費(fèi)嶺峰 程晨

【編者按】理性思維是一種有明確的思維方向，有充分的思維依據(jù)，能對事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的一種思維?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。本期話題圍繞“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生理性思維培養(yǎng)策略”展開。

所謂理性思維，簡言之，就是一種有證據(jù)、有邏輯地進(jìn)行思考的思維方式。具體來說，它是一種有明確的思維方向，有充分的思維依據(jù)，能對事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維。

一、發(fā)展學(xué)生的理性思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)定位中就已經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。”從其中的兩個(gè)關(guān)鍵詞“關(guān)系”與“形式”不難理解，理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)科自身特有的學(xué)科特性，是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。同時(shí)，在將“課程內(nèi)容”具體化的十個(gè)關(guān)鍵詞中，諸如符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想等，都具有理性思維的特質(zhì)內(nèi)涵。

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《高中課標(biāo)》）中，一是沿用了“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)”的學(xué)科定位；二是在對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述中，采用了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)維度的表達(dá)，均具有理性思維的特質(zhì)內(nèi)涵。

基于此，我們可以說，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的，便是運(yùn)用自身蘊(yùn)含的理性思維特質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，發(fā)展學(xué)生的理性思維。

二、小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生理性思維發(fā)展的基礎(chǔ)階段

為什么說小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生理性思維發(fā)展的基礎(chǔ)階段呢？理由有二：一是小學(xué)生的年齡階段決定了其心理發(fā)展水平處于從感性向理性發(fā)展的重要階段。從皮亞杰的“四階段認(rèn)知發(fā)展理論”來看小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，小學(xué)階段正好處于“前運(yùn)算階段”和“具體運(yùn)算階段”。處于這個(gè)階段的兒童的認(rèn)知發(fā)展有這樣的特點(diǎn)：前運(yùn)算階段時(shí)，兒童將感知?jiǎng)幼鲀?nèi)化為表象，初步建立了符號功能，可憑借心理符號（主要是表象）進(jìn)行思維，從而使思維有了質(zhì)的飛躍；到了具體運(yùn)算階段，兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)由前運(yùn)算階段的表象圖式演化為運(yùn)算圖式，該時(shí)期的心理操作著眼于抽象概念，屬于運(yùn)算性（邏輯性）的，但思維活動(dòng)需要具體內(nèi)容的支持。

二是從《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求來看，與《高中課標(biāo)》相比，其在理性思維的要求上顯然是低的，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中理性思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)。比如：“義教階段”對學(xué)生“運(yùn)算能力”的要求是具備能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力；而“高中階段”對學(xué)生“數(shù)的運(yùn)算”的要求是理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。顯然“高中階段”對“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的要求，是在“義教階段”學(xué)生結(jié)合具體情境概括運(yùn)算法則，體驗(yàn)正確運(yùn)算，具有一定的運(yùn)算能力基礎(chǔ)上發(fā)展的。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生理性思維的基本路徑

（一）經(jīng)歷從情境中抽象數(shù)學(xué)概念的過程

抽象與概括，是理性思維的重要基礎(chǔ)。抽象與概括的基本特征均是以具體事物為認(rèn)知對象，發(fā)現(xiàn)、歸納共同屬性，揭示事物的本質(zhì)。新課程理念下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)注重情境創(chuàng)設(shè)，基于具體情境展開探究，其意義更多在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的逐步抽象與歸納提煉的過程，在培養(yǎng)學(xué)生探究意識與能力的同時(shí)，關(guān)注學(xué)生的抽象思維的發(fā)展。

就以最為簡單的“數(shù)的認(rèn)識”為例，現(xiàn)行各版教材在編寫時(shí)，基本都有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體事物的量→半抽象的點(diǎn)（圖）→抽象成數(shù)”這樣的過程。如“6的認(rèn)識”，人教版教材首先利用主題圖呈現(xiàn)“有6位小朋友在做大掃除”，然后展示6個(gè)小圓片，寫出了數(shù)字6，用6根小棒搭出一個(gè)六邊形，與接下來的課堂練習(xí)中6顆珠子、6條小金魚、6只熊貓等情境材料一起，進(jìn)一步豐富學(xué)生對數(shù)6的感性經(jīng)驗(yàn)。這樣的引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從情境中逐步抽象概念的過程，在小學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識教學(xué)中存在。如教學(xué)“加法認(rèn)識”，北師大版教材便是以“3+2=5”這個(gè)算式為例。教材在引出這個(gè)算式時(shí)，用了“一只手有3支鉛筆，另一只手有2支鉛筆，一共有5支鉛筆”和“有3只熊貓?jiān)诔灾褡?，?只熊貓?jiān)谕嫫で?，一共?只熊貓”這兩個(gè)情境來完成的，這個(gè)過程中還有半抽象的表示，即以“畫3個(gè)圓片和2個(gè)圓片合起來”的過程。這同樣引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從情境中抽象加法、理解加法運(yùn)算意義的全過程。

（二）結(jié)合具體例子的探索，理解知識的本質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)基于數(shù)學(xué)思考的探索與發(fā)現(xiàn)的過程。正是在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展，理性思維得以成長。事實(shí)上，舉例說明、結(jié)合具體實(shí)例分析理解是小學(xué)生常用的學(xué)習(xí)方式。因此，課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生舉例解釋、分析理解，同樣是有效培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要過程。

