叢丹妮，吳美平，胡小平

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，長(zhǎng)沙410073）

0 引言

重力梯度信息不但反映地球表層及內(nèi)部的密度分布和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，還具有很高的軍事價(jià)值，如提升自主導(dǎo)航精度；提升導(dǎo)彈的命中精度；感應(yīng)到空間飛行物或水下潛航器，有力破除空中或水下的威脅［1-4］。這些優(yōu)勢(shì)使得重力梯度測(cè)量成為當(dāng)今世界重力測(cè)量的熱點(diǎn)，各國(guó)的學(xué)者都對(duì)它的測(cè)量方法進(jìn)行了各種各樣的探索。傳統(tǒng)的測(cè)量方法性能不佳，超導(dǎo)與原子技術(shù)的探索未能得到實(shí)際應(yīng)用［5-7］。 美國(guó)Bell Aerospace公司（現(xiàn)并入Lockheed Martin公司）研制的旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)式的全張量重力梯度儀Air-FTGTM，在軍事和商業(yè)上都取得了一定的應(yīng)用，效果良好。我國(guó)自20世紀(jì)90年代開(kāi)始研究，截至目前并沒(méi)有成熟完整的重力梯度儀產(chǎn)品，對(duì)重力梯度儀的實(shí)物設(shè)計(jì)、信號(hào)提取處理方法上接近空白，基本停留在理論研究、建模仿真階段。旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)式重力梯度儀是由多種機(jī)械裝置組成，加速度計(jì)安裝精度、旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定性、平臺(tái)穩(wěn)定性等都會(huì)對(duì)重力梯度信號(hào)準(zhǔn)確性產(chǎn)生很大影響［8］。因此，合理限定重力梯度傳感器結(jié)構(gòu)精度對(duì)于測(cè)量結(jié)果精度有很重要的意義。而建立與分析結(jié)構(gòu)精度可以從結(jié)構(gòu)誤差模型入手，諸多文獻(xiàn)均對(duì)重力梯度儀的測(cè)量原理建立數(shù)學(xué)模型，但結(jié)果各不相同。不同的測(cè)量原理模型會(huì)推導(dǎo)出不同的結(jié)構(gòu)誤差模型，對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和輸出結(jié)果精度有不同程度的指導(dǎo)意義。本文從牛頓定律入手，進(jìn)行重力梯度傳感器的受力分析，考慮慣性系與非慣性系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，建立了相對(duì)完善的測(cè)量原理模型、結(jié)構(gòu)誤差模型，為進(jìn)一步的機(jī)械精度設(shè)計(jì)、實(shí)物設(shè)計(jì)、測(cè)量和提取信號(hào)工作打下基礎(chǔ)。

1 單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制重力梯度儀測(cè)量原理

1.1 重力梯度概念

重力梯度的物理意義是用來(lái)描述重力分量因位置而產(chǎn)生的變化，重力梯度為重力位W的2階導(dǎo)數(shù)，即：

重力梯度張量Γ為：

其中，Γxx表示gx在x方向的空間變化率，Γxy表示gx在y方向的空間變化率，Γyy表示gy在y方向的空間變化率等。由偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)求導(dǎo)順序可交換得：

由場(chǎng)論中的相關(guān)知識(shí)可知，在地球球體外部重力位處處連續(xù)而有限，重力勢(shì)滿(mǎn)足Laplace方程：

綜上，只需求解重力位的二次導(dǎo)數(shù)中的任意5個(gè)相互獨(dú)立的數(shù)值即可得到全部梯度信息。

1.2 重力梯度測(cè)量方法與單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制概念

早期的扭秤測(cè)量利用重力矩的作用可以獲得Γxz、Γyz、Γxy、ΓΔ＝Γyy-Γxx4個(gè)梯度分量。

旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)重力梯度儀主要使用加速度計(jì)間的比力差值來(lái)感應(yīng)重力的變化率。假設(shè)距離為Δl的兩個(gè)加速度計(jì)A1、A2處的重力分別為g1、g2，則A2處的重力可近似用A1處的重力表示為：

加速度計(jì)A1、A2的比力輸出分別為a1和a2，則a1、a2必然與g1、g2有關(guān)。將a1和a2合理組合即可得到Δg＝g2-g1，進(jìn)一步可以求得加速度計(jì)A1處的重力梯度張量。

