陳 劍 李士愛 劉 策 鄧支強(qiáng) 舒宏超

合肥工業(yè)大學(xué)噪聲振動研究所，合肥,230009

0 引言

動力總成懸置系統(tǒng)是汽車振動系統(tǒng)中一個重要子系統(tǒng)，起著支撐部件和隔離振動的作用。懸置系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)劣對整車的NVH(noise，vibration，harshness)性能有重大影響，對懸置系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計可有效地降低汽車的振動噪聲，因此，動力總成懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計對整車的NVH性能極為重要。而動力總成懸置系統(tǒng)設(shè)計的基本任務(wù)就是進(jìn)行動力總成剛體振動模態(tài)的頻率配置和解耦布置[1-3]。

傳統(tǒng)的分析和設(shè)計只是假定懸置系統(tǒng)參數(shù)為確定值而進(jìn)行的確定性研究[1-3]，然而在懸置系統(tǒng)各零部件的制造、安裝及其系統(tǒng)的使用過程中，各懸置元件的剛度、位置、角度等影響整車振動的關(guān)鍵性參數(shù)會不可避免地出現(xiàn)一定程度的偏差或波動，故傳統(tǒng)方式可能會導(dǎo)致不恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計。目前常用的研究非確定性問題的方法有概率方法(隨機(jī)方法)、模糊方法和區(qū)間分析方法等。沈忠亮[4]將懸置剛度、安裝位置和角度等參數(shù)作為正態(tài)隨機(jī)變量，對懸置系統(tǒng)的解耦率應(yīng)用多目標(biāo)粒子群算法進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計。吳杰等[5-6]采用區(qū)間數(shù)對懸置元件剛度參數(shù)變化的不確定性進(jìn)行描述，提出了改進(jìn)區(qū)間截斷方法，并對懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率變化范圍進(jìn)行了計算。相比較而言，獲得不確定參數(shù)的變化范圍通常比得到不確定參數(shù)真實(shí)的統(tǒng)計特性和模糊數(shù)的隸屬度函數(shù)容易，邱志平等[7-8]通過實(shí)例對區(qū)間分析方法和概率方法進(jìn)行了比較，結(jié)果表明區(qū)間分析方法結(jié)果有效且包括更多的可能解。

本文應(yīng)用基于區(qū)間數(shù)學(xué)和Chebyshev理論建立的區(qū)間分析方法，分別計算動力總成懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率隨懸置剛度波動的變化范圍，并利用區(qū)間型穩(wěn)健優(yōu)化方法對系統(tǒng)的解耦率和頻率進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化分析。

1 基本理論

1.1 Chebyshev區(qū)間分析方法

區(qū)間分析方法有廣泛的工程實(shí)際背景。Chebyshev區(qū)間方法是由吳景錸等[9-10]提出的。k階一維Chebyshev級數(shù)在x∈[a,b]內(nèi)用Ck(x)表示，其關(guān)系表達(dá)式如下：

Ck(x)=coskθ

(1)

當(dāng)x∈[-1,1]時，Chebyshev級數(shù)存在以下的遞推關(guān)系：

(2)

正交性是Chebyshev級數(shù)的一個重要性質(zhì)，即對于k階Chebyshev級數(shù)Ck(x)和p階Chebyshev級數(shù)Cp(x)，有

(3)

設(shè)存在函數(shù)f(x)∈C[a,b]，則它可用一個基于Chebyshev級數(shù)Ci(x)的k階多項(xiàng)式pk(x)來近似的表示，即有

(4)

式中，f0、fi均為常系數(shù)。

這是將原函數(shù)展開成多項(xiàng)式，利用區(qū)間算法計算各項(xiàng)的值，再進(jìn)行求和計算原函數(shù)的擴(kuò)張區(qū)間。因此可將式(4)中的變量x替換為區(qū)間變量[x]，則區(qū)間函數(shù)[fCn]([x])為

(5)

由于[θ]=[0,π]，對于k>0的Chebyshev級數(shù)恒有Ck([x])=[cos](k[θ])=[-1,1]，因此式(4)可進(jìn)一步變換為

