崔怡望，田寶國，王 棟

(海軍航空工程學(xué)院 a.研究生管理大隊(duì)； b.基礎(chǔ)部， 山東 煙臺(tái) 264001)

Lanchester方程于1914年被提出[1]，是描述空戰(zhàn)的數(shù)學(xué)模型，國內(nèi)外研究者在該模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量研究[2-4]，研究者普遍認(rèn)為Lanchester作戰(zhàn)法則——線性律和平方律已經(jīng)過時(shí)，不能用來解釋說明現(xiàn)代戰(zhàn)爭，原因在于現(xiàn)代戰(zhàn)爭的進(jìn)程和結(jié)果很大程度上依賴于復(fù)雜的環(huán)境、士兵能力以及戰(zhàn)術(shù)策略等綜合因素，于是有些學(xué)者在原有常微分方程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入研究，引入了空間因素。Lauren等使用元胞自動(dòng)機(jī)模型對(duì)Lanchester作戰(zhàn)的時(shí)空動(dòng)力學(xué)[5-13]進(jìn)行了研究，他們通過建立有分形特征的作戰(zhàn)方程解釋特定環(huán)境下作戰(zhàn)兵力采用分散式、游擊戰(zhàn)式或群集式策略的有效性。Ilachinski對(duì)早期的智能體作戰(zhàn)模型進(jìn)行了研究[14-16]，隨著21世紀(jì)的到來，無人機(jī)、機(jī)器人以及網(wǎng)絡(luò)通訊技術(shù)、傳感器的迅速推廣和使用，智能體模型在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、軍事等領(lǐng)域的研究呈爆發(fā)式發(fā)展[17-22]，并具有巨大的應(yīng)用價(jià)值與發(fā)展前景。Protopopescu等人解決了軍隊(duì)通過戰(zhàn)斗空間的運(yùn)動(dòng)模擬問題[23-24]，將Lanchester常微分方程形式擴(kuò)展到了偏微分方程形式，對(duì)部隊(duì)行進(jìn)過程中的擴(kuò)散效應(yīng)和作戰(zhàn)雙方之間不同的相互作用等造成的影響進(jìn)行了研究。后來Gonzalez、Spradlin、Keane等人用偏微分方程分別研究了作戰(zhàn)雙方在整個(gè)戰(zhàn)斗區(qū)域里的運(yùn)動(dòng)或者擴(kuò)散效應(yīng)以及更為復(fù)雜的時(shí)空演化動(dòng)力學(xué)[25-32]，已成為Lanchester作戰(zhàn)模型研究的新發(fā)展方向。

已有研究中的Lanchester作戰(zhàn)模型都沒有考慮作戰(zhàn)個(gè)體的移動(dòng)模式，為了能更好地解釋上述問題，本文運(yùn)用隨機(jī)點(diǎn)陣模擬方法，研究了最近鄰移動(dòng)模式下的Lanchester作戰(zhàn)時(shí)空動(dòng)力學(xué)。

1 模型

首先建立模型，模擬環(huán)境為規(guī)模100×100的平面網(wǎng)格，采用周期邊界條件。二維平面網(wǎng)格上中的每一個(gè)位置由紅、藍(lán)雙方個(gè)體A、B占有，規(guī)定每一位置最多有一個(gè)個(gè)體，若某位置上沒有紅、藍(lán)個(gè)體，則用空位置φ表示。作戰(zhàn)雙方個(gè)體A、B以及空位置φ之間的關(guān)系如下：

(1)

(2)

式(1)、式(2)中：e為交換速率，表示雙方個(gè)體的宏觀流動(dòng)性；μ為消滅增援速率，體現(xiàn)的是雙方個(gè)體的戰(zhàn)斗力與增援能力。為簡明起見，規(guī)定所有作戰(zhàn)個(gè)體的移動(dòng)模式均為最近鄰移動(dòng)模式，此模式指的是作戰(zhàn)個(gè)體每次僅能移動(dòng)到與其最近鄰的空間位置，如在本文工作中，每個(gè)個(gè)體每次僅能移動(dòng)到與其最近鄰的上、下、左、右4個(gè)空位置處；進(jìn)一步假定所有作戰(zhàn)個(gè)體使用武器的平均有效殺傷范圍也是最近鄰模式，例如使用某種輕武器的步兵大致具有這兩個(gè)特點(diǎn)。

