李響 趙陽(yáng) 梁棟 游斌弟

(1 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)(2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，山東威海 264209)

衛(wèi)星可展開(kāi)天線機(jī)構(gòu)由行星輪系關(guān)節(jié)實(shí)現(xiàn)俯仰和方位運(yùn)動(dòng)，在軌工作時(shí)，其指向行為和指向精度受到行星輪系關(guān)節(jié)的裝配精度、制造誤差等因素影響，且影響具有復(fù)雜性與隨機(jī)性，所以研究天線機(jī)構(gòu)的指向行為和提高指向精度是必要的。

文獻(xiàn)[1]根據(jù)方位-俯仰型天線建立誤差模型，分析天線指向精度受不同誤差因素影響程度，探討了星載天線指向精度的誤差源；文獻(xiàn)[2]綜合考慮多種誤差因素影響，利用齊次變換矩陣推導(dǎo)得出了天線指向精度的一般分析方法；文獻(xiàn)[3]以某一型天線雙軸定位機(jī)構(gòu)為例，從傳動(dòng)、測(cè)量、安裝、熱變形誤差等多個(gè)方面研究各影響因素的分析模型和計(jì)算方法，建立了天線指向精度分析模型。這些研究表明：傳動(dòng)關(guān)節(jié)間隙對(duì)星載天線的指向行為有不可忽略的影響，尤其在微重力環(huán)境下，由間隙引起的碰撞更為明顯，會(huì)影響到系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)性能。因此，隨著對(duì)天線指向精度要求的不斷提高，考慮傳動(dòng)關(guān)節(jié)間隙對(duì)天線指向性能的影響尤為重要。文獻(xiàn)[4]以某衛(wèi)星天線雙軸傳動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，同時(shí)考慮方位軸和俯仰軸的關(guān)節(jié)間隙，利用虛擬樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真，分析間隙大小對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)行穩(wěn)定性的影響規(guī)律，但其僅通過(guò)商業(yè)軟件定性分析了關(guān)節(jié)間隙對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的影響特點(diǎn)，因此需要通過(guò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步表征間隙對(duì)天線機(jī)構(gòu)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[5]研究間隙等非線性因素對(duì)雙軸傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，以非線性等效彈簧阻尼模型和庫(kù)倫摩擦模型為基礎(chǔ)，建立了含間隙驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)模型，分析間隙大小和驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)于系統(tǒng)指向精度的影響，但僅僅把關(guān)節(jié)的間隙等效為孔軸間隙，尚未考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部傳動(dòng)的齒輪側(cè)隙幾何關(guān)系變化，因此需要具體考慮行星輪系關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的間隙對(duì)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[6]考慮齒輪側(cè)隙和摩擦的影響，建立了一種行星齒輪箱模型，預(yù)測(cè)了嚙合處受間隙影響及摩擦力激發(fā)的動(dòng)力學(xué)行為的耦合影響，發(fā)現(xiàn)改變齒對(duì)之間的接觸載荷，能減小動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。文獻(xiàn)[7]分析了齒輪的動(dòng)態(tài)接觸原理，建立了準(zhǔn)確的分析模型，用以預(yù)測(cè)齒側(cè)間隙等導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)中撞擊和撞擊振動(dòng)的相互作用。文獻(xiàn)[8]建立間隙型非線性動(dòng)力學(xué)模型，提出齒輪側(cè)隙會(huì)使行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)特性，并研究齒輪側(cè)隙對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響，以及轉(zhuǎn)速、間隙大小等因素對(duì)行星輪系動(dòng)態(tài)影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了齒輪側(cè)隙大小對(duì)于輪齒嚙合過(guò)程中脫齒和擠齒以及齒面沖擊的影響；同時(shí)，文獻(xiàn)[9-11]進(jìn)一步考慮齒輪副間多齒輪側(cè)隙、傳遞誤差、嚙合剛度等非線性因素建立行星輪系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，研究了嚙合誤差、多齒輪側(cè)隙等對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為影響，建立了考慮多齒輪側(cè)隙的行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。但以上這些文獻(xiàn)僅僅從行星輪系作為機(jī)構(gòu)模型角度，分析了間隙對(duì)行星輪系振動(dòng)特性的影響規(guī)律，而行星輪系一般作為天線關(guān)節(jié)傳動(dòng)部件，其振動(dòng)因素會(huì)影響整個(gè)展開(kāi)天線機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度，因此需要從系統(tǒng)角度研究行星輪系作為傳動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，其嚙合側(cè)隙變化對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響規(guī)律，從根本上揭示天線展開(kāi)過(guò)程的力學(xué)特性。

