王家豪

摘要

在多輸入多輸出線性系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)矩陣定義為零初始條件下，輸出的拉普拉斯變換y（s）和輸入的拉普拉斯變換u（s）之比，本文介紹了一種便于計(jì)算機(jī)和筆算的，適于任意階數(shù)的傳遞函數(shù)計(jì)算方法，并給出了相應(yīng)的實(shí)例。

【關(guān)鍵詞】實(shí)用計(jì)算方法 傳遞函數(shù)計(jì)算 多輸入多輸出

多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，定義為零初始條件下輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之間的因果關(guān)系。

設(shè)輸入變量組為{u₁，u₂，…，u_p}，輸出變量組為{y₁，y₂，…，y_q）且線性時(shí)不變系統(tǒng)初始條件為零。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可導(dǎo)出拉普拉斯變換意義下的輸出輸入關(guān)系式為：

簡寫為y（s）=G（s）U（s）

考慮線性時(shí)間連續(xù)系統(tǒng)，狀態(tài)空間描述為：

X=Ax+Bu

Y=Cx+Du

則傳遞函數(shù)矩陣G（s）的基于系數(shù)矩陣{A，B，C，D}的基本關(guān)系式為

G（s）=C（SI-A）^-1B+D

證：對(duì)上述兩個(gè)方案取拉普拉斯變換后，可導(dǎo)出：

（SI-A）x（s）=BU（s）

因?yàn)榫仃嚕⊿I-A）非奇異，

故有x（s）=（SI-A）^-1u（s），結(jié)論成立。

顯然，基于關(guān)系式建立了G（s）和{A，B，C，D}間的顯式關(guān)系，為分析和揭示系統(tǒng)兩種描述間的關(guān)系提供了基礎(chǔ)，但是，在求解過程中包含了對(duì)含有字母s的方陣的求逆運(yùn)算，若系統(tǒng)為6維，求逆必求行列式，則在求行列式時(shí)人們還需計(jì)算6個(gè)5維子式。在計(jì)算每個(gè)子式又要5個(gè)4維子式，計(jì)算每個(gè)4維子式又需計(jì)算4個(gè)3維子式，操作十分繁瑣，人工極易出錯(cuò)，且即使使用計(jì)算機(jī)，后續(xù)過程亦十分復(fù)雜。況且，大型過程中又要經(jīng)常用到這樣的計(jì)算和操作，因此，本文給出了一種實(shí)用、便捷、易于計(jì)算機(jī)編程的算法，能夠迅速地解決問題。

本方法分z步：分別為（SI-A）行列式的計(jì)算和最終結(jié)果計(jì)算。

1 行列式的計(jì)算

根據(jù)G（s）的表達(dá)式，首先應(yīng)計(jì)算（SI-A）^-1而任何矩陣在求逆運(yùn)算的過程中都不可避免地計(jì)算行列式，這里是A矩陣的特征多項(xiàng)式，下面給出方法。

[特征多項(xiàng)式算法]：給定nxn系統(tǒng)矩陣A，其特征多項(xiàng)式具有形式：

可按下述步驟給出的順序來遞推地定出。

典型例題：給定4×4系統(tǒng)矩陣A為：

計(jì)算其特征多項(xiàng)式。解：

2 最終結(jié)果計(jì)算

[G（s）的實(shí)用算式]：對(duì)多輸入線性系統(tǒng)首先要定出特征多項(xiàng)式，設(shè)為a（s）。

和一組系數(shù)矩陣：

則計(jì)算G（S）的一個(gè)實(shí)用關(guān)系式為：

考慮導(dǎo)兩邊系數(shù)相等

結(jié)論成立。

注：可以看出，運(yùn)用此方法計(jì)算G（S）時(shí)，只限于矩陣乘和加，復(fù)雜程度明顯降低

3 結(jié)語

通過以上分析，G（s）的計(jì)算可變得簡便快速，在實(shí)際應(yīng)用過程中，可以使用程序設(shè)計(jì)語言根據(jù)以上算法編程實(shí)現(xiàn)，該方法具有巨大的便捷性和工程應(yīng)用價(jià)值。