但是對(duì)于重力梯度儀來(lái)說(shuō)，現(xiàn)有加速度計(jì)的精度遠(yuǎn)不能達(dá)到要求。地球的重力梯度信號(hào)極其微弱，如果測(cè)量精度為1E，那么相當(dāng)于在空間相距10cm的兩點(diǎn)重力差值為10-11g［9］。通過(guò)大幅度提高材料性能、加工工藝精度或者加速度計(jì)的精度性能來(lái)達(dá)到重力梯度儀的精度需求，目前的相關(guān)技術(shù)和加工工藝水平還難以達(dá)到需求。因此，美國(guó)Bell Aerospace Textron公司采用旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)的理念，通過(guò)系統(tǒng)的技術(shù)來(lái)突破單個(gè)元器件的性能極限，從而達(dá)到測(cè)量微弱重力梯度信號(hào)的目標(biāo)。該公司與澳大利亞聯(lián)合研制的產(chǎn)品已經(jīng)成功投入使用［3］，而旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)式重力梯度儀也是目前唯一獲得實(shí)際成功應(yīng)用的、適合機(jī)載、船載的梯度測(cè)量?jī)x器［10］。

單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制重力梯度傳感器（Gravity Gradient Instrument，GGI）示意圖如圖1所示，兩對(duì)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)且正交的高精度加速度計(jì)被安裝在轉(zhuǎn)盤(pán)上?；诂F(xiàn)有加速度計(jì)，采用旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)進(jìn)一步提高加速度計(jì)的使用精度，經(jīng)過(guò)圓盤(pán)的勻速旋轉(zhuǎn)，將重力梯度信號(hào)調(diào)制在兩倍轉(zhuǎn)速頻率上。這種方法使得GGI可以消除載體運(yùn)動(dòng)對(duì)加速度計(jì)的影響，從而與其他的噪聲分離開(kāi)。

2 重力梯度傳感器信號(hào)輸出模型

就GGI中的加速度計(jì)進(jìn)行比力輸出分析，根據(jù)Taylor展開(kāi)：

其中，r為加速度計(jì)到圓盤(pán)中心的理論距離；a1x是標(biāo)號(hào)為1的加速度計(jì)在x方向的加速度；a0x是圓盤(pán)中心在x方向的加速度；轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是ω，則ωt是1號(hào)加速度計(jì)在重力梯度儀中轉(zhuǎn)過(guò)的角。

加速度計(jì)只輸出敏感軸比力，因此1號(hào)加速度計(jì)輸出比力f1為：

4個(gè)加速度計(jì)測(cè)得信號(hào)輸出方程為：

其中，v1、v2、v3、v4具有如下關(guān)系：

分別是加速度計(jì)敏感軸方向向量。利用加速度計(jì)的輸出組合，可以解調(diào)出梯度分量Γxy、Γxx-Γyy：

旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)重力梯度儀都是基于矢量差分來(lái)工作的， 但文獻(xiàn)［8］、 文獻(xiàn)［11］～文獻(xiàn)［13］都對(duì)工作模型進(jìn)行了推導(dǎo)，卻得出了不相同的模型。對(duì)于微弱的梯度信號(hào)來(lái)說(shuō)，測(cè)量模型的完善與否，會(huì)大幅度影響測(cè)量的精度。由于重力梯度傳感器所處的平臺(tái)穩(wěn)定系統(tǒng)、系統(tǒng)所在的載體甚至地球嚴(yán)格說(shuō)來(lái)都不是慣性坐標(biāo)系，本文將著眼慣性系與非慣性系之間的受力分析，對(duì)重力梯度傳感器圓盤(pán)中心加速度以及實(shí)際的圓盤(pán)中心梯度值進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析進(jìn)而建立二者關(guān)聯(lián)模型，進(jìn)一步推導(dǎo)更為完善的測(cè)量模型，為進(jìn)一步的誤差模型分析、機(jī)械精度設(shè)計(jì)、載體平臺(tái)的穩(wěn)定性提出要求。

基于動(dòng)力學(xué)分析，加速度計(jì)在檢測(cè)時(shí)，由彈簧力與阻尼器阻力均為零時(shí)的平衡位置B移動(dòng)到N，內(nèi)部結(jié)構(gòu)受力如圖2所示。此時(shí)，彈簧力阻力平衡加速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力，并且還受所有天體的萬(wàn)有引力U。

分析加速度計(jì)內(nèi)部質(zhì)量塊的受力，由牛頓第一定律可得：

其中，平衡位置到非平衡位置的位移為sBN；c、k、m分別為阻尼系數(shù)、彈簧彈性系數(shù)和加速度計(jì)質(zhì)量塊質(zhì)量?？紤]在慣性坐標(biāo)系中，檢測(cè)質(zhì)量相對(duì)于I的位移為sIN，則絕對(duì)加速度a的表達(dá)式為：