齒輪側(cè)隙是指兩個(gè)嚙合齒輪的工作齒面相接觸時(shí)，在兩個(gè)非工作齒面之間形成的間隙，齒輪側(cè)隙變化主要是因?yàn)檩S孔位置誤差引起中心距的變化而導(dǎo)致。本文在上述研究進(jìn)展的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了行星輪系關(guān)節(jié)的間隙對(duì)天線指向精度的影響，分析了其影響規(guī)律，并針對(duì)此規(guī)律提出了提高指向精度的方法，可為優(yōu)化星載天線指向行為提供理論基礎(chǔ)。

1 行星輪系動(dòng)力學(xué)模型

本文所研究的可展開(kāi)天線機(jī)構(gòu)的兩個(gè)關(guān)節(jié)由2K-H型行星齒輪作為傳動(dòng)部件，如圖1所示，可實(shí)現(xiàn)俯仰和方位展開(kāi)運(yùn)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)指向過(guò)程，但由于齒輪之間存在側(cè)隙，其傳動(dòng)過(guò)程引起的沖擊振動(dòng)會(huì)對(duì)整個(gè)天線系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生顯著影響。因此，為了研究其影響規(guī)律，需要對(duì)傳動(dòng)關(guān)節(jié)的具體結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。

圖1 星載可展開(kāi)天線機(jī)構(gòu)模型圖

如圖2所示，2K-H行星輪系傳動(dòng)系統(tǒng)由太陽(yáng)輪、n個(gè)行星輪、行星架和內(nèi)齒輪構(gòu)成?？紤]到行星輪系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其系統(tǒng)具有明顯的質(zhì)量集中，因此應(yīng)用集中參數(shù)模型為行星輪系動(dòng)力學(xué)模型。

根據(jù)天線的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，行星齒輪呈現(xiàn)了平移-扭轉(zhuǎn)耦合受力特性，因此本文研究的平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型，是相對(duì)理想的分析模型。根據(jù)行星輪系特點(diǎn)和文獻(xiàn)[12]，進(jìn)行合理假設(shè)：

(1)各行星輪的物理和幾何參數(shù)相同，并沿太陽(yáng)輪均勻分布且各方向上剛度相同；

(2)各齒輪均為漸開(kāi)線直齒齒輪，忽略各構(gòu)件柔性變形；

(3)行星輪系的運(yùn)動(dòng)在同一平面內(nèi)，不考慮各構(gòu)件橫向位移。

參照上述假設(shè)，建立行星輪系的集中參數(shù)模型如圖3所示。

圖2 2K-H行星輪系傳動(dòng)系統(tǒng)

圖3 行星輪系集中參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameter model of planetary gear train

為方便動(dòng)力學(xué)方程的建立，在圖3中建立廣義坐標(biāo)oxy，其中太陽(yáng)輪S為坐標(biāo)中心，oPnxPnyPn(n=1,2,3)為行星輪坐標(biāo)系，太陽(yáng)輪S的角速度為ωS，第n個(gè)行星輪Pn的角速度為ωPn(n=1,2,3)，行星架C的角速度為ωC，內(nèi)齒輪R的角速度為ωR。內(nèi)齒輪與行星輪之間的嚙合剛度為KRPn，嚙合阻尼系數(shù)CRPn，齒輪側(cè)隙bRPn。每個(gè)構(gòu)件共有3個(gè)自由度，系統(tǒng)為2K-H型行星齒輪傳動(dòng)，因此該系統(tǒng)共有3×3+9=18個(gè)自由度。

