包勇+王倩+陳敬松+肖奔

【摘 要】模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)方法通過設(shè)計(jì)一組滿足特定要求的終端來保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。本文提出了一組滿足該要求的約束條件，然后依據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃來求解模型預(yù)測(cè)控制器，在Matlab環(huán)境下設(shè)計(jì)并且實(shí)現(xiàn)了一種基于模型預(yù)測(cè)綜合控制方法的控制器的設(shè)計(jì)，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制器的穩(wěn)定性和魯棒性。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的控制器可以用來求解基于模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)方法的預(yù)測(cè)控制器。

【關(guān)鍵詞】模型預(yù)測(cè)控制；代價(jià)函數(shù)；終端約束集；多參數(shù)二次規(guī)劃；穩(wěn)定性；魯棒性

中圖分類號(hào)： TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2017）35-0083-002

Controller Design and Simulation Based on Predictive Control Synthesis Algorithm

BAO Yong1 WANG Qian2 CHEN Jing-Song3 XIAO Ben4

（1.China Aeronautical Radio Research Institute， Shanghai 210233，China；2.China Aeronautical Radio Research Institute， Shanghai 210233，China；3.China Aeronautical Radio Research Institute，Shanghai 210233，China；4.Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710000，China）

【Abstract】The model predictive control integrated design method ensures the stability of the system by designing a set of terminals that meet specific requirements.This paper presents a set of constraints to meet the requirements，and then solve the model predictive controller based on the multi-parameter quadratic programming.In the Matlab environment，a controller design based on the model predictive integrated control method is designed and implemented.Finally，Simulation results show the stability and robustness of the controller.The simulation results show that the designed controller can be used to solve the predictive controller based on the integrated design method of model predictive control.

【Key words】Model predictive control；Cost function；Terminal constraint set；Multi-parameter quadratic programming； stability；Robustness

0 引言

為了解決模型預(yù)測(cè)控制算法的穩(wěn)定性問題，在模型預(yù)測(cè)控制的理論研究的基礎(chǔ)上提出了模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)方法。該設(shè)計(jì)方法通過設(shè)計(jì)一組終端條件來保證算法的穩(wěn)定性，然后通過求解優(yōu)化問題獲得控制律。目前這種設(shè)計(jì)方法己從理論論證階段轉(zhuǎn)入到實(shí)際應(yīng)用階段，成為預(yù)測(cè)控制發(fā)展的一個(gè)重要研究方向。

本文根據(jù)模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)控制器。在Matlab環(huán)境下對(duì)給定模型進(jìn)行了仿真分析和優(yōu)化計(jì)算。對(duì)所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性和魯棒性進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的模型預(yù)測(cè)控制器可實(shí)現(xiàn)對(duì)常見問題的求解。

1 算法原理

模型預(yù)測(cè)控制算法的基本策略是采用有限時(shí)域滾動(dòng)優(yōu)化方式來獲取控制信號(hào)。其求解過程可以分為以下四步：（1）根據(jù)預(yù)測(cè)模型對(duì)對(duì)象在未來一段時(shí)間內(nèi)的輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)；（2）通過優(yōu)化算法對(duì)所建立的代價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到一個(gè)控制向量；（3）將控制向量的第一個(gè)值經(jīng)修正后作用于對(duì)象，得到對(duì)象的當(dāng)前輸出值；（4）結(jié)合預(yù)測(cè)輸出和當(dāng)前輸出對(duì)模型的狀態(tài)進(jìn)行校正。進(jìn)入下一采樣時(shí)刻后，循環(huán)執(zhí)行上述各步驟。圖1給出了預(yù)測(cè)控制的基本原理。

圖1中的虛線將模型預(yù)測(cè)控制器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)劃分成模型預(yù)測(cè)、優(yōu)化控制、反饋校正三個(gè)部分。模型預(yù)測(cè)控制對(duì)各部分的具體形式?jīng)]有嚴(yán)格的限制，這在一定程度上促進(jìn)了預(yù)測(cè)控制在工業(yè)過程中的廣泛應(yīng)用。

2 預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)