檢測(cè)到結(jié)果輸出時(shí)，加速度及系統(tǒng)中，質(zhì)量塊在N點(diǎn)處于平衡，則有：

推導(dǎo)在此狀態(tài)下敏感軸測(cè)量值為：

可忽略除地球外其他天體的引力，考慮圓盤(pán)中心真實(shí)重力值，建立梯度關(guān)系：

其中，sTB是轉(zhuǎn)盤(pán)中心到加速度計(jì)質(zhì)量塊質(zhì)心的位移，g0是重力梯度傳感器圓盤(pán)中心實(shí)際梯度值。

推導(dǎo)真實(shí)梯度值與加速度計(jì)測(cè)量值之間的關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是建立含有各坐標(biāo)系之間相對(duì)慣性坐標(biāo)系的加速度、相信加速度、Coriolis力的模型。為方便建立各個(gè)相關(guān)系統(tǒng)之間的受力模型，令地心坐標(biāo)系為E，載體平臺(tái)坐標(biāo)系為P，重力梯度儀傳感器轉(zhuǎn)盤(pán)坐標(biāo)系為T(mén)，加速度計(jì)靜態(tài)坐標(biāo)系為S，檢測(cè)質(zhì)量坐標(biāo)系為M。并按各坐標(biāo)系分解檢測(cè)質(zhì)量相對(duì)慣性坐標(biāo)系的位移：

代入式（1）， 并結(jié)合式（13）～ 式（15）可抵消sBN并分解其余項(xiàng)：

其中，ωE、ωP、ωT分別是地球自轉(zhuǎn)角速度、載體平臺(tái)角速度和梯度傳感器轉(zhuǎn)盤(pán)自轉(zhuǎn)角速度。

綜合以上方程，建立a0、g0與加速度計(jì)輸出之間的關(guān)系模型。

重力梯度傳感器圓盤(pán)上加速度計(jì)的輸出為：

重力梯度傳感器圓盤(pán)中心點(diǎn)加速度表達(dá)式為：

其中，sTB是重力梯度傳感器圓盤(pán)坐標(biāo)系中心點(diǎn)到一個(gè)加速度計(jì)質(zhì)心的位移，定義為r：

式（21）是重力梯度載體平臺(tái)和重力梯度傳感器轉(zhuǎn)盤(pán)自轉(zhuǎn)角加速度之和。

同樣，令式（21）中各向量的分解形式分量為：

帶入式（8）中：

理論輸出Sout為：

在重力梯度傳感器轉(zhuǎn)盤(pán)上相對(duì)的兩個(gè)加速度計(jì)的輸出中，存在對(duì)應(yīng)的差模分量項(xiàng)，輸出做和會(huì)起到抑制的作用，進(jìn)一步將相對(duì)加速度的和做差會(huì)消除載體平臺(tái)和梯度傳感器圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，消除了一定噪聲影響。信號(hào)被調(diào)制到轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)速的二倍頻，進(jìn)一步可解調(diào)出信號(hào)。

3 重力梯度傳感器結(jié)構(gòu)誤差建模

加速度計(jì)安裝在轉(zhuǎn)盤(pán)上，有6個(gè)自由度，安裝誤差可分為位移誤差和角度誤差。其中，位移誤差分為徑向誤差、切向誤差和高度誤差，角度誤差分為方向角誤差、俯仰角誤差和滾轉(zhuǎn)角誤差。分別建立相應(yīng)的誤差模型，轉(zhuǎn)速二倍頻的信號(hào)系數(shù)中含有梯度信號(hào)與誤差項(xiàng)，在假設(shè)只存在重力梯度傳感器本身的結(jié)構(gòu)誤差和轉(zhuǎn)速隨機(jī)誤差的前提下（忽略信號(hào)輸出過(guò)程誤差、信號(hào)測(cè)量誤差、信號(hào)解調(diào)誤差等），研究重力梯度傳感器結(jié)構(gòu)本身未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的分配。通過(guò)合理的誤差分配，進(jìn)而確保結(jié)果精度為10E前提下，滿(mǎn)足結(jié)構(gòu)精度要求、平臺(tái)穩(wěn)定性要求等。

為方便計(jì)算，在梯度傳感器圓盤(pán)上建立與圓盤(pán)相對(duì)靜止的幾何坐標(biāo)系，坐標(biāo)中心位于圓盤(pán)中心，X-O-Y平面位于圓盤(pán)上表面，如圖3所示。

