高中詠

數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著內(nèi)在聯(lián)系。教師在教學(xué)中如果能夠有效地溝通知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)生就可能從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，形成知識(shí)鏈條，經(jīng)歷思維過程，體會(huì)到數(shù)學(xué)的有序有理，從而越學(xué)越清晰，越學(xué)越輕松。這是思維發(fā)展的核心，也是原汁數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。本文以“圖形的放大與縮小”一課為例，談?wù)勅绾巫寯?shù)學(xué)課“原汁原味”。

一、思維的起始點(diǎn)：打破原有的平衡

案例1：教師出示一張A3紙與一張A4紙，并將A3紙對(duì)折，剛好與A4紙一樣大

師：同學(xué)們，A3紙的面積剛好是A4紙面積的2倍，昨天老師拿著一張A3大小的建筑圖紙到文印店，想把它復(fù)印并縮小為A4紙張的大小。

生：就是把圖紙縮小到原來(lái)的1/2。

師：對(duì)！文印店的老板聽了我的要求，把A3圖紙放入復(fù)印機(jī)，先按下“縮小”按鈕，再選擇“縮小到50%”。同學(xué)們，你覺得復(fù)印的圖紙會(huì)是我想要的那樣嗎？（學(xué)生點(diǎn)頭贊同）

師：可是，出來(lái)的圖紙卻不是我想要的那樣。

教師出示復(fù)印后的圖，只有A4紙面積的一半那么大。

生1：怎么只有這么大？不可能！

生2： 50%就是1/2，怎么變了？

生3：是不是復(fù)印機(jī)壞了？（學(xué)生紛紛猜測(cè)原因）

師：其實(shí)，復(fù)印機(jī)并沒有壞，這里面蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)。那就是我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容“圖形的放大與縮小”（板書課題）

亞里士多德曾經(jīng)說過：“思維自疑問和驚奇開始！”教師在課始巧妙創(chuàng)設(shè)“復(fù)印文件”的情境，這一素材既真實(shí)又新奇：與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生矛盾，學(xué)生迫切地想知道“為什么50%不是1/2”，有效地喚起學(xué)生的好奇心和求知欲。

選擇身邊的材料引發(fā)學(xué)生積極思考，可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看生活中的現(xiàn)象，逐步養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)、研討數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力和核心能力。

二、思維的生長(zhǎng)線：尋找矛盾的根源

案例2：出示學(xué)習(xí)單，學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)單自學(xué)課本學(xué)習(xí)單

1. 圖形放大（或縮?。?，指的是把圖形的（ ）放大或縮小。

2. 為什么圖紙“縮小到50%”，不是原來(lái)的一半？你找到答案了嗎？

3. 圖形放大或縮小后，與原圖形相比，什么變了，什么沒變？

學(xué)生迫不及待地翻開課本，自學(xué)起來(lái)，繼而開始匯報(bào)交流。

生1：圖形的放大（或縮?。?，指的是把圖形的每條邊都放大或縮小。

生2：我知道為什么圖紙的大小不是原圖的一半了?？s小50%，指的是把圖形的每條邊縮小到原來(lái)的50%，不是把面積縮小到原來(lái)的50%。

師：那么，面積是怎樣變化的呢？

生：面積應(yīng)該只有原圖形的1/4那么大。

師：為什么？

生：把一個(gè)長(zhǎng)方形的圖紙縮小50%，是把它的長(zhǎng)和寬都縮小到原來(lái)的50%，面積就只有原來(lái)的50%×50%=25%。

師：同學(xué)們，你們很了不起，自己找到圖紙大小不對(duì)的原因。把圖紙“縮小到50%”，用我們今天的知識(shí)，應(yīng)該怎樣說？

生1：把圖紙按2∶1縮小。

生2：把圖紙按1∶2縮小。

師：把圖形按一定的比放大（或縮小），指的是：變化后的圖形與原圖形之間的關(guān)系。比的前項(xiàng)和后項(xiàng)，表示的意義是一定的。

生1：比的前項(xiàng)表示變化后的圖形，比的后項(xiàng)表示原圖形。

生2：前項(xiàng)小就表示把原圖形縮小，前項(xiàng)大就表示放大。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诜礁窦埳蠈⑾旅娓鲌D形按1∶2縮小。