(6)

只要計算表達(dá)式中的系數(shù)函數(shù)fi，就可以得到函數(shù)的區(qū)間。根據(jù)Chebyshev區(qū)間方法的正交性和Gaussie-Chebyshev求積分公式可推導(dǎo)出下式：

(7)

式中，xj為插值點(diǎn)。

xj=cosθj

將一維問題延伸至多維問題。n維Chebyshev多項(xiàng)式對x∈[-1,1]n定義為每一維Chebyshev多項(xiàng)式的張量積：

Ck1,k2,…,kn(x1,x2,…,xn)=cosk1θ1cosk2θ2…cosknθn

(8)

其中，θi=arccosxi∈[0,π]。則

(9)

考慮式(6)，則k階Chebyshev擴(kuò)張函數(shù)為

(10)

其中，l等于n維Chebyshev級數(shù)Ci1,…,ik(x)的下標(biāo)中包含0的個數(shù)，例如，C0,0(x)對應(yīng)的l=2,而C2,1(x)對應(yīng)的l=0等。

1.2 誤差分析

Chebyshev區(qū)間方法的誤差來源主要有[10]：

(1)在區(qū)間運(yùn)算過程中，由于區(qū)間算法規(guī)則本身具有包裹效應(yīng)易發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，使得計算的參數(shù)區(qū)間大于真實(shí)區(qū)間。

(2)近似為多項(xiàng)式時的截斷誤差。如果函數(shù)f(x)具有k+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則近似的截斷誤差為

(11)

由式(11)可知，k越大，截斷誤差越小，因此k足夠大時，該誤差可忽略。

(3)計算系數(shù)時的數(shù)值積分誤差。積分公式的誤差可表示為

(12)

式中，ξ為[-1,1]的任意數(shù)。

則當(dāng)插值積分公式中的最髙階次p足夠大時，該積分誤差即可忽略。由于求插值點(diǎn)數(shù)量不能少于未知數(shù)個數(shù)，故參數(shù)p取值不應(yīng)小于k+1。當(dāng)k較大時，截斷誤差和數(shù)值積分誤差都較小，且該誤差的大部分影響會湮沒在低階項(xiàng)部分中，因此它對計算精度的影響基本可忽略。

而Chebyshev級數(shù)在區(qū)間算法中采用了三角函數(shù)表達(dá)式[10]，能更有效地控制區(qū)間算法的包裹效應(yīng)，從而更接近于實(shí)際的上下界限。

1.3 頻率和解耦率的Chebyshev區(qū)間分析方法

應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法對動力總成懸置系統(tǒng)的固有頻率和解耦率隨懸置參數(shù)波動的區(qū)間范圍的求解過程如圖1所示。

圖1 Chebyshey區(qū)間分析方法流程圖Fig.1 Flow chart of Chebyshey interval analysis method

2 固有頻率和解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型

整車對動力總成系統(tǒng)安裝位置的限制較為嚴(yán)格，尤其對于改進(jìn)車輛，一般不改變各懸置的安裝位置坐標(biāo)和安裝角度，因此常選擇懸置剛度作為優(yōu)化設(shè)計變量。為了獲得更為穩(wěn)健的懸置系統(tǒng)的固有頻率和解耦率，在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，應(yīng)綜合考慮各種不確定因素導(dǎo)致關(guān)鍵參數(shù)的變化對優(yōu)化結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。為此提出區(qū)間優(yōu)化方法，考慮最優(yōu)設(shè)計參數(shù)發(fā)生波動時進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計[12]。

傳統(tǒng)優(yōu)化模型只考慮獲得盡量高的解耦率，區(qū)間優(yōu)化模型還需要使解耦率變化區(qū)間隨剛度參數(shù)波動變化半徑最小，從而保證各解耦率的穩(wěn)健性。

懸置系統(tǒng)解耦率的區(qū)間優(yōu)化模型為

(13)

區(qū)間優(yōu)化采用遺傳算法[13]對穩(wěn)健優(yōu)化模型進(jìn)行全局優(yōu)化計算，以區(qū)間優(yōu)化模型為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，以懸置各剛度值為設(shè)計變量，尋優(yōu)計算得到穩(wěn)健可靠的優(yōu)化解。