3.1 徑向安裝誤差模型

徑向安裝誤差為Δrn＝rn-r（n＝1， 2， 3， 4），r為安裝半徑理論值，rn為實(shí)際安裝徑向長(zhǎng)度。以1號(hào)加速度為例說(shuō)明，安裝半徑理論坐標(biāo)為（r，0，0），則實(shí)際安裝徑向長(zhǎng)度為（r1，0，0）。將實(shí)際徑向半徑rn＝Δrn+r分別代替原來(lái)的理論半徑：

加速度編號(hào)為2、3、4的計(jì)算方法與1同理，得到存在徑向安裝誤差時(shí)的梯度傳感器實(shí)際輸出SoutΔr為：

其中，aΔr1、aΔr2、aΔr3、aΔr4分別是標(biāo)號(hào)為 1、2、3、4的加速度計(jì)在徑向誤差影響下測(cè)量的加速度值。

徑向誤差模型建立完成，在測(cè)量精度要求為10E的前提下，分析誤差模型中的輸出項(xiàng)。信號(hào)從轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)速的2倍頻信號(hào)解調(diào)，令正弦函數(shù)sin2ωt和余弦函數(shù)cos2ωt的系數(shù)，即輸出信號(hào)的實(shí)際測(cè)量幅度值分別為Asin和Acos。在與徑向誤差之和的耦合過(guò)程中，ω的直流分量并不對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，而重力梯度傳感器圓盤(pán)和角加速度之和的分量αPTz在進(jìn)行Fourier變換后，會(huì)在2倍頻上疊加一個(gè)信號(hào)，該信號(hào)在2倍頻處的幅度值也成為輸出信號(hào)幅度值中的一項(xiàng)，設(shè)為α2ω。

在假設(shè)只存在重力梯度傳感器本身的結(jié)構(gòu)誤差和轉(zhuǎn)速隨機(jī)誤差的前提下（忽略信號(hào)輸出過(guò)程誤差、信號(hào)測(cè)量誤差、信號(hào)解調(diào)誤差等），研究重力梯度傳感器結(jié)構(gòu)本身未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的分配，這兩種誤差在合成和分配時(shí)可以同等看待，分配方法也完全相同。在等作用原則下分配誤差，存在誤差函數(shù)：

其中，ωc＝（ωEx-ωEy+ωPx-ωPy+ωTx-ωTy）·（ωEx+ωEy+ωPx+ωPy+ωTx+ωTy）是由各系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動(dòng)引起的角速度常數(shù)。

等作用原則分配誤差，則有：

其中，δα、δR1、δR2、δR3、δR4分別是隨機(jī)誤差α2ω和未定系統(tǒng)誤差ΔR1、ΔR2、ΔR3、ΔR4的極限誤差。

若忽略轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)不穩(wěn)定的影響，則N＝4，則有：

3.2 切向安裝誤差模型

1號(hào)加速度計(jì)理論位置（r，0，0），實(shí)際位置（r，yτ， 0）。 其中，yτ ＝rtanΔφ是切向方向安裝誤差，Δφ是切向方向的線(xiàn)性安裝誤差導(dǎo)致的初始角安裝誤差，同時(shí)會(huì)產(chǎn)生徑向長(zhǎng)度誤差，使徑向理論長(zhǎng)度rn變?yōu)榍邢蛘`差存在時(shí)的實(shí)際長(zhǎng)度rnΔτ：

與對(duì)應(yīng)Δφn的數(shù)量級(jí)相比， ｜c(diǎn)osΔφn-1｜的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于Δφn。因此，初始角徑向長(zhǎng)度誤差可以忽略不計(jì)。代入初始角誤差，整理得到重力梯度傳感器輸出誤差ΔSΔτ為：

在重力梯度傳感器切向誤差模型中，不含有隨機(jī)誤差項(xiàng)。第3項(xiàng)為直流分量，對(duì)結(jié)果不產(chǎn)生影響。在等作用影響前提下，考慮正弦信號(hào)的Γxy和余弦信號(hào)的Γxx-Γyy，則有：

其 中，δφ1、δφ2、δφ3、δφ4分 別 為φ1、φ2、φ3、φ4的極限誤差。則每個(gè)加速度計(jì)的切向安裝極限誤差為yτ＝rtanδφ＝rtan2.5E。