上述模型所描述的是平面網(wǎng)格上大量個(gè)體按照式(1)、式(2)發(fā)生相互作用的隨機(jī)過程，根據(jù)Durrett[33]、Reichenbach[34]等學(xué)者運(yùn)用隨機(jī)模擬方法對(duì)平面網(wǎng)格上隨機(jī)的循環(huán)博弈過程等所進(jìn)行的卓有成效研究，本文采用相同的隨機(jī)模擬方法進(jìn)行Monte Carlo模擬，具體步驟為：首先隨機(jī)選擇某一個(gè)位置的個(gè)體，再從其上、下、左、右最近鄰4個(gè)位置處的個(gè)體中隨機(jī)選擇一個(gè)，隨之發(fā)生式(1)、式(2)所表示的相互作用。紅、藍(lán)個(gè)體間的相互作用行為如圖1 (a)～圖1(e)所示。

圖1 紅、藍(lán)方相互作用行為示意圖

2 隨機(jī)模擬

2.1 消滅增援率——交換率臨界曲線

在隨機(jī)點(diǎn)陣模擬過程中，紅方A、藍(lán)方B與空位置φ的初始分布比例大致為3∶3∶4，且為均勻隨機(jī)分布。消滅增援率μ和交換率e為可調(diào)參量。調(diào)整交換率和消滅增援率等參量，觀察紅、藍(lán)雙方的動(dòng)態(tài)戰(zhàn)斗與斑圖演化過程。在隨機(jī)點(diǎn)陣模擬過程中，當(dāng)模擬代數(shù)等于10 000時(shí)，若紅、藍(lán)雙方均存在，定義為穩(wěn)定共存狀態(tài)；若紅、藍(lán)雙方中的其中一方被消滅，定義為非穩(wěn)定共存狀態(tài)。

調(diào)整消滅增援速率μ、交換速率e的值，分別進(jìn)行隨機(jī)模擬，通過模擬得到穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的臨界曲線，如圖2所示，兩臨界曲線及其中間所夾區(qū)域?yàn)榧t、藍(lán)雙方非穩(wěn)定共存的參量區(qū)域，其他參量區(qū)域?qū)?yīng)于紅、藍(lán)雙方穩(wěn)定共存狀態(tài)。

圖2 最近鄰移動(dòng)模式下的消滅增援率——交換率臨界曲線

2.2 消滅增援速率自左向右呈梯度變化

圖3(a)～圖3(d)分別為消滅增援速率呈梯度變化時(shí)，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到5 000代、7 000代、9 000代、11 000代時(shí)的斑圖。

圖3 消滅增援速率呈梯度變化時(shí)的斑圖

然后，改變消滅增援速率為無梯度變化，其他條件保持不變，選取隨機(jī)模擬到相同代數(shù)下的斑圖與之進(jìn)行對(duì)比。相同條件下，消滅增援速率無梯度變化時(shí)斑圖演化如下：

觀察圖3和圖4，對(duì)比消滅增援速率有無梯度變化時(shí)的斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：交換速率等參數(shù)均相同的條件下，當(dāng)消滅增援速率呈梯度變化情況時(shí)，二維網(wǎng)格中右邊位置的個(gè)體更容易消滅其左邊位置的個(gè)體，特別是在形成穩(wěn)定的斑圖之后，觀察效果更加明顯，斑圖中呈現(xiàn)右邊斑塊逐漸吞蝕左邊斑塊的趨勢，即右邊斑塊呈逐漸向左擴(kuò)散趨勢；而當(dāng)消滅增援速率無梯度變化時(shí)，斑塊有擴(kuò)散現(xiàn)象，但其擴(kuò)散方向無明顯趨勢，沒有發(fā)現(xiàn)上述規(guī)律。

