劉可新，李 匡，梁犁麗，徐海卿，柳 俊，趙培根

（中國水利水電科學(xué)研究院 北京中水科水電科技開發(fā)有限公司，北京 100038）

1 研究背景

世界范圍內(nèi)，洪水災(zāi)害正逐步加劇，就傷亡人數(shù)和經(jīng)濟(jì)損失而言，洪水災(zāi)害已位于自然災(zāi)害的前列［1］。同樣，洪水災(zāi)害在我國也頻繁發(fā)生，威脅著我國人民生命財產(chǎn)安全，據(jù)統(tǒng)計，在造成損失的自然災(zāi)害中，洪水穩(wěn)居首位，對我國經(jīng)濟(jì)造成重大損失［2］。近年來，隨著生態(tài)問題的不斷加劇，極端天氣的頻次也與日俱增，洪水問題已成為制約我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素之一。洪水預(yù)報是防洪的主要非工程措施之一，其作用日益凸顯，因此不斷受到人們的重視［3］。由于水文規(guī)律的復(fù)雜性，洪水預(yù)報誤差難以避免，有時甚至達(dá)不到精度要求，無法滿足人民生產(chǎn)和生活的需要，因此一種可行有效的洪水預(yù)報誤差修正方法十分必要，但現(xiàn)有的誤差修正方法存在不少缺點，有些物理基礎(chǔ)不強(qiáng)，有些不能保證預(yù)見期，整體上修正效果不理想。如傳統(tǒng)的自回歸模型［4-5］，假設(shè)誤差系列存在相關(guān)性，在洪峰附近效果時常并不理想。再如卡爾曼濾波技術(shù)［6-8］，設(shè)計思路與理論基礎(chǔ)都比較科學(xué)，但用在水文預(yù)報中，由于利用的實時信息量有限且有效信息獲取困難，效果往往與自回歸方法相近，這在很大程度上影響了洪水預(yù)報精度，難以達(dá)到防洪要求。

為提高實時洪水預(yù)報的精度，另辟蹊徑，避免傳統(tǒng)修正方法的缺陷，2012年，包為民等［9］在“基于單位線反演的產(chǎn)流誤差修正”將單位線引入實時洪水預(yù)報修正中，建立一種向信息源頭追溯的反饋修正模型，實質(zhì)上建立了線性系統(tǒng)的系統(tǒng)響應(yīng)修正方法，該方法不增加任何參數(shù)，結(jié)構(gòu)十分簡單，不損失預(yù)見期，且物理概念清晰。2013年，包為民等［10-11］提出了產(chǎn)流誤差的動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)曲線修正方法（以下簡稱DSRC方法），使系統(tǒng)響應(yīng)修正方法由線性時不變系統(tǒng)擴(kuò)展到非線性動態(tài)系統(tǒng)，以系統(tǒng)的線性化為手段，解決了復(fù)雜非線性系統(tǒng)的反演問題，為以后方法的應(yīng)用奠定了堅實的基礎(chǔ)，DSRC方法用流量預(yù)報誤差作為修正信息來源，根據(jù)最小二乘法反演各時段計算產(chǎn)流的修正值，從而達(dá)到修正的效果。此后，系統(tǒng)響應(yīng)修正方法得到了進(jìn)一步的研究與探討［12-19］。通過不斷研究與應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)DSRC方法存在修正結(jié)果不穩(wěn)定的問題，為解決這一問題，包為民等［20］提出了產(chǎn)流誤差平穩(wěn)矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)修正方法（以下簡稱RESM方法），擴(kuò)展了系統(tǒng)響應(yīng)修正方法的應(yīng)用方位，增強(qiáng)了方法的修正穩(wěn)定性，為系統(tǒng)響應(yīng)修正方法應(yīng)用于實際奠定了基礎(chǔ)。

RESM方法雖然在理論上解決了DSRC方法修正結(jié)果不穩(wěn)定的問題，但其中的參數(shù)尚需研究，以利于方法的推廣應(yīng)用。本文分別構(gòu)建了理想案例和實際案例，對RESM方法的權(quán)重系數(shù)做了深入研究，并得到了相關(guān)結(jié)論，為今后方法的應(yīng)用做準(zhǔn)備。

2 RESM方法簡介

RESM方法是在產(chǎn)流誤差系統(tǒng)響應(yīng)修正方法的基礎(chǔ)上增添了穩(wěn)定約束項，通過引入產(chǎn)流誤差平穩(wěn)矩陣，使無約束最小二乘法轉(zhuǎn)變?yōu)榧s束最小二乘法，使時段產(chǎn)流修正值相互制約、相互聯(lián)系，緩解或避免了大小相間的“震蕩”現(xiàn)象，增強(qiáng)了修正結(jié)果的穩(wěn)定性。最后應(yīng)用動態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)理論，反演計算出較穩(wěn)定的產(chǎn)流修正系列，對時段產(chǎn)流進(jìn)行修正，該方法中權(quán)重系數(shù)的確定十分重要，影響著修正穩(wěn)定性及修正效果。RESM方法的計算過程如下：