根據(jù)圖3所示模型，設(shè)太陽(yáng)輪加速度矢量為aS、行星輪加速度矢量為aPn、行星架加速度矢量為aC，內(nèi)齒輪加速度矢量為aR，則這4個(gè)加速度矢量可表示為

(1)

式中：xi和yi表示構(gòu)件的橫向和縱向位移，i=S、Pn、C和R，分別代表太陽(yáng)輪、第n個(gè)行星輪、行星架和內(nèi)齒輪；ω表示構(gòu)件的角速度；j和k分別為x方向和y方向的單位矢量。

當(dāng)考慮齒輪接觸碰撞力的作用下，利用Lagrange方程推導(dǎo)微分方程，可得

(2)

式中：J為構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Δt為作用時(shí)間；n=1,2,3；rbS為太陽(yáng)輪基圓半徑；rC為行星架半徑；m為各結(jié)構(gòu)質(zhì)量；Fe為法向接觸力；Ff為切向接觸力；α為壓力角；TD為輸入轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

應(yīng)用等效彈簧阻尼模型求解法向接觸力為

(3)

式中：K為等效接觸剛度系數(shù)；ζ為嚙合點(diǎn)法向變形量；e為碰撞回復(fù)系數(shù)；a為各構(gòu)件加速度。

根據(jù)齒輪側(cè)隙產(chǎn)生原因，首先分析內(nèi)齒輪與行星輪間的中心距和齒輪側(cè)隙對(duì)行星輪系動(dòng)力學(xué)模型的影響，再確定其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的影響。在行星輪系集中參數(shù)模型中，行星輪的動(dòng)力學(xué)參數(shù)有：嚙合剛度，嚙合阻尼系數(shù)以及齒輪側(cè)隙，在以往建立齒輪側(cè)隙非線性函數(shù)方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)集中參數(shù)模型中建立的坐標(biāo)系，考慮太陽(yáng)輪與行星輪嚙合點(diǎn)的振動(dòng)位移量為xi和yi，偏轉(zhuǎn)角度為θi，基圓半徑為ri，其中i=S,P。為了進(jìn)一步完善表達(dá)式，綜合分析中心距c的影響，所以將嚙合角φb和重合度εb的變化考慮在內(nèi)，則太陽(yáng)輪與行星輪沿著嚙合線方向的相對(duì)位移為

Δs=rSθS-rPθP+(xS-xP)sinφb+

(yS-yP)sinφb+εb

(4)

其中：

εb=2csinφb-u[(Z1+Z2)(φb-α)cosα+

(Z1+Z2)sinα]

(5)

(6)

式中：u和Z為齒輪模數(shù)和齒數(shù)。

為了進(jìn)一步探討齒輪側(cè)隙對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響，采用齒輪側(cè)隙位移函數(shù)表達(dá)，齒輪側(cè)隙位移函數(shù)與太陽(yáng)輪和行星輪間的相對(duì)位移Δs、內(nèi)齒輪與行星輪間的齒輪側(cè)隙的大小bRPn有關(guān)，齒輪側(cè)隙位移函數(shù)為

(7)

2 含側(cè)隙行星輪系的星載天線系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

將星載天線系統(tǒng)視為一個(gè)多體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，由衛(wèi)星本體、天線臂桿、反射面和行星輪系關(guān)節(jié)組成。衛(wèi)星本體假設(shè)為太空中的一個(gè)自由基體，天線假設(shè)為一個(gè)簡(jiǎn)單鏈?zhǔn)蕉囿w，其起始端固定在衛(wèi)星基體上，圖4為星載天線示意圖。將整個(gè)星載天線系統(tǒng)視為剛體且在太空中不受任何外力矩和外力的作用，衛(wèi)星本體為浮動(dòng)基座且為受控基，而星載天線的反射面與其末端轉(zhuǎn)軸聯(lián)結(jié)在一起，忽略太空微重力的作用影響，且系統(tǒng)保持動(dòng)量守恒。

