龔永輝

[摘 要] 著名教育家章建躍博士在第五屆全國(guó)優(yōu)質(zhì)課評(píng)課時(shí)曾指出：“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”“理解教學(xué)”是進(jìn)行數(shù)學(xué)有效教學(xué)的三大基石. 筆者對(duì)此深有感觸. 本文結(jié)合筆者所上的一節(jié)公開(kāi)課，談?wù)勅绾污`行“三個(gè)理解”.

[關(guān)鍵詞] 理解；平面向量；基底；反思

著名教育家章建躍博士在第五屆全國(guó)優(yōu)質(zhì)課評(píng)課時(shí)曾指出：“理解數(shù)學(xué)”“理解學(xué)生”“理解教學(xué)”是進(jìn)行數(shù)學(xué)有效教學(xué)的三大基石. 筆者對(duì)此深有感觸，適逢最近參加了寧波市“特級(jí)教師帶徒示范課”的教研活動(dòng)，筆者從踐行“三個(gè)理解”的角度設(shè)計(jì)了一節(jié)公開(kāi)課——《平面向量基本定理》，獲得了一致好評(píng)，現(xiàn)將教學(xué)片段和反思整理成文，敬請(qǐng)廣大同行批評(píng)指正.

教學(xué)片段

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

情境1（展示國(guó)歌和校歌的簡(jiǎn)譜） 你能找到阿拉伯?dāng)?shù)字“8”表示的音符嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生所熟知的歌譜出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生感受到任何一首曲子都可以用1～7這七個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字作為音符來(lái)譜寫(xiě)，這與平面向量基本定理中的“基底”思想是相似的，從而讓學(xué)生體會(huì)到“基本量”的思想，為接下來(lái)平面向量基本定理中的基底做鋪墊.

情境2 對(duì)于斜坡上物體所受到的重力，你能分解成哪幾個(gè)力？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的力的分解和合成的物理背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于給定平面內(nèi)任一向量，是否可以類似地進(jìn)行分解？從而將目標(biāo)引向教學(xué)主題.

2. 自主探究，建構(gòu)定理

探究活動(dòng)1：如圖1，已知平面內(nèi)一向量a，圖中的向量b，c，d能用a表示嗎？假如能，如何表示？用a還可以表示平面中的哪些向量？它們有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：回顧共線向量定理，感受共線向量的“基底”及如何用基底表示共線向量的方法，并追問(wèn)與其不共線的向量該如何表示.

探究活動(dòng)2：已知兩個(gè)不共線的非零向量e1，e2（如圖2），求作向量a=2e1+e2，b=-3e1+e2.

追問(wèn)：在上述探究活動(dòng)2中，任意給出一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得c=λ1e1+λ2e2，你能在平面內(nèi)作出相對(duì)應(yīng)的向量c嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究活動(dòng)讓學(xué)生體會(huì)到不共線的向量可以表示平面內(nèi)給定的任一向量，為下面的逆向探究做鋪墊.

探究活動(dòng)3：對(duì)于給定的不共線的一組向量e1，e2（如圖3），平面內(nèi)的任意向量a是否可以用λ1e1+λ2e2來(lái)表示呢？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明.

師生活動(dòng)：利用幾何畫(huà)板不斷變換向量a，體會(huì)在已知基底的情況下可以表示平面內(nèi)任意向量.

探究活動(dòng)4：不斷變換e1，e2的位置，思考要用e1，e2表示任意向量a，e1，e2應(yīng)該滿足什么條件.

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)具體的問(wèn)題情境，通過(guò)教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生自主思考，參與作圖驗(yàn)證等活動(dòng)，使學(xué)生成功地獲得平面內(nèi)任意向量都能用不共線的向量線性表示的感性認(rèn)識(shí)，為下一步概括定理奠定基礎(chǔ).

探究活動(dòng)5：在已知基底e1，e2的情況下，平面內(nèi)任一向量a的分解式是否唯一？試通過(guò)作圖加以說(shuō)明.