2.1 基本原理

在模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)中，最優(yōu)控制作為預(yù)測(cè)控制最重要的理論參照體系，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法作為其性能保證的基本方法，不變集等作為其基本工具，具有滾動(dòng)時(shí)域特點(diǎn)的性能分析作為其研究核心。

模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)方法就是通過添加一組終端條件，將模型預(yù)測(cè)控制中的有限域優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為最優(yōu)控制中的無限域優(yōu)化問題，從而能夠利用Lyapunov方法判定其穩(wěn)定性。這就是模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)的基本原理，其核心問題就是設(shè)計(jì)滿足要求的終端條件。

下面給出了模型預(yù)測(cè)控制綜合設(shè)計(jì)中各終端條件需要滿足的條件。

定理1：假設(shè)終端約束集合（χf？奐Rn）、終端代價(jià)函數(shù)（F）及局部控制器（κf（x）∈χf，？坌x∈χf）分別滿足下面的條件，則由這三者所決定的控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。endprint

（1）χf？奐X，且χf是包含原點(diǎn)在內(nèi)的一個(gè)封閉的區(qū)域。

（2）κf（x）∈U，？坌x∈χf，即局部控制器也要滿足輸入約束條件。

（3）f[x，κf]∈χf，？坌x∈χf，即χf是κf條件下的一個(gè)正定不變集。

（4）[F+l][x，κf（x）]≤0，？坌x∈χf，其中F（xκf（x）]=F[f（x，u）]-F（x），即F（x）是一個(gè)局部Lyapunov函數(shù)。

2.2 控制器架構(gòu)設(shè)計(jì)

假設(shè)被控系統(tǒng)可以描述為：

■（1）

式中，f（x，u）為非線性函數(shù)：系統(tǒng)輸入及狀態(tài)約束為u（k）∈U？奐Rm，x（k）∈X？奐Rn。

對(duì)于上述被控系統(tǒng)，選擇二次性能指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即：

JN（k）=■（x■■Qx■■+u■■Ru■）（2）

式中，QT=Q≥0為狀態(tài)加權(quán)陣。當(dāng)性能指標(biāo)函數(shù)選擇為上述二次目標(biāo)函數(shù)時(shí)，滿足定理1的各終端條件可以按照下面的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。

終端代價(jià)函數(shù)設(shè)計(jì)為F（x）=xTPx，其中狀態(tài)加權(quán)陣P通過黎卡蒂方程求解，計(jì)算公式如下：

P=ATPA+Q-KTRK（3）

其中矩陣R和K分別通過下面兩式求得：

R=R+RTPB，K=R-1BTPA

局部控制器κf（x）選擇線性反饋控制器κf（x）=-Kx，其中反饋系數(shù)矩陣K可由下式計(jì)算獲得：

K=（R+BTPA）-1BTPA

終端約束集選擇局部控制器的可行不變集EP={x：xTPx≤1}。

經(jīng)過上面的設(shè)計(jì)，現(xiàn)在就可以將有限域優(yōu)化性能指標(biāo)式（2）轉(zhuǎn)換成無限域優(yōu)化性能指標(biāo)，如式（4）所示。

JN（k）=x■■Px■+■（x■■Qx■+u■■Ru■）（4）

不難理解，終端代價(jià)函數(shù)實(shí)際上是對(duì)屬于終端約束集合內(nèi)的各個(gè)狀態(tài)在采用布局控制器時(shí)無窮時(shí)域二次目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)上界。

2.3 控制器求解

采用多參數(shù)二次規(guī)劃的方法和離線設(shè)計(jì)、在線綜合的計(jì)算策略來解決預(yù)測(cè)控制器的求解問題。

這種求解思路先離線按照被控系統(tǒng)的狀態(tài)約束條件將參數(shù)空間劃分成若干個(gè)子空間，再依據(jù)各子空間里的有效約束項(xiàng)獲得對(duì)應(yīng)于該子空間的控制律計(jì)算公式，最后將所有子空間的求解公式存儲(chǔ)在存儲(chǔ)器當(dāng)中，以備實(shí)時(shí)在線計(jì)算時(shí)使用。進(jìn)入實(shí)時(shí)計(jì)算階段后，首先要判斷系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)所在的子空間，然后調(diào)取相應(yīng)的計(jì)算公式獲取相應(yīng)的空置律。進(jìn)入下一采樣時(shí)刻后，再循環(huán)執(zhí)行上述在線過程。

