馮曉文，李慶坤，任 彬

(1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081；2.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043)

0 引言

在衛(wèi)星通信中，16APSK是一種極具潛力、利用載波幅度和相位同時承載信息的混合調(diào)制方式，在DVB-S2標(biāo)準(zhǔn)中已采用該調(diào)制方式[1]。16APSK的頻譜利用率為4 bit/s/Hz，是BPSK體制的4倍。此外，相比于32APSK和64APSK，16APSK具有較低的復(fù)雜度，是一種折中的調(diào)制方式[2]。

接收機(jī)收到16APSK信號之后要在較短時間內(nèi)完成載波同步，才可以進(jìn)行有效的解調(diào)。載波捕獲是完成載波同步的關(guān)鍵[3-4]。對于16APSK調(diào)制信號的載波捕獲，一般有數(shù)據(jù)輔助和非數(shù)據(jù)輔助2種方法。數(shù)據(jù)輔助的方法是指采用低階調(diào)制信號作為導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，輔助16APSK信號的捕獲，但導(dǎo)頻數(shù)據(jù)會占用一定的數(shù)據(jù)資源[5]。非數(shù)據(jù)輔助的方法是指直接對16APSK信號進(jìn)行捕獲，一般需要去除信號數(shù)據(jù)中的調(diào)制相位[6]，做FFT運算恢復(fù)載波，去除數(shù)據(jù)調(diào)制相位的過程一般是非線性運算，非線性運算會帶來噪聲的放大，因此在低信噪比條件下16APSK信號的捕獲比較困難。

最大似然估計是一種未知參數(shù)估計的重要方法，可用于載波的頻偏估計[7-10]，該方法無需對16APSK信號進(jìn)行非線性運算，同時具有較高的估計精度。Kalman濾波是在最小均方誤差估計基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種遞推估計算法[11]，可以最大限度地抑制信號中的噪聲，降低噪聲對頻偏估計的影響。文獻(xiàn)[12]提出了一種結(jié)合最大似然估計和Kalman濾波的方法，應(yīng)用在BPSK的載波跟蹤，在估計中采用平方變換去除調(diào)制信息。本文把結(jié)合最大似然估計和Kalman濾波的方法應(yīng)用于16APSK的載波頻偏捕獲。該方法直接對包含載波頻偏信息的16APSK信號相位序列進(jìn)行最大似然頻偏估計，并結(jié)合Kalman濾波，降低噪聲對載波頻偏估計的影響。

1 16APSK信號模型

16APSK的星座圖由內(nèi)外2個同心圓組成，研究較多的是4+12形式的16APSK[13]，即內(nèi)圓有4個星座點，外圓有12個星座點。其星座點表達(dá)式為：

(1)

式中，r1和r2分別為內(nèi)圓和外圓的半徑，r2/r1=2.7；θ1和θ2分別為內(nèi)圓和外圓上信號點的初始相位，這里θ1=π/4，θ2=π/12。

2 基于16APSK的最大似然估計算法

在無線通信中，最大似然估計常用于信號的載波頻率估計。本文中，最大似然估計被應(yīng)用于接收機(jī)中16APSK信號的載波頻偏估計。假設(shè)接收機(jī)收到的16APSK信號為：

y(t)=a(t)cos(wit+θi)+b(t)sin(wit+θi)，

(2)

式中，a(t)和b(t)分別指同相正交分量的值，a(t)=real[Z(t)]，b(t)=imag[Z(t)]；wi和θi分別為接收信號的載波頻率和相位。接收機(jī)的本振正交信號為：

(3)

式中，wo和θo分別為接收機(jī)本振的頻率和相位。接收信號經(jīng)過下變頻處理，再通過低通濾波器濾除倍頻分量，得到含有載波頻偏的正交同相信號：

(4)

式中，Δw=wo-wi=2πΔf，Δθ=θo-θi+arctan[b(t)/a(t)]。Δf和Δθ是經(jīng)過下變頻低通濾波之后的殘余頻偏和相偏。由于Δθ可以通過鎖相環(huán)捕獲跟蹤，因此本文只討論Δf的估計。