3 算例

根據(jù)某型待改進(jìn)汽車動力總成懸置系統(tǒng)具體情況，同時考慮動力總成剛體模態(tài)固有頻率遠(yuǎn)低于其彈性模態(tài)固有頻率，可將動力總成作為剛體考慮。因此可將發(fā)動機(jī)懸置系統(tǒng)簡化為：通過若干個三維黏-彈性懸置元件支承于車架上的具有6個自由度的模型。算例為四點(diǎn)平置式懸置，其布置如圖2所示。動力總成的坐標(biāo)系原點(diǎn)選在總成質(zhì)心處，X軸平行于曲軸中心線，指向發(fā)動機(jī)前端，Z軸平行于氣缸中心線，指向發(fā)動機(jī)缸蓋，Y軸按正交坐標(biāo)系的右手定則確定，懸置元件的三向剛度軸(u、v、w)分別與參考坐標(biāo)系軸(X軸、Y軸、Z軸)平行。

圖2 動力總成懸置系統(tǒng)的六自由度模型Fig.2 The six degrees of freedom of the powertrain mounting system

表1和表2給出了動力總成系統(tǒng)的總質(zhì)量m、質(zhì)心坐標(biāo)(x0,y0,z0)以及轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。表3所示為懸置元件的初始靜剛度，一般為經(jīng)驗(yàn)值。

表1 動力總成質(zhì)量和質(zhì)心位置坐標(biāo)

表2 動力總成系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和慣性積

表3 懸置元件主軸方向初始靜剛度

優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和振動解耦率計算結(jié)果如表4所示。由表4可以看出，各階固有頻率分布較合理，振動解耦率除x、z方向較理想外，其他方向振動耦合較嚴(yán)重，有待優(yōu)化。

為減小計算量，選擇其中靈敏度大的重要參數(shù)作為設(shè)計參數(shù)，可以用二階響應(yīng)面分析法或者最小二乘擬合法得到設(shè)計參數(shù)的精確表達(dá)式。

基于正交實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行懸置剛度靈敏度分析，左前懸置u向剛度和右后懸置u、w向剛度對懸置系統(tǒng)的垂向和側(cè)傾方向解耦率都比較敏感，是系統(tǒng)解耦度設(shè)計指標(biāo)的敏感因素，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時應(yīng)著重考慮，即將該3個不確定因素作為設(shè)計參數(shù)。表5所示為按照流程圖中公式計算3個設(shè)計參數(shù)的插值點(diǎn)。

表4 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)固有頻率和能量解耦率

表5 Chebyshev插值點(diǎn)

為了避開該車其他部分的固有頻率和其他激振引起的共振，取懸置系統(tǒng)6個固有頻率的約束界限分別為5～18 Hz，9～16 Hz，5～18 Hz，6～15 Hz，10～18 Hz，10～18 Hz。

用Chebyshev區(qū)間分析方法和文獻(xiàn)[5]中改進(jìn)區(qū)間截斷分析方法分別計算優(yōu)化前固有頻率和解耦率區(qū)間變動量，圖3為部分模態(tài)方向解耦率區(qū)間的對比結(jié)果圖。由圖3可以看出，Chebyshev區(qū)間分析方法獲得的區(qū)間結(jié)果包裹性明顯更強(qiáng)，精度更高。圖3同樣說明了優(yōu)化前系統(tǒng)的解耦率較小，且區(qū)間半徑較大，表明該懸置系統(tǒng)性能的穩(wěn)健性較差，需對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，即進(jìn)行懸置剛度的優(yōu)化匹配。

圖3 優(yōu)化前懸置系統(tǒng)部分解耦率的區(qū)間分析結(jié)果Fig.3 A part of the result of interval analysis of the decoupling ratio of the powertrain mounting system before the optimization

表6所示為優(yōu)化后當(dāng)確定性優(yōu)化最優(yōu)剛度值和Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值發(fā)生波動時懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率的變化區(qū)間。