以帶有約束條件的二次性能指標(biāo)式（4）為例，說明采用多參數(shù)二次規(guī)劃方法求解模型預(yù)測(cè)控制問題過程。式（4）的約束為：

xmin≤xk≤xmax（k=0，…，N）

umin≤uk≤umax（k=0，…，N）

令xk=Akx0+■AjBuk-1-j，則式（4）可以表示為多參數(shù)二次規(guī)劃的一般形式：

■（5）

式中，U■U+H-1FTx，參數(shù) 通過 和（1）式求的。再令 ，將式（5）轉(zhuǎn)化成下式：

■（6）

式中，S■E+GH-1FT，其余參數(shù)與式（5）中的取值相同。對(duì)于式（6）所示的優(yōu)化問題，可以通過一階KKT最有條件求解，即：

z=H-1■T（■H-1■T）-1（■+Sx）（7）

而最優(yōu)控制向量U可以通過下式反解得到

z■U+H-1FTx

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下

xk+1=9.8 11.3-12.9 19.4x■+12u■（8）

系統(tǒng)約束條件為

00≤x■≤1.21.2，-0.1≤uk≤0.2，-1≤δu■≤1（9）

根據(jù)式（8）可選擇二次函數(shù)作為系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，所以無限域最優(yōu)控制問題可表示為

minuVN，M=minuxTNPxN+■xkTQxk+■（uTkRuuk+δukTRδuuk）（10）

選取優(yōu)化時(shí)P=10，控制時(shí)域M=2，二次型性能指標(biāo)的輸入加權(quán)陣Ru=0.001，輸入速率加權(quán)陣選擇Rδu=0.0001，狀態(tài)加權(quán)陣Q=I。各終端參考2.2節(jié)中的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，終端代價(jià)函數(shù)的加權(quán)陣P可通過求解黎卡提方程得到：

P=0.5801 -0.2228-02228 0.1065

線性局部控制器狀態(tài)反饋系數(shù)矩陣K可表示為

K=[4.6006 1.8261]

終端約束集選擇為橢球集合

Ep={x：xTPx≤1}

將上述模型參數(shù)和約束條件帶入帶預(yù)測(cè)控制軟件中，可得到期望的模型預(yù)測(cè)控制器。選取采樣時(shí)間2秒，輸出穩(wěn)定向量為2，截?cái)鄷r(shí)間1000。在以單位階躍信號(hào)為輸入的條件下，在Matlab環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)的輸出和控制信號(hào)隨時(shí)間變化如圖2所示。

由上圖可以看出，系統(tǒng)輸出可以較好的跟隨參考信號(hào)，并且沒有超調(diào)沒有誤差和震蕩，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間14S。注意到控制輸入u1在2s到12s時(shí)達(dá)到飽和，所以應(yīng)該增大對(duì)于輸入的約束條件的上界，使系統(tǒng)輸入達(dá)到最大，從而獲得更好地控制效果。調(diào)整系統(tǒng)約束調(diào)節(jié)為

00≤x■≤1.21.2，-0.1≤u■≤0.4，-1≤δu■≤1（9）

可以清楚的看出，控制輸入u1在4s和6s間達(dá)到最大0.25，而輸出的調(diào)節(jié)時(shí)間變?yōu)?2s，系統(tǒng)能夠更好的跟隨參考信號(hào)，并且沒有超調(diào)和誤差。

4 結(jié)論

本文利用模型預(yù)測(cè)綜合設(shè)計(jì)方法的基本思路，針對(duì)特定模型，設(shè)計(jì)了一個(gè)穩(wěn)定的控制器。并以參數(shù)二次規(guī)劃的求解方法為參考，在Matlab環(huán)境下進(jìn)行模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)和仿真，實(shí)現(xiàn)了模型預(yù)測(cè)控制器的基本功能。仿真結(jié)果表明，該控制器能夠滿足基于多參數(shù)二次規(guī)劃求解方式的模型預(yù)測(cè)控制器求解的基本功能。

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