師生活動(dòng)：教材沒(méi)有對(duì)“唯一性”加以特別說(shuō)明和證明，而這一點(diǎn)學(xué)生極易忽略，從而導(dǎo)致課后定理的理解應(yīng)用出現(xiàn)偏差和錯(cuò)誤，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度加以理解. 幾何方面只需用加法法則即可說(shuō)明，代數(shù)方面用反證法也很好證明.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感悟?qū)崝?shù)對(duì)λ1，λ2的唯一性.

探究活動(dòng)6：你能從中得到什么結(jié)論？

師生活動(dòng)：學(xué)生試著通過(guò)自己的理解提煉出定理，教師適時(shí)引導(dǎo)、補(bǔ)充.

3. 學(xué)以致用，升華定理

例1 如圖4，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，且=a，=b，用a，b表示，，.

設(shè)計(jì)意圖：以一個(gè)熟悉而簡(jiǎn)單的問(wèn)題，使學(xué)生初步掌握在具體問(wèn)題中用基底來(lái)表示相關(guān)向量，體會(huì)向量的應(yīng)用，加深對(duì)平面向量基本定理的認(rèn)識(shí).

變式1：如圖5，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE=BD，且=a，=b，試用a，b表示.

變式2：在圖5中，設(shè)=a，=b，試用a，b表示，.

變式3：在圖4中確認(rèn)一組基底，并將其他的向量表示出來(lái).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一組變式題，使學(xué)生明白，利用選定的基底來(lái)表示平面內(nèi)任意向量是定理最基本的要求，學(xué)生必須熟練掌握. 變式3是一道開(kāi)放題，如何恰當(dāng)?shù)剡x擇基底直接影響到解題的繁簡(jiǎn)程度，使學(xué)生從中明白選擇恰當(dāng)基底的重要性，從而深入理解定理的本質(zhì)和內(nèi)涵.

變式4（拓展與提升）：設(shè)=2，點(diǎn)P在線段BN上，若=+m，求實(shí)數(shù)m的值.

設(shè)計(jì)意圖：定理的認(rèn)識(shí)和理解是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步深化的過(guò)程，通過(guò)本題的訓(xùn)練，能使學(xué)生鞏固知識(shí)、拓展能力、理解和深化對(duì)定理的認(rèn)識(shí)與延伸，建構(gòu)全面、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

教學(xué)啟示與反思

1. 理解數(shù)學(xué)，揭示本質(zhì)

理解數(shù)學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂教學(xué)的前提，在定理教學(xué)中，部分教師的“課堂教學(xué)”容易重結(jié)論及反復(fù)訓(xùn)練，輕過(guò)程方法的生成和感受，這樣勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生“只知其然，而不知其所以然”，從而對(duì)知識(shí)進(jìn)行機(jī)械記憶與應(yīng)用.

“平面向量基本定理”是數(shù)學(xué)中為數(shù)不多的幾個(gè)基本定理之一，它是平面向量的核心內(nèi)容，能否正確理解定理，關(guān)系到對(duì)整個(gè)向量?jī)?nèi)容的理解和掌握程度. 筆者認(rèn)為，應(yīng)從以下幾個(gè)方面來(lái)加以分析.

（1）深入理解平面向量基本定理的本質(zhì)和延伸

平面向量基本定理刻畫(huà)了平面上任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的基底來(lái)表示，表述的是二維向量空間形式，其實(shí)它和上一節(jié)中的向量共線定理是一脈相承的，同時(shí)也是后面空間向量和三維坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 再推而廣之，“平面向量基本定理”其實(shí)是n維空間向量定理的一個(gè)特例，如果從這個(gè)層面來(lái)理解，定理就變得明了而簡(jiǎn)單了，也有利于教學(xué)過(guò)程中對(duì)重難點(diǎn)的分解和突破.