表6 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率的變化區(qū)間

由表6可以看出，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法較大程度地提高了懸置系統(tǒng)的解耦率，在z和θx方向尤為明顯。

由于在Chebyshev區(qū)間優(yōu)化模型中考慮了解耦率的穩(wěn)健性要求，所以不可避免地導(dǎo)致部分解耦率比確定性優(yōu)化稍低。但Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法的各階固有頻率區(qū)間范圍更小，分配更合理，且Chebyshev區(qū)間優(yōu)化方法固有頻率的下限值更高、上限值更低，從而可以提高各頻率約束條件的區(qū)間概率度，即穩(wěn)健性。

表7給出了在確定性優(yōu)化和Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處，文獻(xiàn)[11]中所述的懸置系統(tǒng)頻率約束條件的左右區(qū)間概率度。由表7可以看出，最優(yōu)剛度值波動時，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化最優(yōu)剛度值處的左右區(qū)間概率度均大于或等于確定性優(yōu)化，且穩(wěn)健性較確定性優(yōu)化有較大幅度提高，在y方向尤為明顯。

振動傳遞率能夠較好地反映動力總成通過懸置傳遞給車身的振動量的大小，振動傳遞量大說明隔振效果差，反之則好。對優(yōu)化前后的懸置系統(tǒng)，利用ADAMS軟件可進(jìn)行較為真實(shí)的振動仿真，從而實(shí)現(xiàn)分析比較。圖4、圖5所示分別為動力總成在怠速時，優(yōu)化前后的懸置系統(tǒng)垂向和側(cè)傾方向的振動傳遞率。

表7 優(yōu)化后懸置系統(tǒng)頻率約束的區(qū)間概率度Tab.7 The interval probability of the frequency constraint of the powertrain mounting system is optimized

圖4 優(yōu)化前后垂向的振動傳遞率Fig.4 The vibration transfer rate of z-direction before and after the optimization

圖5 優(yōu)化前后側(cè)傾方向的振動傳遞率Fig.5 The vibration transfer rate of the θx-direction before and after the optimization

由圖4、圖5可以看出，Chebyshev區(qū)間優(yōu)化后懸置系統(tǒng)的振動傳遞率較優(yōu)化前有較大改進(jìn)。主要表現(xiàn)為:在垂直z方向上優(yōu)化后系統(tǒng)振動傳遞率明顯較優(yōu)化前有所減小，振動傳遞率峰值所對應(yīng)的頻率也往低頻方向有所偏移(即由8.9 Hz變?yōu)?.7 Hz)，從而避開了懸置系統(tǒng)的固有頻率，且怠速激勵的系統(tǒng)振動傳遞率明顯小于1，有利于系統(tǒng)隔振；同時，側(cè)傾方向上的振動傳遞率也明顯地減小。而確定性優(yōu)化后懸置系統(tǒng)的振動傳遞率改進(jìn)效果不明顯，尤其是垂向上怠速激勵下的系統(tǒng)振動傳遞率明顯不小于1，這對系統(tǒng)的隔振不利。

可見，采用基于Chebyshev區(qū)間分析方法進(jìn)行懸置系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化后，振動解耦率、固有頻率分配和振動解耦率均取得較滿意的結(jié)果。

4 結(jié)論

(1)應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法求解了懸置系統(tǒng)解耦率和固有頻率變動范圍。以高解耦率和解耦率變動范圍最小為優(yōu)化目標(biāo)，建立優(yōu)化設(shè)計模型，實(shí)例驗(yàn)證了該模型的可行性。

(2)Chebyshev區(qū)間分析方法只需不確定參數(shù)的變化范圍，而不需要獲得其概率分布，因此該方法相較于確定性方法更具有實(shí)際工程意義。

(3)Chebyshev區(qū)間分析方法誤差小，擴(kuò)張效應(yīng)不明顯，能更加準(zhǔn)確地近似于真實(shí)區(qū)間。

(4)應(yīng)用Chebyshev區(qū)間分析方法的優(yōu)化模型不僅能夠明顯提高系統(tǒng)振動能量解耦率以及穩(wěn)健性，還能有效改善敏感方向振動傳遞率。

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