☉安徽安慶市宜秀區(qū)五橫初級(jí)中學(xué) 戴向陽

（2017·安徽第23題）已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn).

（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上一點(diǎn)，且∠AGB＝90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F.

①求證：BE=CF；

②求證：BE2=BC·CE.

（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE2=BC·CE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG并延長交CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值.

圖1

圖2

二、特色解讀

本題源于教材，低起點(diǎn)，高輸出；解法多樣，爭奇斗艷；問題梯度分明，由易到難，思維水平逐級(jí)提高，使不同能力水平的學(xué)生到達(dá)問題的不同深度，體現(xiàn)了新課標(biāo)關(guān)于義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)的基本理念：“要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”

1.立題質(zhì)樸，揚(yáng)于創(chuàng)新，試題設(shè)計(jì)凸顯了習(xí)題改編之道.

圖3

本題取材于滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊第104頁第9題：“如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BE=CF.那么，線段AE與BF的夾角有多大？為什么？”命題人別出心裁，巧妙地在此題中融合了新元素——“黃金分割”（滬科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊第68頁例3），有效地將典型習(xí)題、教材例題同教材閱讀與欣賞整合起來，借雞生蛋，不愧是命題改編的典范之作.

本考題從逆命題角度對原題做了改造，得到第（1）①問.于考生而言，素材是熟悉的、親切的，難點(diǎn)低，較之圖3，圖1只不過多了干擾“直觀”的線條——CM.較之新定義問題，它沒有因陌生符號(hào)或概念帶來的壓抑感，也沒有因“定義”的新穎，給人興奮與短暫的沖動(dòng).試題入口平淡如茶，考生對壓軸題的畏難情緒得以釋放，在心理上樹立了答對問題的信心.考題起點(diǎn)低，平實(shí)無華，中、下水平的學(xué)生也易獲得“成功感”.如果命題僅止于這點(diǎn)質(zhì)樸，作為整卷壓軸便失去了價(jià)值.命題者是烹飪高手，稍加“作料”——點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，又燒出一道膾炙人口的考題（1）②.如此揚(yáng)起了壓軸題的層次，有效甄別了中等以上學(xué)生.然而考題似意猶未盡，對（1）②放寬條件，再拔新高，去掉中點(diǎn)M，逆向思考，遂成問題（2），試題難度再次“高溫發(fā)酵”，至此，考題對“學(xué)優(yōu)生”與“中等生”具有了鮮明的區(qū)分度，拉大了不同能力考生的考分差距，試題的甄別功能豁然明朗.本道考題的命制過程，正好彰顯了幾何試題改編與創(chuàng)新的途徑：立于課本典型習(xí)題，或強(qiáng)化條件，或弱化條件，或逆向思考，或挖掘一般性，或駐足特殊性，或整合例題和習(xí)題，或伸向教材閱讀材料.一道好的考題，常常是在質(zhì)樸中揚(yáng)新，一道備受青睞的壓軸題，追求的當(dāng)是低輸入、高輸出.

2.解法開放，千秋統(tǒng)一，在簡練解法的探求中分享函數(shù)奇彩.

一道樂于稱道的考題，不但體現(xiàn)在設(shè)計(jì)上，還表現(xiàn)在解法上既互異又統(tǒng)一.不同方法中有著統(tǒng)一，在統(tǒng)一中障顯著異彩，差異與統(tǒng)一交相輝映.本題解法開放多樣，使不同“學(xué)力”的人，能立足于自身的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，形成不同的解法.對于第（1）①問，解題入口明朗，考生的解法主體上都統(tǒng)一在尋求△ABE≌△BCF上.不同之處，在證角的途徑上略有差異，限于篇幅這里不再一一羅列.對于第（1）②問，解題入口比較隱蔽，但解法也主要在集中統(tǒng)一于證明△CGE∽△CBG，只是在尋找角相等的細(xì)節(jié)上與CG=BE時(shí)略顯千秋，至于其他方法大同小異，不過繞得很，這里亦不再例舉.對于問題（2），中考參考答案給出了兩種差異顯著的解答，鑒于過于復(fù)雜，本文也不再贅述.筆者不滿于參考答案的煩瑣，經(jīng)過一番探索，分別從幾何和代數(shù)角度找到兩種相對簡練的解法，在此以饗讀者，分享函數(shù)奇彩，不當(dāng)之處希不吝賜教.

解法1：如圖4，過M點(diǎn)作MN∥BC，則有△CGE∽△MGN，所以

因?yàn)锽E2=BC·CE，所以

圖4

圖5

由BE2=BC·CE，知E是BC的“黃金分割點(diǎn)”，從而即tan

解法2：令正方形的邊長為1，以AD為y軸、AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖5所示.

由BE2=BC·CE，知E是BC的“黃金分割”.又BC=1，所以故E

3.立意能力，彰顯素養(yǎng)，發(fā)揮“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“幾何直觀”在解題中“指揮棒”的作用.