分析造成上述現(xiàn)象的原因：消滅增援速率呈梯度變化時(shí)，二維網(wǎng)格自左向右消滅增援速率逐漸增大，而消滅增援速率代表個(gè)體間戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱，當(dāng)左、右兩個(gè)體相遇時(shí)，右邊個(gè)體戰(zhàn)斗力更強(qiáng)，更易消滅左邊個(gè)體，所以當(dāng)形成穩(wěn)定斑塊之后，右邊斑塊更易消滅左邊斑塊，相反，左邊斑塊更易被吞蝕，斑塊整體上呈向左擴(kuò)散趨勢；而當(dāng)消滅增援速率無梯度變化時(shí)，二維網(wǎng)格中每個(gè)位置上的消滅增援速率是相等的，即每個(gè)個(gè)體戰(zhàn)斗力相同，消滅對(duì)方的概率也相同，所以，當(dāng)斑圖形成穩(wěn)定斑塊之后，每個(gè)斑塊向上、下、左、右4個(gè)方向擴(kuò)散的概率是均等的，擴(kuò)散方向無明顯趨勢。

對(duì)應(yīng)上述斑圖中參數(shù)，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬每隔100代計(jì)算一次雙方密度，統(tǒng)計(jì)前50 000代內(nèi)雙方密度，得到消滅增援速率有無梯度變化情況下的雙方密度時(shí)間序列曲線如圖5、圖6所示。

圖4 消滅增援速率無梯度變化時(shí)的斑圖

圖5 消滅增援速率呈梯度變化時(shí)密度時(shí)間曲線

圖6 消滅增援速率無梯度變化時(shí)密度時(shí)間曲線

觀察圖5和圖6，兩種情況下雙方均能保持穩(wěn)定共存狀態(tài)，但穩(wěn)定共存代數(shù)有差別，發(fā)現(xiàn)消滅增援速率呈梯度變化時(shí)，雙方穩(wěn)定共存時(shí)間較短。為了排除實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，兩種情況對(duì)應(yīng)參數(shù)下，各隨機(jī)模擬100次，記錄雙方穩(wěn)定共存代數(shù)，并取平均值，得到結(jié)果：消滅增援速率無梯度變化情況下，當(dāng)其值取最小基礎(chǔ)值μ=1，交換速率取e=0.000 1時(shí)，穩(wěn)定共存代數(shù)為60 698代；當(dāng)其值取其梯度變化過程中的最大值μ=2時(shí)，穩(wěn)定共存代數(shù)為54 341代。而當(dāng)消滅增援速率呈梯度變化時(shí)，穩(wěn)定共存代數(shù)為73 766代。對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，消滅增援速率呈梯度變化時(shí)反而影響了雙方個(gè)體間的相互作用，延長了雙方共存時(shí)間，呈梯度變化造成雙方穩(wěn)定共存時(shí)間更長。

2.3 交換速率自左向右呈梯度變化

圖7(a)～圖7(d)分別是交換速率呈梯度變化時(shí)，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到24 010代、24 020代、24 030代、24 040代的斑圖。

圖7 交換速率呈梯度變化時(shí)的斑圖

然后，改變交換速率為無梯度變化，其他條件保持不變(μ=1、e=0.01)，選取隨機(jī)模擬到相同代數(shù)下的斑圖與之進(jìn)行對(duì)比。相同條件下，交換速率無梯度變化時(shí)斑圖演化如下：