生1：我發(fā)現(xiàn)了，長(zhǎng)方形的面積只有原圖形面積的1/4，所以老師復(fù)印的圖紙肯定只有原來(lái)圖紙的1/4。

生2：不僅是長(zhǎng)方形面積是原圖形的1/4，平行四邊形和三角形的面積都只有原圖形的1/4。

生3：因?yàn)槠叫兴倪呅魏腿切蔚牡?、高只有原?lái)的1/2，所以面積只有原來(lái)的1/4。

師：同學(xué)們都很有分析能力，我們?cè)賮?lái)看看圖形放大或縮小后，與原圖形之間什么會(huì)發(fā)生變化，什么沒有變化？

生1：圖形的每條邊都會(huì)發(fā)生變化。

生2：周長(zhǎng)和面積也會(huì)發(fā)生變化。好像都發(fā)生了變化，沒有什么不變的。

生3：圖形的樣子沒有變，只是大小變了。

生4：圖形中角的大小沒有變。

師：圖形的樣子沒有變，我們叫形狀不變。那為什么圖形的形狀不會(huì)變呢？

生：每條邊都是同時(shí)變化的。

師：老師想要把圖紙面積縮小到原來(lái)的一半，文印店老板應(yīng)該按“縮小到百分之幾” 的按鈕呢？

生1：不能按50%了，應(yīng)該比50%大，因?yàn)?0%得到的只有1/4。

生2：應(yīng)該是縮小到原來(lái)的70%，因?yàn)?0%×70%=49%≈50%。

生3：對(duì)！如果是71%，它就大于50%了，因?yàn)?1%×71%=50.41%。

師：同學(xué)們真厲害！我們放學(xué)后，就把你的方法告訴文印店的老板。

教師的作用不是告訴學(xué)生答案，而是引導(dǎo)學(xué)生探尋，激發(fā)學(xué)生思維。學(xué)生在矛盾沖突的驅(qū)使和學(xué)習(xí)單的引領(lǐng)下，通過自學(xué)，自主尋找到“縮小到50%不是一半”的原因所在，從總體上認(rèn)清“圖形的放大與縮小”的本質(zhì)：是對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度的比，不是面積的比，并且和以前學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行有效的溝通、聯(lián)系和統(tǒng)一，使學(xué)生經(jīng)歷從矛盾、疑惑到清晰的過程，在學(xué)習(xí)中體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)密有理和數(shù)學(xué)魅力。

數(shù)學(xué)的根本就是發(fā)展思維。本環(huán)節(jié)中，教師在學(xué)生充分理解“圖形的放大與縮小”的本質(zhì)后，讓他們嘗試解決“復(fù)印圖紙”的問題。這既是一種逆向思維的應(yīng)用，又是數(shù)感的培養(yǎng)；既是知識(shí)的應(yīng)用，更能體會(huì)數(shù)學(xué)思考的魅力。

三、思維的結(jié)構(gòu)圖：建立新的平衡

案例3：梳理知識(shí)，建立體系

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生1：我知道了：圖形的放大或縮小，是指把圖形的每條邊都按一定的比進(jìn)行放大或縮小。

生2：我知道了，圖形放大或縮小后，圖形的大小會(huì)發(fā)生變化，但形狀不變。

生3：圖形按一定的比放大或縮小，這個(gè)比的前項(xiàng)是變化后的圖形。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，讓你想到過去學(xué)習(xí)的哪些知識(shí)？

生1：我想到了比和比例。

生2：我想到了圖形的邊擴(kuò)大a倍，面積就會(huì)擴(kuò)大到它的a2倍。

師：如果將一個(gè)長(zhǎng)方體的模型按3∶1放大，放大后的長(zhǎng)方體體積應(yīng)該是原體積的多少倍？

生：放大后的長(zhǎng)方體體積應(yīng)是原體積的3×3×3=27倍，這是因?yàn)椋悍糯笫侵赴验L(zhǎng)、寬、高都放大到原來(lái)的3倍。

根據(jù)學(xué)生的回答，可以引導(dǎo)得出圖1。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷地打破舊的平衡，建立新的平衡。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，教師可以不斷地完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生在認(rèn)識(shí)“圖形的放大與縮小”的過程中，會(huì)從線段的關(guān)系認(rèn)識(shí)到面積的關(guān)系，再上升到體積的關(guān)系，獲得系統(tǒng)、合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成多維的知識(shí)模塊，建立上位的數(shù)學(xué)模型。

通過有效的問題情境，激活大腦，“勾住”舊知和經(jīng)驗(yàn)，在矛盾沖突下經(jīng)歷抽象、推理、轉(zhuǎn)化的過程，進(jìn)行系統(tǒng)化思考，獲得新的平衡，體現(xiàn)原汁數(shù)學(xué)的特征：從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，學(xué)真數(shù)學(xué)，做真思考。

（作者單位：湖北武穴市師范附屬小學(xué)）

責(zé)任編輯：孫建輝

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