip displacement of the flexible beam at different surface densities when deploying

圖19 收縮時(shí)在不同面密度下柔性梁末端位移Fig.19 The tip displacement of the flexible beam at different surface densities when retracting

圖20和圖21分別是不同航天器主體面密度下航天器在柔性梁伸展(收縮)時(shí)的姿態(tài)角曲線圖。在半徑區(qū)間[Rup,Rdown]取同一半徑值時(shí)，對(duì)于同一面密度下，柔性梁伸展(收縮)時(shí)，隨時(shí)間的推移，航天器姿態(tài)角幅值在逐漸增加(減少)，周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，頻率逐漸降低(上升)；對(duì)于不同面密度下，隨航天器主體面密度的增加，航天器姿態(tài)角的幅值都在減小，周期都在增長(zhǎng)，頻率都在降低。

圖20 伸展時(shí)不同面密度下航天器姿態(tài)角Fig.20 The attitude angle of the spacecraft at different surface densities when deploying

圖21 收縮時(shí)不同面密度下航天器姿態(tài)角Fig.21 The attitude angle of the spacecraft at different surface densities when retracting

換言之，半徑在區(qū)間[Rup,Rdown]內(nèi)取值，航天器的主體面密度對(duì)航天器姿態(tài)角和柔性梁末端位移是有影響，這種影響來(lái)源于柔性梁和航天器主體之間的剛-柔耦合作用，而且影響規(guī)律和有影響半徑區(qū)間內(nèi)的不同半徑對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響相似。

4.3 軸向速度的影響

數(shù)值計(jì)算航天器主體的面密度和主體半徑分別采用相同值時(shí)，柔性梁軸向伸展(收縮)速度對(duì)柔性的末端位移以及對(duì)航天器姿態(tài)角的影響。

圖22和圖23分別為柔性梁在不同的伸展(收縮)速度下的末端位移曲線圖?？梢钥闯?，對(duì)于同一軸向速度下，隨著時(shí)間的推移，柔性梁末端位移振動(dòng)的幅值逐漸增加(降低)，振動(dòng)周期逐漸增長(zhǎng)(減短)，振動(dòng)頻率逐漸下降(上升)。這是由于隨著時(shí)間推移，柔性梁外伸部分越來(lái)越長(zhǎng)(短)，柔性梁的剛度變得越來(lái)越小(大)，所以導(dǎo)致柔性梁末端位移增加(降低)。在不同伸展(收縮)速度下，伸展(收縮)速度越大，隨著時(shí)間的推移，柔性梁末端位移的振動(dòng)幅值增加(減少)得越快，而且軸向速度越大，其平均振動(dòng)周期越大(小)，振動(dòng)頻率越小(大)，這是由于伸展(收縮)速度越大，相同時(shí)間內(nèi)柔性梁外伸部分越長(zhǎng)(短)，相應(yīng)柔性梁的剛度變得更小(大)，從而導(dǎo)致柔性的末端位移幅值越大(小)。

圖24和圖25分別為航天器主體半徑為R=0.5 m，面密度為ρs=2 000 kg/m2時(shí)，航天器在不同的伸展(收縮)速度下的姿態(tài)角響應(yīng)圖。可以看出，對(duì)于同一伸展(收縮)速度下，隨著時(shí)間的推移，姿態(tài)角的振幅逐漸增加(或降低)，振動(dòng)周期逐漸增長(zhǎng)(縮短)，振動(dòng)頻率逐漸下降(上升)。在不同伸展速度下，伸展(收縮)速度越大，隨著伸展時(shí)間的推移，航天器姿態(tài)角的振幅增加(減少)得越快，振動(dòng)周期增加(減少)得越長(zhǎng)，振動(dòng)頻率下降(上升)越快。

圖22 在不同伸展速度下柔性梁末端位移Fig.22 The tip displacement of the flexible beam at different deploying velocities

圖23 在不同收縮速度下柔性梁末端位移Fig.23 The tip displacement of the flexible beam at different retracting velocities

圖24 在不同伸展速度下航天器姿態(tài)角Fig.24 The attitude angle of the spacecraft at different deploying velocities

圖25 在不同伸展速度下航天器姿態(tài)角Fig.25 The attitude angle of the spacecraft at different retracting velocities

需要指出的是，在本文研究的航天器主體面密度和半徑范圍內(nèi)，面密度和半徑取不同的組合值，軸向速度對(duì)航天器姿態(tài)角影響規(guī)律和上述規(guī)律是一致的，但是在大轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下，不同伸展(收縮)速度下的航天器姿態(tài)角都特別小。在航天器姿態(tài)控制精度范圍內(nèi)，完全可以忽略柔性梁軸向速度對(duì)航天器姿態(tài)的影響。即在航天器主體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較大時(shí)，柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)引起的航天器姿態(tài)擾動(dòng)可忽略不計(jì)，只需要考慮柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)引起的橫向位移，而無(wú)需考慮航天器姿態(tài)角與柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)和橫向振動(dòng)的耦合作用。

5 結(jié) 論

本文利用Hamilton原理推導(dǎo)出航天器主體和軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁剛-柔耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程?？紤]了柔性梁軸向運(yùn)動(dòng)與柔性梁橫向振動(dòng)以及航天器姿態(tài)角振動(dòng)的相互耦合作用，利用分離變量法和假設(shè)模態(tài)法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，采用四階Runge-Kutta法和Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算中考慮了航天器主體半徑、航天器主體面密度和柔性梁軸向速度對(duì)柔性梁橫向振動(dòng)和對(duì)航天器姿態(tài)角的影響。