隨機(jī)模擬過程中，選取模擬代數(shù)間隔為10代，主要是考慮到交換速率對(duì)雙方個(gè)體的流動(dòng)性影響較大，不同交換速率情況下，斑圖變化較快，如果模擬代數(shù)間隔較大，不易觀察到斑圖的細(xì)微變化，遂將隨機(jī)模擬代數(shù)間隔取為10代。觀察圖7和圖8，對(duì)比消滅增援速率有無梯度變化時(shí)的斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)交換速率呈梯度變化時(shí)，紅、藍(lán)作戰(zhàn)雙方發(fā)生相互作用并形成穩(wěn)定斑塊之后，紅、藍(lán)交界處發(fā)生相互擴(kuò)散現(xiàn)象，造成紅、藍(lán)斑塊交界處零散混亂，小斑點(diǎn)較多，斑塊邊緣模糊；而當(dāng)交換速率無梯度變化時(shí)，穩(wěn)定斑塊形成后，紅、藍(lán)邊界清晰、整齊，無斑點(diǎn)散亂現(xiàn)象出現(xiàn)。

圖8 交換速率無梯度變化時(shí)密度時(shí)間曲線

分析造成上述現(xiàn)象的原因：當(dāng)交換速率呈梯度變化時(shí)，二維平面網(wǎng)格中，按照位置自左向右交換速率依次增大，造成的結(jié)果是右邊個(gè)體流動(dòng)性較強(qiáng)，雖然斑塊內(nèi)部個(gè)體發(fā)生移動(dòng)對(duì)斑塊影響不明顯，斑塊內(nèi)部觀察不到明顯變化，但是斑塊邊界處即紅藍(lán)斑塊交界處右邊紅方或者是藍(lán)方個(gè)體更易與左邊的空格發(fā)生交換，同理，右邊的空格也會(huì)與左邊紅方或藍(lán)方個(gè)體發(fā)生交換，從而導(dǎo)致雙方個(gè)體擴(kuò)散到敵方斑塊當(dāng)中，由于雙方個(gè)體消滅增援速率相同，各個(gè)位置上的消滅增援速率也相同，當(dāng)斑點(diǎn)擴(kuò)散到斑塊當(dāng)中后，被周圍敵方消滅或者擴(kuò)散侵蝕敵方個(gè)體形成較大斑塊，最終導(dǎo)致的結(jié)果就是紅藍(lán)斑塊邊界模糊，交界處斑點(diǎn)混亂；當(dāng)交換速率無梯度變化時(shí)，二維網(wǎng)格中各個(gè)位置交換速率相同，邊界處界線明顯，無散亂斑點(diǎn)出現(xiàn)。

在隨機(jī)點(diǎn)陣模擬過程中，還發(fā)現(xiàn)：交換速率呈梯度變化時(shí)，基本上不能形成較大的穩(wěn)定斑塊，即使形成，也會(huì)很快被敵方個(gè)體的擴(kuò)散破壞，從而變?yōu)檩^為松散零碎的小斑塊，紅、藍(lán)雙方個(gè)體分布較為混亂。分析其原因：各個(gè)位置交換速率的不同造成對(duì)斑圖的整體流動(dòng)性影響較大，從而造成斑圖不穩(wěn)定，極易改變。

對(duì)應(yīng)上面斑圖中的參量，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬每隔100代計(jì)算一次雙方密度，統(tǒng)計(jì)前50 000代雙方密度，得到交換速率有無梯度變化情況下，雙方密度時(shí)間序列曲線如圖9、圖10所示。

圖9 交換速率呈梯度變化時(shí)密度時(shí)間曲線

圖10 交換速率無梯度變化時(shí)密度時(shí)間曲線

3 戰(zhàn)術(shù)組合

考慮到人為因素的影響，對(duì)最近鄰移動(dòng)模式下，紅、藍(lán)雙方有戰(zhàn)術(shù)組合“二對(duì)一”，均無戰(zhàn)術(shù)組合以及僅一方有戰(zhàn)術(shù)組合“二對(duì)一”3種情況進(jìn)行了研究。