圖1 新安江模型產(chǎn)流修正系統(tǒng)示意

圖1是新安江模型示意圖，其中E0表示實際蒸散發(fā)，P表示降雨，R表示產(chǎn)流量，Q表示出口流量，TLOE表示三層蒸發(fā)，NSM表示蓄滿產(chǎn)流，SRC表示分水源，F(xiàn)T表示匯流，BC表示反演計算，虛線框中的部分表示系統(tǒng)。

只考慮產(chǎn)流對出口流量的影響，那么圖1所示系統(tǒng)可以表示為式（1）：

式（1）的微分表達(dá)式為：

將式（4）寫成矩陣形式，建立產(chǎn)流與流量之間的關(guān)系，可用式（5）表示：

DSRC方法是根據(jù)無約束最小二乘原理，所求ΔR滿足式（8）：

求解式（8）得：

修正后計算產(chǎn)流系列R′C為：

將R′C代入模型重新計算出流過程：

式中：Q′為修正后的計算流量系列。

在DSRC方法的基礎(chǔ)上提出的RESM方法，將無約束最小二乘法替換為約束最小二乘法，在式（8）中加入穩(wěn)定約束項，使時段產(chǎn)流修正值相互制約、相互聯(lián)系，緩解或避免了大小相間的“震蕩”現(xiàn)象，增強(qiáng)了修正結(jié)果的穩(wěn)定性。方法及推導(dǎo)過程如下：

那么

在式（8）中加入穩(wěn)定約束項，即ΔR滿足：

式中：β為權(quán)重系數(shù)。

式（13）的值由兩部分組成，穩(wěn)定約束項和誤差平方和項，其中誤差平方和項主要作用是判斷修正后流量過程線與實測流量過程線的接近程度，其值越小表示越接近，但該項無法考慮修正后時段產(chǎn)流結(jié)果是否穩(wěn)定；而穩(wěn)定約束項用于保證修正結(jié)果的穩(wěn)定性，由式（13）容易看出，各時段產(chǎn)流修正比重越接近，其值越小，表示修正結(jié)果越穩(wěn)定；反之，其值越大，表示越不穩(wěn)定。權(quán)重系數(shù)β的作用是平衡穩(wěn)定約束項與誤差平方和項，不同洪水β值應(yīng)不同。當(dāng)β值為0時，RESM方法轉(zhuǎn)化為DSRC方法，也就是說DSRC方法是RESM方法的特殊情況。穩(wěn)定約束項與誤差平方和項相互制約、相互聯(lián)系、相互作用，使RESM方法既能保證穩(wěn)定性，又能進(jìn)一步改善修正效果。

求解式（13）得：

修正后計算產(chǎn)流系列R′C為：

將R′C代入模型重新計算出流過程：

式中：Q′為修正后的計算流量系列。

RESM方法依據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)理論，在DSRC方法的基礎(chǔ)上改進(jìn)而成，具有較強(qiáng)的物理基礎(chǔ)，其中的產(chǎn)流系統(tǒng)響應(yīng)曲線是指流域系統(tǒng)出口流量固有的對產(chǎn)流量的響應(yīng)，是該方法具有物理基礎(chǔ)的具體體現(xiàn)。

RESM方法能否達(dá)到預(yù)期的修正效果，關(guān)鍵是權(quán)重系數(shù)的選取，本文分別構(gòu)建了理想案例和實際案例對權(quán)重系數(shù)進(jìn)行較詳細(xì)的分析。

3 RESM方法應(yīng)用效果及權(quán)重系數(shù)的分析

為驗證方法的修正效果，選取了以下5個洪水指標(biāo)：

（1）洪量相對誤差

（2）洪峰相對誤差

（3）Nash-Sutcliffe系數(shù)

（4）時段產(chǎn)流修正比重

（5）平均產(chǎn)流修正比重

C的時段數(shù)；m為修正的產(chǎn)流時段個數(shù)；QCP為計算洪峰；QP為實測洪峰；RCT為計算次洪徑流深；RT為實測徑流深；NS系數(shù)表示修正的相對有效性，方法修正效果越好其值越大，最大值為1；ri為第i時段產(chǎn)流量；r′i為修正后第i時段產(chǎn)流量；m為修正的產(chǎn)流時段個數(shù)；Zi表示第i時段產(chǎn)流被修正程度的大小，其絕對值越大表示相對修正幅度越大；-Z是時段產(chǎn)流修正比重的均值，能夠表示各時段產(chǎn)流的綜合修正程度，其值越大表示修正結(jié)果相對越不穩(wěn)定。