3.3 高度安裝誤差模型

存在高度安裝誤差時(shí)，加速度計(jì)位置坐標(biāo)變?yōu)椋╮， 0，Δh1）。 其中，Δh1是 1號(hào)加速度計(jì)的高度誤差使得圓盤(pán)中心點(diǎn)到加速度計(jì)的重心的位移在原來(lái)基礎(chǔ)上增加了z軸方向的位移，向量點(diǎn)積計(jì)算后會(huì)產(chǎn)生z方向的梯度分量。存在高度誤差的輸出誤差ΔSΔh的表達(dá)式為：

其中，Δh1、Δh2、Δh3、Δh4分別是標(biāo)號(hào)為 1、2、 3、 4 的加速度計(jì)的高度安裝誤差，SoutΔh、Sout分別是存在高度誤差時(shí)的實(shí)際輸出和理論輸出結(jié)果。

3.4 方向角安裝誤差模型

切向角安裝誤差造成了加速度計(jì)敏感軸方向的改變，1到4號(hào)及速度計(jì)改變的角度為ψn（n＝1，2，3，4）。此時(shí)敏感軸方向向量變?yōu)椋?/p>

其中，νΔψ1、νΔψ2、νΔψ3、νΔψ4分別是存在方向角誤差時(shí)，標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的加速度計(jì)敏感軸實(shí)際方向向量將νΔψn代替νn帶入原加速度計(jì)輸出表達(dá)式。與理論結(jié)果做差，整理得到存在方向角誤差時(shí)的梯度誤差ΔSΔψ為：

其中，SoutΔψ、Sout分別是存在方向角誤差時(shí)的實(shí)際輸出和理論輸出結(jié)果。

而 （a0x-g0x）和（a0y-g0y）各自的 Fourier展開(kāi)在轉(zhuǎn)速1倍頻的項(xiàng)和sinωt、cosωt運(yùn)算產(chǎn)生2倍頻信號(hào)，系數(shù)設(shè)為Cagxω、Cagyω。在對(duì)此進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)那疤嵯拢瑒t有：

等作用原則下，有：

3.5 俯仰角安裝誤差模型

俯仰角存在安裝誤差θn，是加速度計(jì)繞sTB轉(zhuǎn)動(dòng)θn，導(dǎo)致了敏感軸方向向量的改變。

其中，SoutΔθ、Sout分別是存在俯仰角誤差時(shí)的實(shí)際輸出和理論輸出結(jié)果。理想狀態(tài)下有：

其中，δθn為俯仰角的極限誤差。

3.6 滾轉(zhuǎn)角安裝誤差模型

滾轉(zhuǎn)角的安裝誤差使得加速度計(jì)以敏感軸方向?yàn)檩S轉(zhuǎn)動(dòng)，但是該轉(zhuǎn)角既不影響敏感軸方向向量，也不影響圓盤(pán)中心到加速度計(jì)重心的位移向量，所以并不影響測(cè)量以及結(jié)果的正常輸出。

4 結(jié)論

本文從旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)重力梯度儀測(cè)量原理出發(fā)，建立了重力梯度傳感器的主要結(jié)構(gòu)誤差模型。模型反應(yīng)出各個(gè)誤差源在輸出結(jié)果中與信號(hào)的耦合項(xiàng)，理論上建立了各個(gè)誤差對(duì)輸出結(jié)果的影響關(guān)系。同時(shí)，在精度為10E，重力梯度傳感器圓盤(pán)直徑為400mm的情況下推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)精度的具體數(shù)值。在理想狀態(tài)下，只考慮結(jié)構(gòu)誤差，按等作用原則分配推導(dǎo)安裝極限誤差及根據(jù)極限誤差指導(dǎo)機(jī)械設(shè)計(jì)精度值如表1所示。

表1 加速度計(jì)安裝極限誤差Table 1 Limiting error in accelerometer installation

極限誤差的提出，為進(jìn)一步提出重力梯度傳感器結(jié)構(gòu)精度要求打下基礎(chǔ)。給定以10E為測(cè)量精度條件下，通過(guò)推算的具體精度值發(fā)現(xiàn)，除徑向誤差對(duì)機(jī)械制造加工工藝有實(shí)際的指導(dǎo)意義外，其余精度要求遠(yuǎn)高于國(guó)內(nèi)現(xiàn)有加工水平，即使超精加工也難以達(dá)到要求。為了達(dá)到目標(biāo)測(cè)量精度，除突破現(xiàn)有加工工藝水平外，可以通過(guò)提高載體平臺(tái)穩(wěn)定性，提高相對(duì)應(yīng)加速度計(jì)匹配程度等方法減小誤差影響，或通過(guò)系統(tǒng)誤差標(biāo)定補(bǔ)償，輸出信號(hào)處理等方法來(lái)保證目標(biāo)測(cè)量精度。

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