根據(jù)模型假設(shè)，建立衛(wèi)星及衛(wèi)星天線坐標(biāo)：慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)Or，衛(wèi)星本體坐標(biāo)系原點(diǎn)O和各個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點(diǎn)On；旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角為θ1，θ2，θ3等；qog為本體質(zhì)心到星載天線系統(tǒng)質(zhì)心矢量；po3為天線轉(zhuǎn)軸的末端位置矢量；qo為本體質(zhì)心的位置矢量；Og為星載天線系統(tǒng)質(zhì)心；Bi為臂桿。

將臂桿視為剛體，建立臂桿Bi沿oixi和oiyi方向的振動(dòng)方程為

(8)

式中：Δθ是臂桿轉(zhuǎn)動(dòng)的微小角度；qi是臂桿i的質(zhì)心矢量，Exi和Eyi是xi和yi方向的彎曲剛度，xi和yi是相對(duì)于慣性坐標(biāo)系x和y方向的彈性位移，λxi和λyi是分布載荷，σi是Bi桿的密度，其中i=1,2,3。

利用振型級(jí)數(shù)逼近的方法可得含行星輪系的天線動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

圖4 星載天線系統(tǒng)坐標(biāo)Fig.4 Coordinate axis of satellite antenna

3 數(shù)值仿真

基于上述對(duì)行星輪系的模型和天線動(dòng)力學(xué)模型的描述，本文采用Newmark數(shù)值方法，并通過(guò)Matlab軟件編程，對(duì)間隙因素對(duì)指向精度的影響進(jìn)行仿真分析，行星輪系關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 行星輪系主要參數(shù)

仿真主要分為單個(gè)行星輪系和多個(gè)行星輪系對(duì)天線動(dòng)力學(xué)的影響兩個(gè)部分，根據(jù)天線動(dòng)力學(xué)模型確定臂桿主要參數(shù)(見(jiàn)表2)，并以行星輪系關(guān)節(jié)作為耦合動(dòng)力學(xué)分析。

表2 臂桿主要參數(shù)

根據(jù)表2設(shè)置臂桿主要參數(shù)，仿真時(shí)，太陽(yáng)輪為主動(dòng)輪。為其施加驅(qū)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為8.0(°)/s仿真時(shí)長(zhǎng)為5.0 s，初始摩擦系數(shù)為0.2，研究天線相對(duì)于空間坐標(biāo)系的波動(dòng)情況。

側(cè)隙對(duì)天線動(dòng)力學(xué)的影響主要分為太陽(yáng)輪與行星輪嚙合的相對(duì)位移和行星輪與內(nèi)齒輪嚙合的齒輪側(cè)隙，根據(jù)第2節(jié)對(duì)齒輪側(cè)隙及相對(duì)位移計(jì)算的分析，分為0 mm(理想狀態(tài))、0.05 mm、0.10 mm、0.15 mm和0.20 mm五種不同情況進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析。

為考慮單個(gè)行星輪系的不同齒輪側(cè)隙大小對(duì)天線動(dòng)力學(xué)的影響，分析天線相對(duì)于理想狀態(tài)(齒輪側(cè)隙為零)的運(yùn)動(dòng)偏差，仿真結(jié)果如圖5所示。由式(4)～式(7)可知，行星輪與內(nèi)齒輪的齒輪側(cè)隙bRPn和太陽(yáng)輪與行星輪嚙合的相對(duì)位移Δs變化，會(huì)導(dǎo)致齒輪側(cè)隙位移f(Δs)波動(dòng)，由于臂桿等構(gòu)件傳遞波動(dòng)，導(dǎo)致天線的指向與理想位置的偏移量增大。仿真結(jié)果符合這一趨勢(shì)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，天線偏移量出現(xiàn)大的峰值，在0.5～0.7 s之后，偏移量回落到一個(gè)較小值，之后隨著時(shí)間的增加，偏移量也逐漸趨于平穩(wěn)，整個(gè)過(guò)程呈現(xiàn)周期震蕩趨勢(shì)。當(dāng)單個(gè)行星輪系的齒輪側(cè)隙為0.05 mm和0.1 mm時(shí)，最大偏移量分別為0.05 mm和0.08 mm。而當(dāng)齒輪側(cè)隙大于0.15 mm時(shí)，偏移量會(huì)出現(xiàn)大幅波動(dòng)，偏移量超過(guò)0.14 mm。表明：由于存在較大的齒輪側(cè)隙，會(huì)導(dǎo)致行星輪系的輪齒嚙合出現(xiàn)脫齒現(xiàn)象，使得齒輪嚙合精度下降，傳動(dòng)效率降低。因此，應(yīng)該盡量減小齒輪側(cè)隙，以提高齒輪精度。