本題以質(zhì)樸立題，在“移步換景”與角度變換中創(chuàng)新試題，突出了新課標(biāo)的要求——“由知識(shí)立意向能力立意轉(zhuǎn)變”.波利亞曾說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘，為了辨別哪一個(gè)思路正確，哪一個(gè)方向可接近它，就要試探各種方向和思路.”所以每道題的解答，都需要解題者在未知情形下去探索，從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”出發(fā)，尋求解題思路，發(fā)揮好“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“幾何直觀”在解題中“指揮棒”的作用.

解題能力是在親身的實(shí)踐中潛移默化形成的.學(xué)生的能力起于“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，行于“數(shù)學(xué)直觀”，成于分析和推理，熟于思維方式，收于基本思想.對于第（1）①問，證線段相等，想到三角形全等，去尋找全等的條件，這是解決線段相等的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”之一.再如求證BE2=BC·CE，“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”有：把乘積式化成比例式，尋求三角形相似，以及用等量線段替換，在問題串中前一問往往對后一問具有“墊腳磚”的作用；在探索相似過程中，必要時(shí)需根據(jù)直觀添加輔助線.在“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的指引下，幾何思考與“幾何直觀”如影相隨，一邊分析一邊推理.如在“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”確定證明△ABE≌△BCF時(shí)，“幾何直觀”與分析和推理同棲同飛，證明全等需要什么條件？圖中有嗎？能在推理中抵達(dá)目標(biāo)嗎？同樣對于第（1）②問，證△CGE∽△CBG時(shí)，也經(jīng)歷了相同的追問思考.在經(jīng)歷了第（1）題兩小問的充分探索與思考后，思維業(yè)已成熟，成熟的思維很快意會(huì)到第（2）問需要尋找相似，需要添加輔助線.這一思考流程，正是考生能力的再現(xiàn).解法1是停留在幾何層面的思維方式，是基于中考參考答案的反思與優(yōu)化；而解法2，在思維方式上是一種突變：從幾何思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)思維方式，在解題者眼中“線”不再是幾何上的“線段”，而是代數(shù)上的函數(shù)圖像，這是深層“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的喚醒.解題之奇，源于“線段”到函數(shù)圖像基本經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)，出于思維方式之奇，收于思想方法之變.

本題立意充分體現(xiàn)了《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架》中“科學(xué)精神”之素養(yǎng).

三、教學(xué)導(dǎo)向分析

中考題的命制方向?qū)ζ綍r(shí)教學(xué)起著導(dǎo)航與理念轉(zhuǎn)變的作用.本道試題對數(shù)學(xué)教學(xué)有哪些啟示呢？概括起來，可用四個(gè)放眼來描述.

1.放眼教材.

一些好的中考題，多以教材為本，從教材的例題、習(xí)題中挖掘演變而來.日常教學(xué)中，要理解每一道例題、習(xí)題的價(jià)值，靈活地對有“曲度”的試題進(jìn)行變式、拓展或改造，拓寬學(xué)生的眼界、拓長思維的深度、延伸認(rèn)識(shí)的統(tǒng)一，從而舉一反三，解一題通一類.

2.放眼課標(biāo)和核心素養(yǎng)框架.

教學(xué)要研讀課標(biāo)，明重點(diǎn)、清難點(diǎn)，知哪些需深挖、哪些點(diǎn)到為止、哪些需補(bǔ)給、哪些要遠(yuǎn)足，把握節(jié)奏，需慢就慢.要吃透并理解核心素養(yǎng)框架要求，認(rèn)真落實(shí)六大核心素養(yǎng).

3.放眼實(shí)踐.

能力，是個(gè)體在實(shí)踐中形成的，教練教游泳，掌握的是寫在書本中的知識(shí)，只有下水，才能學(xué)會(huì)游泳.能力是靠學(xué)習(xí)實(shí)踐中“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的建構(gòu)來形成的.解題能力，也只有在解題中構(gòu)建“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”才能形成.所以數(shù)學(xué)教學(xué)，先讓學(xué)生自己學(xué)，教師再介入，進(jìn)行指導(dǎo)糾正.那種先灌輸再練習(xí)的做法，缺失的是“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的建構(gòu)過程，學(xué)會(huì)的永遠(yuǎn)是模仿和套用.

4.放眼學(xué)生.

決定數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵是思維方式和思想開放度.思維迥異、思想開放的人才不會(huì)畏首畏尾，不會(huì)受慣性綁架，這是創(chuàng)新型人才一個(gè)突出的標(biāo)志.所以教學(xué)中，不要過早拋擲結(jié)論，不要冷對學(xué)生質(zhì)疑，不要用“理所當(dāng)然”冷視學(xué)生熱情，要善待學(xué)生發(fā)出的不和諧的聲音，視學(xué)生是一個(gè)可以共商大計(jì)的人.