可知，Δf是正弦函數(shù)的一個參數(shù)，如果已知正弦函數(shù)的采樣樣本，就可以通過最大似然估計對參數(shù)Δf進(jìn)行估計。假設(shè)獲得含有載波頻偏的正交同相數(shù)字信號分別如下：

(5)

式中，k=0，1，...，K為采樣樣本的序列號；Ts為采樣的周期；n(k)為均值為零、方差為σ2的離散高斯白噪聲。在高信噪比條件下(信噪比大于10 dB)，式(5)中序列的離散相位信息在[-π，π]的一個2π周期內(nèi)，其相位信息可以計算如下：

(6)

(7)

x(k)=2πkTsΔf+Δθ+v(k)，

(8)

式中，v(k)是由高斯白噪聲引入的等效相位噪聲[7]，其統(tǒng)計特性近似均值為零、方差為σ2的高斯分布。將式(8)寫成向量的形式為：

X=Δfα+Δθβ+V，

(9)

式中，

X為服從高斯分布的隨機(jī)矢量，其概率密度函數(shù)為：

(10)

式中，‖·‖2定義為‖X‖2=XTX。

使fx(X)的對數(shù)概率密度函數(shù)logfx(X)關(guān)于Δf和Δθ的梯度為零，即Δf，Δθlogfx(X)=0，可以獲得關(guān)于Δf和Δθ的二元線性方程組，求得殘余頻差Δf的最大似然估計[7]為：

(11)

在上述算法中，最大似然估計使用的相位序列沒有去除數(shù)據(jù)調(diào)制信息，這樣避免了去除調(diào)制數(shù)據(jù)的非線性處理，但頻偏估計使用的相位序列需要在一個調(diào)制數(shù)據(jù)符號內(nèi)。通過該最大似然頻偏估計算法，可以獲得16APSK調(diào)制信號的載波頻偏，該方法在高信噪比(信噪比大于10 dB)的情況，可以獲得較準(zhǔn)確的頻偏估計[14]。在低信噪比的情況下，受噪聲的干擾，頻偏估計值偏差較大。因此，結(jié)合Kalman濾波抑制噪聲是一種較好的解決方案。

3 結(jié)合Kalman濾波和最大似然估計的頻偏估計算法

最大似然估計獲得的頻偏值受到噪聲的干擾總是在均值附近上下波動，為了得到頻偏的無偏最小方差估計，可以對估計出來的頻偏進(jìn)行Kalman濾波。Kalman濾波是解決以最小均方誤差為準(zhǔn)則的最佳線性過濾問題，該算法根據(jù)前一個估計值和最近一個觀測數(shù)據(jù)來估計信號的當(dāng)前值[15]。Kalman濾波算法由狀態(tài)空間來描述，其遞推公式如下所示[16-17]。其狀態(tài)預(yù)測為：

(12)

P(k+1|k)=ΦP(k|k)ΦT+ΓQΓT，

(13)

式中，P(k|k)為k時刻協(xié)方差陣值；P(k+1|k)為k+1時刻協(xié)方差陣的預(yù)測值；Γ為噪聲驅(qū)動矩陣；Q為狀態(tài)向量的噪聲方差陣。k+1時刻的狀態(tài)值為：

(14)

式中，

K(k+1)=P(k+1|k)HT[HP(k+1|k)HT+R]-1，

(15)

(16)

式中，Y(k+1)是k+1時刻的觀測值；H為觀測矩陣；R為觀測向量的噪聲方差陣。k+1時刻的協(xié)方差陣值為

P(k+1|k+1)=[In-K(k+1)H]P(k+1|k)，

(17)

式中，In為單位陣，表示系統(tǒng)狀態(tài)的維數(shù)。通過上述的6個方程，可以準(zhǔn)確地估計每一個狀態(tài)值。在本文中把最大似然估計獲得的頻偏作為觀測序列Y(k)，采用一階Kalman濾波就可以實時地估計頻偏的變化。如果Q和R與噪聲的模型匹配，頻偏估計就具有最小的濾波誤差方差[15]。

結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法的實現(xiàn)原理如圖1所示。

圖1 結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計原理

(18)

(19)