3.1 紅、藍(lán)雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合

紅、藍(lán)雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合的情況：紅、藍(lán)雙方個(gè)體A、B和空格φ之間的關(guān)系如下：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式(3)、式(4)是“一對(duì)一”的情況，紅、藍(lán)個(gè)體的消滅增援速率均為k1，交換速率為e；式(5)、式(6)、式(7)是兩個(gè)紅方個(gè)體對(duì)一個(gè)藍(lán)方個(gè)體的情況，藍(lán)方個(gè)體被消滅，且在原藍(lán)方個(gè)體位置增援一個(gè)紅方個(gè)體的速率為k2，兩個(gè)紅方個(gè)體中有一個(gè)個(gè)體被消滅，且在被消滅紅方個(gè)體位置增援一個(gè)藍(lán)方個(gè)體的速率為k3，兩個(gè)紅方個(gè)體均被消滅，且在被消滅位置上增援兩個(gè)藍(lán)方個(gè)體的速率為k4，同理，式(8)、式(9)、式(10)是兩個(gè)藍(lán)方個(gè)體對(duì)一個(gè)紅方個(gè)體的情況。

隨機(jī)點(diǎn)陣模擬過程中，對(duì)應(yīng)各個(gè)參量值為：k1=e=1，k2=k5=2.2，k3=k6=0.4，k4=k7=0.2，模擬過程中選取如下斑圖進(jìn)行觀察和分析。

圖11(a)和圖11(b)分別為雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到10 500代、17 500代時(shí)所得斑圖，觀察整個(gè)斑圖演化過程，發(fā)現(xiàn)：斑圖中斑塊形成速度較快，當(dāng)模擬到500代時(shí)已經(jīng)形成了較為穩(wěn)定的大斑塊，且紅、藍(lán)斑塊中間分界線清晰，無混亂小斑點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到4 000代時(shí)，整個(gè)斑圖分為紅、藍(lán)兩個(gè)大斑塊，紅、藍(lán)雙方個(gè)體完全分離，整個(gè)模擬過程中，斑圖在形成穩(wěn)定斑塊后，隨時(shí)間整體上變化較慢，藍(lán)方個(gè)體通過紅、藍(lán)斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴(kuò)散，造成藍(lán)方數(shù)量逐漸增加，紅方數(shù)量逐漸減小，藍(lán)方斑塊吞蝕紅方斑塊的過程中，紅、藍(lán)斑塊邊界明顯，無混亂小斑點(diǎn)出現(xiàn)。

圖11 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的斑圖

相同參數(shù)下，重復(fù)模擬多次，發(fā)現(xiàn)紅、藍(lán)勝負(fù)各半，斑圖演化過程規(guī)律相同，結(jié)論一致。模擬過程中統(tǒng)計(jì)前100 000代內(nèi)雙方的密度，得到雙方密度時(shí)間序列曲線如圖12。

然后，保持k1、e、k3、k4、k6、k7的取值不變，增大k2、k5的值，依然保持k2=k5，調(diào)整k2=k5=3，單獨(dú)研究參數(shù)k2、k5對(duì)斑圖演化的影響，模擬過程中選取如下斑圖進(jìn)行分析。

圖12中，(1)和(2)分別是當(dāng)k2=k5=3時(shí)，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到4 000代、11 000代時(shí)所得的斑圖，斑圖中斑塊規(guī)模對(duì)應(yīng)的是雙方數(shù)量，(3)和(4)代數(shù)間隔為7 000代，紅、藍(lán)斑塊大小變化大，而圖11中，(1)和(2)代數(shù)間隔同樣為7 000代，紅、藍(lán)斑塊大小變化并不明顯，雙方數(shù)量變化小，說明當(dāng)穩(wěn)定斑圖形成后，k2、k5的值越大，相同時(shí)間內(nèi)斑圖中的斑塊變化越大，即雙方數(shù)量隨時(shí)間變化越快，從而造成雙方穩(wěn)定共存時(shí)間越來越短。圖14對(duì)應(yīng)上面斑圖參數(shù)下的雙方密度時(shí)間序列曲線，與圖12相比，明顯觀察到雙方穩(wěn)定共存時(shí)間縮短。改變對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值，對(duì)多組不同參數(shù)情況進(jìn)行相同操作，隨機(jī)模擬結(jié)果均與上述結(jié)論一致。