圖5 不同間隙相對(duì)于理想狀態(tài)下絕對(duì)偏移量

在一個(gè)行星輪系的基礎(chǔ)上分析兩個(gè)行星輪系對(duì)天線動(dòng)力學(xué)的耦合影響，兩個(gè)關(guān)節(jié)的行星輪系均采用相同的齒輪側(cè)隙，對(duì)上述5種不同側(cè)隙情況進(jìn)行仿真分析。仿真時(shí)，轉(zhuǎn)速為8.0(°)/s，仿真時(shí)長(zhǎng)為5.0 s，摩擦系數(shù)為0.2。

仿真結(jié)果如圖6所示，齒輪側(cè)隙越小，天線相對(duì)偏移量的波動(dòng)越小，但由于兩個(gè)行星輪系關(guān)節(jié)的耦合作用，導(dǎo)致天線指向呈現(xiàn)更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特性。相比于單行星輪系關(guān)節(jié)，雙行星輪系關(guān)節(jié)系統(tǒng)中的多間隙運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于不同時(shí)處于接觸或懸空狀態(tài)，發(fā)生強(qiáng)烈的耦合作用，間隙的相互抵消或疊加導(dǎo)致關(guān)節(jié)間碰撞更加劇烈，使天線偏移量波動(dòng)更加明顯，頻率更快，幅值更大，周期性不夠明顯，且波動(dòng)時(shí)間更長(zhǎng)，無(wú)法盡快恢復(fù)接觸狀態(tài)。由圖6與圖5對(duì)比可知，雙行星輪系關(guān)節(jié)導(dǎo)致的天線偏移量在同等齒輪側(cè)隙下約為單關(guān)節(jié)的兩倍，間隙越大時(shí)，出現(xiàn)極限碰撞位置的頻率越高，行星輪系的輪齒嚙合精度明顯下降，天線偏移量波動(dòng)更大。因此，在設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該盡量同時(shí)減小兩個(gè)行星輪系齒輪側(cè)隙，以提高行星輪系傳動(dòng)精度。

圖6 不同間隙相對(duì)于理想狀態(tài)下相對(duì)偏移量

4 結(jié)論

本文針對(duì)行星輪系關(guān)節(jié)存在齒輪側(cè)隙因素對(duì)天線指向精度的影響，采用多體動(dòng)力學(xué)方法構(gòu)建了含齒輪側(cè)隙行星輪系的天線系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)Newmark數(shù)值方法，仿真分析了齒輪側(cè)隙對(duì)天線指向精度的影響：

(1)在單個(gè)行星輪系關(guān)節(jié)中，當(dāng)齒輪側(cè)隙大于0.15 mm時(shí)，導(dǎo)致天線偏移量超過(guò)0.14 mm，且隨著齒輪側(cè)隙的增大，可能出現(xiàn)齒輪脫齒現(xiàn)象，造成更大的沖擊，對(duì)天線的指向精度更為不利。

(2)相對(duì)于單行星輪系關(guān)節(jié)，雙行星輪系關(guān)節(jié)中，由于存在耦合作用，天線偏移量波動(dòng)頻率更高，幅值更大，呈現(xiàn)更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)特性。當(dāng)齒輪側(cè)隙為0.15 mm時(shí),所造成的天線偏移量絕對(duì)值達(dá)到了0.3 mm，盡可能減小齒輪側(cè)隙能保證行星齒輪關(guān)節(jié)傳動(dòng)的穩(wěn)定，在加工制造中，將齒輪側(cè)隙控制在0.1 mm以下，有利于提高星載天線的指向精度。

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