比如，我們在教學(xué)“連除簡便計(jì)算”一課中，引導(dǎo)學(xué)生說明如“40÷5÷4和40÷（5×4）”“60÷3÷2和60÷（3×2）”等這樣的一組算式為什么相等。學(xué)生首先會(huì)從計(jì)算結(jié)果來判斷，說明理由，這已經(jīng)有了一定的理性思考的味道了。然而我們在課堂上請學(xué)生再舉一些例子來說明時(shí)，卻會(huì)碰到如100÷4÷7和100÷（4×7）這樣的例子。因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，還未學(xué)習(xí)小數(shù)除法的知識，所以便無法再從結(jié)果上來判斷是否相等，解釋此題便需從另外的視角切入。課堂上，當(dāng)教師給學(xué)生一定的思考時(shí)間后，有學(xué)生想到了可以借助“除法平均分”的意義來理解這兩個(gè)算式，即100÷4÷7，是將100平均分成4份后，再將其中的每一份平均分成7份，求一份是多少。這事實(shí)上是將100分兩步平均分成了28份，求一份是多少。其實(shí)兩個(gè)算式的意思是一樣的，所以結(jié)果也應(yīng)該是相等的。這樣的思考過程，便是一種典型的理性思考的過程。

（三）借助直觀分析問題，發(fā)展理性思維

經(jīng)歷從形象到抽象的過程，是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要過程。反之，將抽象的知識借助直觀形象的形式分析與思考，同樣具有理性思維的色彩，這同樣是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要策略。小學(xué)階段比較典型的教學(xué)方式之一便是借助幾何直觀理解運(yùn)算法則。

這種以數(shù)形結(jié)合的方式表達(dá)出來的思考過程，我們稱為“思維可視化”。而思維可視化的過程，既需要學(xué)生將算式由文字（符號）轉(zhuǎn)換成圖形，又需要他們有一定的邏輯思考作支撐。因此，這同樣是發(fā)展學(xué)生理性思維的重要方式。

（四）基于“猜想—驗(yàn)證”的過程，培養(yǎng)邏輯思考能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“猜想”是指在對數(shù)學(xué)現(xiàn)象作出初步分析基礎(chǔ)上的猜測與假想（假設(shè)）；“驗(yàn)證”是指通過一定的方式對猜測或假想進(jìn)行深入分析后作出或真或偽的判斷的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“猜想—驗(yàn)證”是發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的重要數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師需要經(jīng)常性地結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考、敢于猜想、思考驗(yàn)證。比如我們在執(zhí)教“神奇的495”一課時(shí)，先是說明規(guī)則，然后讓學(xué)生自己舉一個(gè)例子試試。許多學(xué)生自己選擇3個(gè)數(shù)字按照規(guī)則一直減下去，最后得到結(jié)果495。此時(shí)，學(xué)生產(chǎn)生猜想：是不是真的隨便選擇3個(gè)數(shù)字組成最大的數(shù)和最小的數(shù)，連續(xù)相減，結(jié)果都能得到495呢？為了驗(yàn)證猜想，需要學(xué)生再次舉例。如用“3、5、7”來寫，得到：753-357=396，963-369=594，954-459=495；用“8、6、1”來寫，得到：861-168=693，963-369=594，954-459=495。當(dāng)學(xué)生有了結(jié)合例子運(yùn)算的體驗(yàn)，積累了較為豐富的感性經(jīng)驗(yàn)后，教師便可提出問題：“你從這些算式中發(fā)現(xiàn)了什么？”引導(dǎo)學(xué)生分析。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：每次計(jì)算結(jié)果中間數(shù)字都是9，被減數(shù)和減數(shù)中間的數(shù)字都是一樣的。還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：三個(gè)不同的數(shù)字，組成最大的數(shù)和最小的數(shù)，被減數(shù)的個(gè)位一定是減數(shù)的百位，所以被減數(shù)的個(gè)位一定比減數(shù)的個(gè)位小，并且他們中間的數(shù)字又相同，個(gè)位不夠減，向前一位借1。當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生提出新的問題，有學(xué)生問：“4個(gè)數(shù)字按這樣算會(huì)不會(huì)也有數(shù)字黑洞？”在這個(gè)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過舉例，利用合情推理發(fā)現(xiàn)“3個(gè)數(shù)字的數(shù)字黑洞”問題，同時(shí)從最后一位學(xué)生提出的“4個(gè)數(shù)字的數(shù)字黑洞”探索想法看出，學(xué)生具有進(jìn)一步思考與探索的欲望。這便是一種邏輯思考意識被觸發(fā)的過程，是一種理性思維常有的表現(xiàn)。

作為學(xué)生理性思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)階段，發(fā)展小學(xué)生的理性思維需要結(jié)合他們這個(gè)年齡階段的心理特征，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，既關(guān)注感性經(jīng)驗(yàn)的激活，形象思維的激發(fā)，又要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對知識的本質(zhì)內(nèi)涵進(jìn)行符合邏輯的抽象、概括、提煉、歸納，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，理性思維能夠得到發(fā)展。

（作者單位：浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心 北京師范大學(xué)南湖附屬學(xué)校）