圖12 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的密度時(shí)間序列曲線

圖13 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的斑圖(k2=k5=3)

圖14 雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的密度時(shí)間序列曲線(k2=k5=3)

調(diào)整參數(shù)，對(duì)不同參數(shù)下的各種情況進(jìn)行隨機(jī)模擬，分別單獨(dú)研究了參數(shù)k3、k6和k4、k7對(duì)斑圖演化的影響，總結(jié)如下：保持k1、e、k2、k5的取值不變，分別單獨(dú)增大k3、k6和k4、k7的值，但依然保持k3=k6，k4=k7，發(fā)現(xiàn)k3、k6和k4、k7值的增大會(huì)改變斑圖中斑塊的形狀和規(guī)模大小，影響雙方穩(wěn)定共存時(shí)間；其值越大，穩(wěn)定共存時(shí)間越長。

3.2 紅、藍(lán)雙方均無戰(zhàn)術(shù)組合

為了與有戰(zhàn)術(shù)組合情況形成對(duì)比，令消滅增援速率為μ=1，交換速率為e=1，選取相同參數(shù)下無戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的斑圖如下：

圖15(a)和圖15(b)分別為雙方均無戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到500代、1 000代時(shí)所得斑圖，通過觀察斑圖演化過程，與有戰(zhàn)術(shù)組合情況相比：當(dāng)模擬到500代時(shí)，雖然斑圖中斑塊已經(jīng)形成，但極不穩(wěn)定，隨時(shí)間變化大，間隔500代，當(dāng)模擬到1 000代時(shí)，斑圖又變?yōu)榱硗庖环N情況，且紅、藍(lán)斑塊分界處小斑點(diǎn)較多，斑圖整體上較為混亂，且紅、藍(lán)雙方個(gè)體擴(kuò)散方向不固定，向各個(gè)方向均有擴(kuò)散，大斑塊中夾雜著敵方小斑點(diǎn)，與相同參數(shù)下的有戰(zhàn)術(shù)組合情況下的斑圖相比，整個(gè)斑圖中斑塊不集中；而有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)，整個(gè)斑圖分為紅、藍(lán)兩個(gè)大斑塊，紅、藍(lán)雙方個(gè)體完全分離，整個(gè)模擬過程中，斑圖在形成穩(wěn)定斑塊后，隨時(shí)間整體上變化較慢，藍(lán)方個(gè)體通過紅、藍(lán)斑塊的分界線緩慢向紅方斑塊擴(kuò)散，造成藍(lán)方數(shù)量逐漸增加，紅方數(shù)量逐漸減小。相同參數(shù)下，重復(fù)模擬多次，發(fā)現(xiàn)紅、藍(lán)勝負(fù)各半，斑圖演化過程規(guī)律相同，結(jié)論一致，雙方密度時(shí)間序列曲線如圖15、圖16。

圖15 雙方無戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的斑圖

觀察圖15和圖16，雙方個(gè)體有無戰(zhàn)術(shù)組合這兩種情況下，雙方均能保持穩(wěn)定共存狀態(tài)，但穩(wěn)定共存代數(shù)有所差異，對(duì)有無戰(zhàn)術(shù)組合兩種情況進(jìn)行隨機(jī)模擬100次，得到結(jié)果：有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)，雙方穩(wěn)定共存代數(shù)為46388代；無戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)，穩(wěn)定共存代數(shù)為41 387代。由此可見，相同條件下，戰(zhàn)術(shù)組合影響雙方相互作用時(shí)間，戰(zhàn)場上可以通過添加控制條件，改變戰(zhàn)術(shù)，從而得到對(duì)自己有利的結(jié)果。