下面對結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法進(jìn)行仿真驗證和分析。

4 仿真結(jié)果與分析

對結(jié)合Kalman濾波和最大似然的頻偏估計算法進(jìn)行Matlab仿真。測試信號為16APSK調(diào)制信號，碼速率為1 MHz，采樣頻率為56 MHz，接收機(jī)本振的頻率為70 MHz。從式(18)可以看出，影響最大似然頻偏估計值的參數(shù)有K、N和F，在實驗中K取值為8，N取值為20。

假設(shè)接收信號載波頻率為70.1 MHz，即接收機(jī)本振頻率與接收信號載波頻率的固定偏差為100 kHz。仿真中，信噪比SNR變化范圍為-5～30 dB。在不同的信噪比條件下，對最大似然估計算法和結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 不同信噪比下的頻率估計的偏差

圖3 不同信噪比下的頻率估計偏差的均方差

圖2反映的是不同信噪比條件下，估計得到的頻偏和實際頻偏的偏差值。頻率估計偏差值的計算公式為：

(20)

式中，fd為實際頻偏值；M=2 000，表示2 000次估計樣本。考慮到Kalman濾波初始狀態(tài)的不確定性，先獲得10 000次估計樣本，把最新的2 000次估計樣本作為衡量估計偏差值的樣本。圖3反映的是不同信噪比條件下，估計偏差值的均方差。頻率估計偏差值的均方差計算公式為：

(21)

從圖2可以看出，不同信噪比條件下，最大似然估計算法和結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法獲得頻偏值相差不多，信噪比越高，估計的偏差越小。當(dāng)在低信噪比條件下(SNR=-5 dB)，2種算法估計的頻率偏差跟實際的頻率偏差(100 kHz)都相差大約21 kHz，信噪比在0 dB時偏差可以達(dá)到2 kHz左右。從圖3可以看出，2種算法估計的頻率偏差的均方差都隨著信噪比的提高而減小，相比最大似然估計算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法獲得的頻率偏差的均方差更小，即估計的頻率值更穩(wěn)定。當(dāng)SNR=-5 dB時，最大似然估計算法估計的頻率偏差值均方差為130 kHz左右，波動范圍非常大；結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻率偏差值均方差大約為15 kHz。在其他信噪比條件下，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法相比單獨的最大似然估計算法估計的頻率值均方差也都較小。2種算法頻率估計偏差平均值相差不多，但結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法在頻率估計偏差的均方差性能上有較大改善，即結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻率值更穩(wěn)定。

以上是對固定載波頻差信號的仿真，下面對含多普勒載波頻偏的信號進(jìn)行仿真。假設(shè)接收信號載波頻率與接收機(jī)本振頻率的偏差從100 Hz變化到100 kHz，步進(jìn)為100 Hz。仿真中，SNR=-5 dB。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4反映的是在SNR=-5 dB時，2種估計算法對多普勒頻偏的實時估計值。從圖4可以看出，在低信噪比時，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法相比單獨的最大似然估計算法估計的頻偏值更接近真實的頻偏值，能更好地抑制噪聲引起的波動。圖5反映的是在SNR=-5 dB時，2種算法估計的多普勒頻偏和真實頻偏的偏差。從圖5可以看出，相比最大似然估計算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的多普勒頻偏值和真實頻偏值的偏差小很多，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法估計的頻偏值能更穩(wěn)定地跟蹤接收信號中真實的多普勒頻移。

圖4 SNR=-5 dB時估計的實時多普勒頻偏值

圖5 SNR=-5 dB時估計的多普勒頻偏的偏差值

仿真結(jié)果表明，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法比單獨的最大似然估計算法在頻偏估計的精確度上有較大的改善。

5 結(jié)束語

本文討論了一種基于Kalman濾波結(jié)合最大似然估計的16APSK頻偏捕獲算法。該算法是開環(huán)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)簡單，計算量小。仿真結(jié)果表明，相比最大似然估計算法，結(jié)合Kalman濾波的最大似然估計算法在載波的頻偏估計偏差精度方面有較大的提高。該算法不僅適用于16APSK信號的頻偏估計，也適用其他體制信號的非數(shù)據(jù)輔助的頻偏估計。該算法具有較好的工程應(yīng)用前景，對低信噪比條件下信號快速捕獲的實際應(yīng)用具有一定的參考價值。

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