孟雷

摘 要： 在網(wǎng)絡(luò)保密通信中，為了保證保密信息在網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)陌踩裕岢鲆环N新的有限時(shí)間同步控制策略，使得發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)能夠在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)廣義輸出同步，即發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)能在極短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步，并且雙方網(wǎng)絡(luò)滿足一種非常復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系，從而增加了第三方破解雙方網(wǎng)絡(luò)滿足的關(guān)系，增強(qiáng)了信息傳輸?shù)陌踩院捅Ｃ苄?。?yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)在設(shè)計(jì)的非線性控制器作用下是如何保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的。仿真實(shí)驗(yàn)采用Lorenz系統(tǒng)，結(jié)果表明，該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)滿足無(wú)標(biāo)度特性，在設(shè)計(jì)的非線性控制器下能夠有效地實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間廣義輸出同步。

關(guān)鍵詞： 有限時(shí)間同步； 安全通信； 廣義輸出同步； 信息安全； 發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)； 接收端網(wǎng)絡(luò)； 非線性控制器

中圖分類(lèi)號(hào)： TN915.08?34； TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2018）05?0047?04

Abstract： In the network secret communication， in order to guarantee the transmission security of secret information in network， a new finite?time synchronization control strategy is proposed to realize the generalized output synchronization from the sending?end network to receiving?end network in finite time， and ensure that the two networks can satisfy a complex function relationship in shortest time， so as to make the third party crack the relationship satisfying the two networks， and enhance the security and confidentiality of information transmission. According to the Lyapunov stability theory， how to guarantee the system stability of the sending?end network and receiving?end network by using the nonlinear controller was verified. The Lorenz system is used for simulation experiment. The simulation results show that the network structure satisfies the scale?free characteristic， and the nonlinear controller can realize the finite?time generalized output synchronization effectively.

Keywords： finite?time synchronization； safety communication； generalized output synchronization； information security； sending?end network； receiving?end network； nonlinear controller

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)安全涉及計(jì)算機(jī)科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、通信技術(shù)、密碼技術(shù)、信息安全技術(shù)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)論、信息論等多種學(xué)科。網(wǎng)絡(luò)通信中的保密技術(shù)是通信技術(shù)的核心技術(shù)之一。因此，網(wǎng)絡(luò)安全、通信保密問(wèn)題特別重要。

當(dāng)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)在傳輸秘密信息時(shí)必須要保證兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)同步才能正確接收信息，然而在信息傳輸?shù)倪^(guò)程中如何保證信息傳輸?shù)陌踩允且粋€(gè)非常重要的問(wèn)題，前人研究了很多同步機(jī)制，比如完全同步、滯后同步、輸出同步[2?4]等。其中，輸出同步能夠有效地提高發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)信息傳輸?shù)陌踩?，每次可以設(shè)計(jì)不同的投影函數(shù)，使得攻擊方無(wú)法預(yù)測(cè)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的同步關(guān)系。文獻(xiàn)[5?7]研究了兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的輸出同步，然而輸出同步機(jī)制的收斂時(shí)間是無(wú)窮的，而希望得到的結(jié)果能夠在有限的、很短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的同步，進(jìn)而更加及時(shí)地傳輸信息。

為了實(shí)現(xiàn)兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步，一個(gè)有效的方法就是使用有限時(shí)間同步控制技術(shù)。有限時(shí)間同步控制已經(jīng)在文獻(xiàn)[8]中的混沌系統(tǒng)中得到了應(yīng)用與研究。其中的隨機(jī)近似算法的穩(wěn)定性是與隱含的漸近穩(wěn)定性相關(guān)的常微分方程，因此又意味著算法的收斂。幾個(gè)特定類(lèi)別的算法被認(rèn)為是應(yīng)用程序，并為其強(qiáng)化算法的已知結(jié)果提供簡(jiǎn)單的推導(dǎo)，第一次證明了一類(lèi)不適用任何先驗(yàn)假設(shè)穩(wěn)定性的一步隨機(jī)逼近算法的收斂性，并回答了最優(yōu)成本控制性問(wèn)題。文獻(xiàn)[9?10]對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步控制進(jìn)行研究。其中，文獻(xiàn)[9]研究了不同階混沌系統(tǒng)的廣義同步問(wèn)題?；谟邢迺r(shí)間穩(wěn)定性理論，提出一種在有限時(shí)間內(nèi)不同階次的混沌系統(tǒng)廣義同步的控制策略。除了參數(shù)之間的關(guān)系，得出系統(tǒng)的初始狀態(tài)和收斂時(shí)間。在文獻(xiàn)[10]中，研究了在隨機(jī)噪聲擾動(dòng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行有限時(shí)間隨機(jī)同步的問(wèn)題。利用有限時(shí)間穩(wěn)定性定理、不等式技巧、維納過(guò)程的性質(zhì)通過(guò)加入合適的控制器，確保對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間隨機(jī)同步的充分條件。分析了控制參數(shù)對(duì)同步速度和時(shí)間的影響。在文獻(xiàn)[11?12]中，考慮了一類(lèi)具有耦合時(shí)變時(shí)滯的中立型復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題。通過(guò)使用對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的非線性凸表示，利用LMI基于離散化Lyapunov泛函?穩(wěn)定性條件（線性矩陣不等式），得到與時(shí)滯相關(guān)的同步判據(jù)對(duì)中性的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步。然而以上方法均沒(méi)有考慮時(shí)變時(shí)滯的情況，其所考慮的均為含有常數(shù)時(shí)延的情況。endprint