圖16 雙方無戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的密度時(shí)間序列曲線

3.3 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合

僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，紅、藍(lán)雙方個(gè)體A、B和空格φ之間的關(guān)系僅滿足式(3)、式(4)、式(5)、式(6)、式(7)，令參數(shù)k5=k6=k7=0，對(duì)應(yīng)有戰(zhàn)術(shù)組合情況下的參數(shù)，其他參數(shù)保持不變，通過觀察模擬過程中的斑圖演化，發(fā)現(xiàn)雙方共存時(shí)間大約為100代左右，紅方很快就將藍(lán)方完全消滅了。具體選取如下斑圖進(jìn)行分析。

圖17(a)和圖17(b)分別是僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到10代、20代時(shí)所得斑圖，觀察斑圖發(fā)現(xiàn)，紅、藍(lán)雙方數(shù)量變化速度快，僅僅間隔10代，紅方數(shù)量劇增，藍(lán)方數(shù)量劇減，直到藍(lán)方被完全消滅。對(duì)應(yīng)上面斑圖中的參量，雙方密度時(shí)間序列曲線如圖18，圖18中清楚地觀察隨機(jī)點(diǎn)陣模擬到100代左右，藍(lán)方被全部消滅。隨機(jī)模擬100次，得到僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，k5=k6=k7=0，k2=2.2，k3=0.4，k4=0.2時(shí)，雙方共存代數(shù)為109代。

圖17 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的斑圖

圖18 僅紅方有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)的密度時(shí)間序列曲線

選取多組不同的參數(shù)，對(duì)各種不同情況進(jìn)行隨機(jī)點(diǎn)陣模擬，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)參數(shù)k5=k6=k7=0且保持不變的情況下，控制參數(shù)k2的值適當(dāng)減小，k3和k4的值適當(dāng)增大時(shí)，造成紅方消滅藍(lán)方的時(shí)間越長，相反，參數(shù)k2的值越大，控制k3和k4的值適當(dāng)減小時(shí)，造成紅方消滅藍(lán)方的時(shí)間越短，但當(dāng)參數(shù)k2的值小到一定的程度且k3和k4的值增大到一定程度后，原本“占絕對(duì)優(yōu)勢”的紅方反而被無戰(zhàn)術(shù)組合的藍(lán)方消滅。

4 結(jié)論

本研究運(yùn)用隨機(jī)點(diǎn)陣模擬方法，對(duì)最近鄰移動(dòng)模式下的Lanchester作戰(zhàn)模型進(jìn)行了研究，得到了穩(wěn)定共存與非穩(wěn)定共存的參量條件與臨界曲線，并研究了兩個(gè)重要參量有無梯度變化情況下的斑圖演化與雙方密度時(shí)間序列曲線。研究發(fā)現(xiàn)，消滅增援速率呈梯度變化時(shí)影響雙方個(gè)體間的相互作用，使得雙方穩(wěn)定共存時(shí)間延長，而交換速率呈梯度變化時(shí)，使總體流動(dòng)性增強(qiáng)，整體作戰(zhàn)效率提高，縮短了雙方共存時(shí)間，促進(jìn)了戰(zhàn)斗進(jìn)程。本文還研究了戰(zhàn)術(shù)組合對(duì)雙方作戰(zhàn)的動(dòng)力學(xué)影響，斑圖演化過程中，雙方均有戰(zhàn)術(shù)組合情況下，雙方自組織性強(qiáng)，易形成穩(wěn)定的大斑塊，相反，雙方?jīng)]有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)，雙方自組織性弱，斑圖中零碎小斑塊多，大斑塊少，僅一方有戰(zhàn)術(shù)組合時(shí)，有戰(zhàn)術(shù)組合的一方數(shù)量逐漸增多，最終獲勝。

由上述結(jié)果，可以看出本文所做的研究具有新意，為解釋實(shí)際作戰(zhàn)過程提供了新的理論基礎(chǔ)。

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