陳朋威，岳盼薇

（中國(guó)航天科技集團(tuán)公司第九研究院十六研究所，陜西 西安 710100）

0 前言

機(jī)器人是一個(gè)多剛體系統(tǒng)，也是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是在穩(wěn)態(tài)下建立的，只限于靜態(tài)位置問(wèn)題的討論，未涉及到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的力、速度、加速度等動(dòng)態(tài)過(guò)程。而機(jī)器人的工作恰恰是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，因此研究機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)對(duì)后續(xù)實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的實(shí)時(shí)控制及提高機(jī)器人的動(dòng)態(tài)特性有著重要的意義［1－2］。

目前，機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型的重要應(yīng)用是設(shè)計(jì)機(jī)器人，設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)連桿質(zhì)量、負(fù)載大小、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的特征進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真［3－5］。因?yàn)閯?dòng)力學(xué)方程可以用來(lái)精確計(jì)算出實(shí)現(xiàn)給定運(yùn)動(dòng)所需要的力矩，為機(jī)器人的電機(jī)選型及后續(xù)結(jié)構(gòu)改善提供依據(jù)。

使用動(dòng)力學(xué)方程中重力項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果可進(jìn)行前饋補(bǔ)償，以達(dá)到更好的動(dòng)態(tài)性能。此外，機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型還可用于調(diào)節(jié)伺服系統(tǒng)的增益，改善系統(tǒng)的性能。

1 六自由度機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，采用第二類Lagrange方程進(jìn)行機(jī)器人剛體機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模。

1.1 系統(tǒng)的動(dòng)能

機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)能由各構(gòu)件的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能組成，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)中各構(gòu)件分別求取動(dòng)能，各構(gòu)件的動(dòng)能表示為Ti，則系統(tǒng)的總動(dòng)能求取如下

1.2 系統(tǒng)的勢(shì)能

機(jī)器人系統(tǒng)的勢(shì)能包括其重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能，對(duì)系統(tǒng)各構(gòu)件分別求取勢(shì)能，則系統(tǒng)的總勢(shì)能為

式中，Pg、Ps分別為系統(tǒng)重力勢(shì)能、系統(tǒng)彈性勢(shì)能。

1.3 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

六自由度機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)為

求取機(jī)器人系統(tǒng)的廣義力表示為

因該機(jī)器人機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)需用 θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6獨(dú)立參數(shù)來(lái)確定，故設(shè)機(jī)器人的廣義坐標(biāo)矢量為

由拉格朗日法知，機(jī)器人系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)方程為

式中，D（θ）為機(jī)器人系統(tǒng)的慣性矩陣，且為一對(duì)稱正定矩陣；C（θ，）為機(jī)器人系統(tǒng)的離心矩陣，包含離心陣和哥里奧利扭陣；G（θ）為機(jī)器人系統(tǒng)的重力矩列陣；M為機(jī)器人系統(tǒng)的外力矩列陣，故各主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩表示為

由機(jī)器人系統(tǒng)剛體動(dòng)力學(xué)方程可知，機(jī)器人各主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩運(yùn)行規(guī)律和各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角直接相關(guān)，因此研究驅(qū)動(dòng)力矩根據(jù)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化軌跡有現(xiàn)實(shí)意義。

2 實(shí)例仿真和結(jié)果分析

以8 kg負(fù)載能力的六自由度串聯(lián)關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，依據(jù)機(jī)器人的機(jī)構(gòu)和參數(shù)（圖1和表1），依據(jù)機(jī)器人結(jié)構(gòu)和機(jī)構(gòu)特性，如圖2的工況下，針對(duì)機(jī)器人典型關(guān)節(jié)進(jìn)行關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃如圖3、圖4所示；依據(jù)機(jī)器人水平安裝條件下對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行計(jì)算，各關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動(dòng)力矩及驅(qū)動(dòng)力矩隨時(shí)間變化的軌跡如圖5、圖6所示。

圖1 六關(guān)節(jié)機(jī)器人

表1 機(jī)器人參數(shù)表

圖2 機(jī)器人空間軌跡圖

用關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的方法求解了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)特性，機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)分為加速、勻速、減速三個(gè)階段如圖3、圖4所示。對(duì)比力矩圖5、圖6，研究發(fā)現(xiàn)在加減速階段機(jī)器人各關(guān)節(jié)力矩可達(dá)到峰值。

圖3 一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4 二關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 一關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩

圖6 二關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩

以關(guān)節(jié)一為研究對(duì)象如圖4所示。加速階段驅(qū)動(dòng)力矩峰值達(dá)到50 N·m且伴有沖擊力矩，而勻速階段所需最大力矩幅值不超過(guò)3 N·m，說(shuō)明機(jī)器人在水平放置使用時(shí)其一軸關(guān)節(jié)處摩擦力矩相對(duì)于整體負(fù)載來(lái)說(shuō)較小。考慮到關(guān)節(jié)摩擦系數(shù)一般較難準(zhǔn)確獲得，在進(jìn)行基于動(dòng)力學(xué)算法的在線運(yùn)算控制時(shí)，如果刻意加入關(guān)節(jié)摩擦項(xiàng)作為力矩補(bǔ)償可能導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)模型的誤差，因此在保證精度的前提下，一軸關(guān)節(jié)摩擦可以忽略不計(jì)，這對(duì)降低機(jī)器人動(dòng)力學(xué)控制難度有現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)節(jié)二的驅(qū)動(dòng)力矩加減速時(shí)最大為566 N·m，勻速驅(qū)動(dòng)力矩為458 N·m，其重力力矩占據(jù)較大比重，結(jié)合公式7進(jìn)行分析，機(jī)器人第二關(guān)節(jié)在運(yùn)行時(shí)其所需能量主要用于克服重力力矩，因此在進(jìn)行動(dòng)力元器件的選型時(shí)，機(jī)器人第二軸重力力矩是重要的考慮因素。經(jīng)過(guò)計(jì)算分析，在保證機(jī)器人剛度的情況下，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)和合理選擇材料，降低二軸構(gòu)件質(zhì)量可以使機(jī)器人二軸所需驅(qū)動(dòng)力矩降低，以此來(lái)降低機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)行功耗。

3 結(jié)論

本文對(duì)關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型建模和機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃、驅(qū)動(dòng)力矩計(jì)算分析的研究有助于對(duì)機(jī)器人本體機(jī)構(gòu)、結(jié)構(gòu)、動(dòng)力系統(tǒng)的研發(fā)、重構(gòu)和優(yōu)化工作提供理論和數(shù)據(jù)支持；分析方法和計(jì)算結(jié)果可以作為動(dòng)力學(xué)補(bǔ)償量加入到動(dòng)力補(bǔ)償軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中，這對(duì)機(jī)器人整機(jī)功耗管控和大負(fù)載機(jī)器人的動(dòng)力規(guī)劃具有現(xiàn)實(shí)工程意義。

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