3.1理想案例分析理想案例中，流域面積為3 300 km2，區(qū)域中有10個雨量站，1個流量站，模型輸入、輸出、參數(shù)即中間變量均為已知量，給定產(chǎn)流真值系列R，代入模型得實測流量Q，隨機(jī)生成一個誤差系列ΔRT，產(chǎn)流真值系列R加上誤差系列作為計算產(chǎn)流系列RC，代入模型得計算流量RC，誤差限制條件是各誤差不超30%。

同一場洪水，產(chǎn)流修正時段數(shù)和修正所用真值流量數(shù)一定的情況下，探討權(quán)重系數(shù)、觀察洪水修正效果、修正穩(wěn)定性的變化。應(yīng)用效果見表1、圖2、圖3。

表1數(shù)據(jù)顯示，權(quán)重系數(shù)無論取多少，RESM方法均具有一定的修正效果，洪峰相對誤差與洪量相對誤差減小，確定性系數(shù)增大，說明該方法有效可行；同時也注意到，修正前洪峰流量真值大于計算值，相對誤差為5.4%，權(quán)重系數(shù)取0時，即應(yīng)用DSRC方法，修正后計算洪峰超出了洪峰真值，相對誤差變?yōu)?7.9%，顯然出現(xiàn)了矯枉過正現(xiàn)象，洪量修正也出現(xiàn)了同樣的結(jié)果，這是DSRC方法修正不穩(wěn)定的表現(xiàn)，當(dāng)權(quán)重系數(shù)逐漸增大時，方法的修正效果趨于穩(wěn)定；圖2顯示平均產(chǎn)流修正比重隨權(quán)重系數(shù)的增大而減小，說明權(quán)重系數(shù)越大修正結(jié)果越穩(wěn)定，另外，平均產(chǎn)流修正比重減小幅度開始很大并隨權(quán)重系數(shù)的增大趨于平緩，說明一定范圍內(nèi)較小的權(quán)重系數(shù)就能對修正結(jié)果的穩(wěn)定起到很大的作用；圖3反映了權(quán)重系數(shù)與修正效果之間的關(guān)系，當(dāng)權(quán)重系數(shù)由0逐漸增大時，洪峰誤差與洪量誤差顯著減小，當(dāng)權(quán)重系數(shù)達(dá)到某一個值時，修正效果達(dá)到最好，洪峰誤差與洪量誤差趨于0，這時如果再增大權(quán)重系數(shù)，那么修正效果將受到影響，影響程度隨權(quán)重系數(shù)的增大而增大，但無論權(quán)重系數(shù)多大，RESM方法始終具有一定的修正效果，洪峰和洪量誤差總是小于修正前的結(jié)果。

3.2實際案例分析實際案例采用達(dá)開水庫洪水過程，達(dá)開水庫位于廣西貴港市、桂平市和武宣縣交界的馬來河下游，馬來河又稱龍山河、六紅河，發(fā)源于貴港市大平天山，是西江水系黔江的一級支流，流向東北方向，最終在桂平市石龍鎮(zhèn)東崗村匯入黔江，流經(jīng)貴港市中里鄉(xiāng)、奇石村以及桂平市石龍鎮(zhèn)新龍村，主河道長約70.2 km，流域面積為474.92 km2，河道平均比降為0.209%。達(dá)開水庫壩址以上河道長48 km，集水面積為426.8 km2。達(dá)開水庫流域?qū)俅蟋幧接嗝}的蓮花山系，地形山巒重疊，庫區(qū)呈狹長型，地勢中間低，南北高，流域內(nèi)多為高低不等的丘陵地區(qū)，邊界大部分為高山。達(dá)開水庫流域地處低緯度濕潤地區(qū)，雨量充沛，氣候溫和，屬南亞熱帶季風(fēng)氣候，流域多年平均氣溫21.5℃，多年平均降雨量為1 500 mm，多年平均蒸發(fā)量1 426.3 mm，多年平均相對濕度為77.3%。降雨年際及年內(nèi)分配不均，年內(nèi)降雨集中在五月到八月份，夏秋兩季占全年降雨量的一半以上。達(dá)開水庫水量較豐沛，多年平均徑流量為3.52億m3，流量年內(nèi)分配不均勻。

