葉智超

同學們，我們在課堂上研究了平面直角坐標系中任意一點關于坐標軸、原點的對稱點的坐標特點，當我們把對稱軸、對稱中心進行適當平移后，這些對稱點的坐標又會有什么樣的變化呢？下面，讓我們共同來研究.

請同學們思考這樣一道題目：

1.在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）△A0B0C0與△ABC關于y軸對稱.在圖1中畫出△A0B0C0，并寫出△A0B0C0三個頂點的坐標；

（2）觀察圖中對應點坐標之間的關系，寫出直角坐標系中任意一點P（a，b）關于y軸的對稱點的坐標：______.

【解析】（1）分別作出各點關于y軸的對稱點，再順次連接即可，圖略，A0（4，5），B0（5，2），C0（1，3）；（2）（-a，b）.

【說明】本題主要考查在直角坐標系中根據軸對稱的性質作圖，以及圖形的軸對稱變換與點的坐標變化之間的關系.作關于y軸對稱的圖形是同學們平常接觸過的問題，難度不大.

請同學們再觀察下列兩題：

2.在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）直線l1經過點（1，0），并且與y軸平行， △A1B1C1與△ABC關于直線l1對稱.在圖2中畫出△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點的坐標；

（2）比較圖2中△A1B1C1與圖1中△A0B0C0的位置關系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫出直角坐標系中任意一點P（a，b）關于直線l1的對稱點的坐標：______.

3.在直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，5），B（-5，2），C（-1，3）.

（1）若直線l2經過點（2，0），并且與y軸平行，△A2B2C2與△ABC關于直線l2對稱.在圖3中畫出△A2B2C2，并寫出△A2B2C2三個頂點的坐標；

（2）比較圖3中△A2B2C2與圖1中△A0B0C0的位置關系，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（3）寫出直角坐標系中任意一點P（a，b）關于直線l2的對稱點的坐標：______.

【解析】問題2中：（1）圖略，A1（6，5），B1（7，2），C1（3，3）；（2）把△A0B0C0向右平移2個單位，得到△A1B1C1；（3）（-a+2，b）.問題3中：（1）圖略，A2（8，5），B2（9，2），C2（5，3）；（2）把△A0B0C0向右平移4個單位，得到△A2B2C2；（3）（-a+4，b）.

下面請同學們仔細觀察上述3個題目：

（1）你能發(fā)現(xiàn)對稱的兩個點的坐標有何關系嗎？

（2）你能用語言描述你的發(fā)現(xiàn)并解釋其中的道理嗎？

（3）若直線l經過點（n，0）（n>0）并且與y軸平行，你能寫出直角坐標系中任意一點P（a，b）關于直線l的對稱點的坐標嗎？

（4）當n<0時，情況又怎樣呢？

（5）若直線l′經過點（0，m）并且與x軸平行，你能用上面所獲得的活動經驗研究直角坐標系中任意一點P（a，b）關于直線l′的對稱點的坐標嗎？

同學們，把對稱軸改變后，這些對稱點的坐標是否具有某種規(guī)律性？經過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律性是存在的，大家應該學著闡述對稱軸的平移和對稱圖形的平移之間的關系，以及點的坐標的變化情況.當n>0時，點P（a，b）關于直線l的對稱點的坐標是（-a+2n，b），當n<0時，坐標仍然滿足上述規(guī)律.

我們在平時的數學學習中要學會對問題進行反思，把問題的條件或結論一般化，可能就會挖掘出更有價值的知識，形成對圖形變換的整體認識.當然，再碰到較難問題時，我們也可先將條件或結論特殊化，去尋找特殊情形時的方法，然后再類比到所求問題中.

因此，同學們在學習與解題時，應多去感悟“特殊與一般”的數學思想，力爭做一題會一類，掌握研究問題和解題的方法，提高學習能力.

練習：

1.在直角坐標系中， △ABC的位置如圖4所示.

（1）先將△ABC向下平移2個單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關于y軸成軸對稱的圖形，記為△A′B′C′，寫出所作△A′B′C′各頂點的坐標；

（2）若先將△ABC向下平移m（m>0）個單位后，再作該三角形（平移后的三角形）關于直線l[直線l經過點（n，0），并且與y軸平行]成軸對稱的圖形，記為△A′′B′′C′′，你能寫出△A′′B′′C′′的各頂點的坐標嗎？

【答案】（1）圖略，A′（-3， 2），B′（-2，-1），C′（-6，0）；（2）A′′（-3+2n，4-m），B′′（-2+2n，1-m），C′′（-6+2n，2-m ）.

（作者單位：南京航空航天大學附屬初級中學）endprint