基于以上分析，本文所做的工作填補(bǔ)了在網(wǎng)絡(luò)保密通信中帶有時(shí)變時(shí)滯的發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間廣義輸出同步的空缺，設(shè)計(jì)了一種新型的控制器用于保證發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間廣義輸出同步，進(jìn)而更好地保證網(wǎng)絡(luò)間傳輸信息的安全性。

1 理論基礎(chǔ)

考慮一個(gè)包含有個(gè)節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都是維的，動(dòng)力學(xué)方程如下：

式中：是第個(gè)節(jié)點(diǎn)在第個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)向量；是連續(xù)的非線性可微的向量函數(shù)；是內(nèi)部耦合矩陣，是連接耦合變量的常數(shù)矩陣，一般來(lái)說(shuō)，選擇為單位矩陣。是外部耦合矩陣，代表網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。如果網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)存在連接，定義，否則，并且定義同理，。

為了在兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)間傳輸信息時(shí)達(dá)到有限時(shí)間廣義輸出同步，從而提高網(wǎng)絡(luò)保密通信的安全性，實(shí)現(xiàn)信息的安全傳輸，定義方程（1）為發(fā)送系統(tǒng)，接收系統(tǒng)定義如下：

式中：是內(nèi)部耦合矩陣；代表網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；表示添加到響應(yīng)系統(tǒng)的控制器。

本文中沒(méi)有假設(shè)耦合矩陣是不可約的，也沒(méi)有假設(shè)耦合矩陣是對(duì)稱的，所以發(fā)送端的網(wǎng)絡(luò)（1）和接收端的網(wǎng)絡(luò)（2）都可以是無(wú)向的網(wǎng)絡(luò)也可以是有向的網(wǎng)絡(luò)，在兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中都可能包含一些孤立的節(jié)點(diǎn)或者簇。

下面給出有限時(shí)間廣義輸出同步的定義。

定義：假設(shè)是一個(gè)連續(xù)可微向量集，如果網(wǎng)絡(luò)（1）和（2）滿足下面的式子就表明發(fā)送網(wǎng)絡(luò)（1）和接收網(wǎng)絡(luò)（2）達(dá)到了有限時(shí)間廣義輸出同步：

式中就是發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)（1）和接收端網(wǎng)絡(luò)（2）達(dá)到有限時(shí)間廣義輸出同步的時(shí)間。

下面給出本文需要用到的一些假設(shè)和引理。

假設(shè) 對(duì)所有的存在一個(gè)正常數(shù)滿足：

引理 對(duì)于一個(gè)連續(xù)可微系統(tǒng)，假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)，使其是正定，并且：

式中，微分系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的，并且可計(jì)算出有限時(shí)間的表達(dá)式如下：

式中為一個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

2 控制器設(shè)計(jì)

利用有限時(shí)間理論，發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)（1）和接收端網(wǎng)絡(luò)（2）將實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間廣義輸出同步，本文給出了實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間廣義輸出同步的定理，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器如何保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

定理 在假設(shè)1存在的條件下，發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)（1）和接收端網(wǎng)絡(luò)（2）實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間廣義輸出同步，為了克服傳統(tǒng)控制器在收斂性和穩(wěn)定性方面的弊端，將同步誤差與雅克比矩陣相結(jié)合，體現(xiàn)出最優(yōu)的線性逼近以保證同步性。因此，在接收端添加控制器為：

通過(guò)將雅克比矩陣與同步誤差引入到控制器中，可有效抑制同步過(guò)程中產(chǎn)生的噪聲和波動(dòng)，并實(shí)時(shí)性地糾正狀態(tài)偏差。利用雅克比矩陣最優(yōu)逼近的特性，可降低對(duì)收斂性的保守性，從而適用于更加復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)和實(shí)際通信環(huán)境。

證明：依據(jù)發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)（1）和接收端網(wǎng)絡(luò)（2），得到下面的誤差系統(tǒng)：

構(gòu)建如下的Lyapunov函數(shù)：

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證定理的正確性與有效性，進(jìn)行了大量的模擬實(shí)驗(yàn)。受控復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)采用Lorenz系統(tǒng)，并且考慮網(wǎng)絡(luò)包含有50個(gè)節(jié)點(diǎn)和兩種性質(zhì)的邊。發(fā)送端網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)方程可以描述為：

接收信息端的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)方程為：

接收端的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)也滿足Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。為無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的連接矩陣，根據(jù)定理計(jì)算出的最大同步時(shí)間為0.823 5。

圖1顯示了在控制器作用下的同步誤差和曲線，當(dāng)時(shí)，可以清楚地看到三條誤差曲線在相同的時(shí)間達(dá)到同步。從以上的數(shù)值仿真可以看出，所提出的控制器具有較高的同步精度和較快的收斂性。

4 結(jié) 語(yǔ)

為了實(shí)現(xiàn)信息在網(wǎng)絡(luò)中的保密通信，研究了一種有限時(shí)間廣義同步控制理論，保證發(fā)送端的網(wǎng)絡(luò)與接收端網(wǎng)絡(luò)能在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到同步。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了所提控制器的有效性。最后，利用Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文所提定理的正確性。

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