應(yīng)用RESM方法對達(dá)開水庫19場歷史洪水做了模擬計算與誤差修正，結(jié)果統(tǒng)計見表2、表3。表2顯示，對于多數(shù)洪水，RESM方法預(yù)報精度均能達(dá)到要求，修正效果較好，且平均產(chǎn)流修正比重多保持在0.35以內(nèi)，修正結(jié)果穩(wěn)定。表3數(shù)據(jù)顯示，采用RESM方法，平均洪峰相對誤差由17.3%下降到8.1%，平均洪量相對誤差由9.5%下降到5.1%，修正效果顯著，另外，平均確定性系數(shù)由0.704提高到0.813，平均峰現(xiàn)時差由1.2 h降到0.7 h，也說明該方法的有效性，能夠提高洪水預(yù)報精度；說明RESM方法在滿足穩(wěn)定性的同時有效提高了預(yù)報精度，改善了修正效果。

表1 理想案例權(quán)重系數(shù)與修正效果關(guān)系表

圖2 RESM方法權(quán)重系數(shù)與修正穩(wěn)定性關(guān)系

圖3 RESM方法權(quán)重系數(shù)與修正效果關(guān)系

同一場洪水，產(chǎn)流修正時段數(shù)和修正所用真值流量數(shù)一定的情況下，探討權(quán)重系數(shù)、觀察洪水修正效果、修正穩(wěn)定性的變化。應(yīng)用效果如表4、圖4、圖5。

表2 RESM方法達(dá)開水庫流域應(yīng)用結(jié)果

表3 RESM方法達(dá)開水庫流域應(yīng)用平均效果

表4、圖4和圖5顯示，實際案例的分析結(jié)果與理想案例極為相似，對于實際洪水權(quán)重系數(shù)無論取多少，RESM方法均具有一定的修正效果；同時也注意到，修正前實測洪峰小于計算值，相對誤差為-32.5%，權(quán)重系數(shù)取0時，即應(yīng)用DSRC方法，修正后計算洪峰超出了洪峰真值，相對誤差變?yōu)?9%，顯然出現(xiàn)了矯枉過正現(xiàn)象，洪量修正也出現(xiàn)了同樣的結(jié)果，這是DSRC方法修正不穩(wěn)定的表現(xiàn)，當(dāng)權(quán)重系數(shù)逐漸增大時，RESM方法的修正效果趨于穩(wěn)定；圖4反映了權(quán)重系數(shù)與相對誤差之間的關(guān)系，當(dāng)權(quán)重系數(shù)由0逐漸增大時，洪峰誤差與洪量誤差顯著減小，當(dāng)權(quán)重系數(shù)達(dá)到某一個值時，修正效果達(dá)到最好，洪峰誤差與洪量誤差趨于0，這時如果再增大權(quán)重系數(shù)，那么修正效果將受到影響，影響程度隨權(quán)重系數(shù)的增大而增大，且趨勢趨于平緩，但無論權(quán)重系數(shù)多大，RESM方法始終具有一定的修正效果，洪峰和洪量誤差總是小于修正前的結(jié)果；圖5顯示了權(quán)重系數(shù)與確定性系數(shù)之間的關(guān)系，起始確定性系數(shù)隨權(quán)重系數(shù)的增大而增加，隨后便隨之減小，權(quán)重系數(shù)取某一值時，確定性系數(shù)達(dá)到最大。將圖4與圖3比較，可以得出，實際流域中的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)往往較大，實例中約為20.3，這主要是由于實際流域水文規(guī)律復(fù)雜，有效信息提取比較困難。

4 結(jié)論

通過理想案例和實際案例對RESM方法進(jìn)行分析，得到如下幾點結(jié)論：

（1）達(dá)開水庫流域的應(yīng)用效果顯示，RESM方法具有較好的誤差修正效果，提高了洪水預(yù)報精度，平均洪峰相對誤差由17.3%下降至8.1%，平均洪量相對誤差由9.5%下降至5.1%；

（2）RESM方法受權(quán)重系數(shù)的影響比較嚴(yán)重，存在一個最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)使得RESM方法的修正效果達(dá)到最好，本實例中約為20.3，并且權(quán)重系數(shù)的敏感性隨其增大而減小，但無論權(quán)重系數(shù)是否達(dá)到最優(yōu)，RESM方法都具有一定的修正效果；

（3）在實際流域應(yīng)用RESM方法時，權(quán)重系數(shù)往往較大，文中實例約為20.3，是由于水文規(guī)律復(fù)雜，有效信息提取較困難。

表4 實際案例權(quán)重系數(shù)與修正效果關(guān)系表

圖4 RESM方法權(quán)重系數(shù)與相對誤差關(guān)系圖

圖5 RESM方法權(quán)重系數(shù)與確定性系數(shù)關(guān)系

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