數(shù)值計(jì)算表明，不同半徑范圍內(nèi)的航天器主體半徑值對(duì)柔性的末端位移以及對(duì)航天器姿態(tài)角的影響是不相同的。

航天器主體半徑小于無(wú)規(guī)律半徑上限值時(shí)，隨時(shí)間變化，柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角做幅值有增有減的振動(dòng)；

航天器主體半徑處于有規(guī)律半徑區(qū)間時(shí)，隨時(shí)間變化，柔性梁伸展時(shí)，柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角做幅值遞增振動(dòng)，振動(dòng)頻率逐漸降低；柔性梁收縮時(shí)，柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角做幅值遞減振動(dòng)，振動(dòng)頻率逐漸升高；

航天器主體半徑大于無(wú)影響半徑下限值時(shí)，可以不考慮航天器主體和軸向運(yùn)動(dòng)柔性梁之間的剛-柔耦合作用。

其次，不管柔性梁是伸展還是收縮，隨著航天器主體面密度的增加，航天器主體半徑的三個(gè)臨界值在逐漸減小，對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值也在逐漸減小。

其中航天器主體半徑處于有規(guī)律半徑區(qū)間時(shí)，航天器主體半徑和航天器主體面密度對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響規(guī)律是相同的。柔性梁伸展時(shí)，隨航天器主體半徑或面密度的增加，柔性梁末端位移幅值在減小，周期在增長(zhǎng)，頻率在降低；柔性梁收縮時(shí)，隨航天器主體半徑或面密度的增加，柔性梁末端位移幅值在增加，周期在增長(zhǎng)，頻率在降低；不管柔性梁伸展還是收縮，隨航天器主體半徑或面密度的增加，航天器姿態(tài)角幅值都在減小，周期都在增長(zhǎng)，頻率都在下降；柔性梁軸向速度對(duì)柔性梁末端位移和航天器姿態(tài)角的影響規(guī)律是一致的。柔性梁伸展時(shí)，軸向伸展速度越大，柔性梁末端位移幅值和航天器姿態(tài)角幅值越大，周期越長(zhǎng)，頻率越低；反之，柔性梁收縮時(shí)，軸向收縮速度越大，柔性梁末端位移幅值和航天器姿態(tài)角幅值越小，周期越小，頻率越高。

[ 1 ] TABARROK B, LEECH C M, KIM Y I. On the dynamics of an axially moving beam [J]. Journal of the Franklin Institute, 1974, 297(3): 201-220.

[ 2 ] 沈少萍，李智斌. 末端帶集中質(zhì)量的可伸展撓性附件與航天器姿態(tài)耦合動(dòng)力學(xué)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2008, 27(5): 115-118.

SHEN Shaoping, LI Zhibin. Attitude dynamics of a spacecraft with tip mass attached deploying flexible appendage [J]. Journal of Vibration and Shock, 2008, 27(5): 115-118.

[ 3 ] WANG L H, HU Z D, ZHONG Z, et al. Hamiltonian dynamic analysis of an axially translating beam featuring time-variant velocity [J]. Acta Mech, 2009, 178(4): 149-161.

[ 4 ] 劉寧，楊國(guó)來(lái). 移動(dòng)質(zhì)量作用下軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁振動(dòng)特性分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2012,31(3): 102-105.

LIU Ning, YANG Guolai. Vibration property analysis of axially moving cantilever bean considering the effect of moving mass [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012，31(3): 102-105.

[ 5 ] PARK S, YOO H H, CHUNG J T. Vibrations of an axially moving beam with deployment or retraction [J]. AIAA Journal, 2013, 51(3): 686-696.

[ 6 ] SHEN Z X, TIAN Q, LIU X N. Thermally induced vibrations of flexible beams using Absolute Nodal Coordinate Formulation [J]. Aerospace Science and Technology, 2013, 29(1): 386-393.

[ 7 ] YANG X D, ZHANG W. Nonlinear dynamics of axially moving beam with coupled longitudinal-transversal vibrations [J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 78(4): 2547-2556.

[ 8 ] 陳紅永，陳海波，張培強(qiáng). 軸向受壓運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)特性的數(shù)值分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2014, 33(24): 101-105.

CHEN Hongyong, CHEN Haibo, ZHANG Peiqiang. Numerical analysis of free vibration of an axially moving beam under compressive load [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(24): 101-105.

[ 9 ] 閆業(yè)毫，和興鎖，鄧峰巖. 空間柔性梁的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性分析與仿真[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2016,34(3): 480-484.

YAN Yehao, HE Xingsuo, DENG Fengyan. Analyzing and imitation of dynamic properties for rigid-flexible coupling systems of a spatial flexible beam [J]. Northwestern Polytechnical University, 2016, 34(3): 480-484.

[10] 孫述鵬，王偉，段梟. 航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模及熱誘發(fā)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2016, 35(24): 79-83.

SUN Shupeng, WANG Wei, DUAN Xiao. Rigid-flexiblecoupling dynamic modelling and thermally induced vibration analysis for a flexible spacecraft [J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(24): 79-83.

[11] 洪嘉振，劉鑄永. 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的建模方法[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然版), 2008, 42(11): 1922-1926.

HONG Jiazhen, LIU Zhuyong. Modeling methods of rigid-flexible coupling dynamics [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University(Sci.), 2008, 42(11): 1922-1926.

[12] 董彥芝，劉芃，王國(guó)棟，等. 航天器結(jié)構(gòu)用材料應(yīng)用現(xiàn)狀與未來(lái)需求[J]. 航天器環(huán)境工程, 2010, 27(1): 41-44.

DONG Yanzhi, LIU Peng, WANG Guodong et al. Application and future demand of materials for spacecraft structures [J]. Spacecraft Environment Engineering, 2010, 27(1): 41-44.