（2）平面向量基本定理是一種數(shù)與形的綜合運(yùn)算

類似于物理學(xué)中力的分解和合成，平面向量的分解與合成，既可以從形的角度加以理解，也可以從數(shù)的方面進(jìn)行計(jì)算，高考命題者都熱衷于從這兩個(gè)方面進(jìn)行命題，而且要求比較高，學(xué)生對(duì)于幾何角度的運(yùn)算都能很好地理解，但如何從數(shù)的角度進(jìn)行運(yùn)算卻是學(xué)生的難點(diǎn). 例如三點(diǎn)共線的數(shù)量關(guān)系、有關(guān)系數(shù)的數(shù)量比值計(jì)算，以及有關(guān)向量的幾何問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題幾何化等，都是今后學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，所以教師在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，要有意識(shí)地加以引導(dǎo)和指點(diǎn)，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（3）平面向量基本定理是后續(xù)“坐標(biāo)法”的根

把平面向量基本定理中的基底特殊化，即采用x，y軸方向上的單位向量來(lái)表示平面內(nèi)的任一向量，從而可以得到向量的坐標(biāo)表示，推而廣之，也可由空間向量基本定理得到空間向量的坐標(biāo)表示.

2. 理解學(xué)生，準(zhǔn)確定位

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運(yùn)算，特別是向量的加減法法則和共線向量定理，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了必備的知識(shí)儲(chǔ)備，同時(shí)，學(xué)生通過(guò)物理學(xué)科中有關(guān)力的合成和分解，作圖的習(xí)慣也基本養(yǎng)成，這為從形的角度理解定理提供了認(rèn)知準(zhǔn)備. 但學(xué)生對(duì)于“基底”的理解肯定還存在一定的困難，不會(huì)從“基底”“元”“維數(shù)”這些角度理解定理的深刻內(nèi)涵，也就難以認(rèn)識(shí)到這個(gè)定理在今后向量方法中的重要作用. 針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)流程：生活中“基本量”的理解——物理背景中力的分解和合成——類比到平面向量基本定理的課題導(dǎo)入，并精心設(shè)計(jì)一連串問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)和探究定理的核心與內(nèi)涵，由此便很自然地幫助學(xué)生突破了難點(diǎn).

3. 理解教學(xué)，凸顯主體

平面向量基本定理蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和基本思想，它在解決與向量加減法有關(guān)的問(wèn)題時(shí)有比較靈活的應(yīng)用，平面向量基本定理實(shí)現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題幾何化，這種思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在課堂教學(xué)中要讓學(xué)生有所感悟. 在浙江高考試題中，向量是熱點(diǎn)問(wèn)題，試題往往以選擇、填空壓軸題的形式出現(xiàn)，要求很高，僅憑一節(jié)課是教不透的，學(xué)生對(duì)于平面向量基本定理的認(rèn)識(shí)也不可能一步到位，所以本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是體會(huì)平面向量基本定理的重要性和定理的逐步形成過(guò)程，深刻理解“基底”的概念及定理的本質(zhì)和內(nèi)涵，學(xué)會(huì)應(yīng)用定理解決相關(guān)問(wèn)題.

所以，在本節(jié)課的教學(xué)活動(dòng)中，要充分抓住學(xué)生這一主體，注重學(xué)生活動(dòng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在定理形成、認(rèn)識(shí)及應(yīng)用的過(guò)程中讓學(xué)生感知實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手操作，思維辯證，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的整個(gè)探究、發(fā)生過(guò)程，并運(yùn)用各種教學(xué)手段幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵和本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)體系的自主建構(gòu)，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決具體問(wèn)題的意識(shí)和能力.

結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本節(jié)公開(kāi)課的教學(xué)，筆者感觸良多. 在課程改革的今天，尤其是浙江新高考的實(shí)施，隨著十門課程的同時(shí)開(kāi)展，學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)已經(jīng)很重了，如何優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂、提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性、減輕學(xué)生課后負(fù)擔(dān)便顯得尤為重要. 對(duì)于如何在平時(shí)的教學(xué)中滲透“三個(gè)理解”的基本思想，提高有效性，筆者還在不斷地探索和學(xué)習(xí)，今后，筆者將繼續(xù)貫徹這一思想，努力提升自己的教學(xué)水平，也歡迎廣大同仁能夠提出寶貴的建議.