周波 錢(qián)留華 李衡

摘要：輪胎特性是研究汽車(chē)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，特別是輪胎的側(cè)偏特性對(duì)汽車(chē)的操縱穩(wěn)定性有著非常重要的影響。而實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，由于缺乏輪胎動(dòng)態(tài)力學(xué)特性試驗(yàn)及建模技術(shù)的研究，輪胎模型參數(shù)往往難以獲得。本文應(yīng)用Magic Formula輪胎模型建模方法，從輪胎動(dòng)態(tài)力學(xué)特性試驗(yàn)、輪胎模型參數(shù)辨識(shí)和模型的精度驗(yàn)證等方面開(kāi)展了深入研究，最終建立了Magic， Formula輪胎模型。并通過(guò)相關(guān)的仿真與試驗(yàn)研究，驗(yàn)證了該模型的精度及其在極限工況下的仿真能力。

關(guān)鍵詞：Magic Formula輪胎模型;輪胎動(dòng)力學(xué)試驗(yàn);參數(shù)辨識(shí);精度驗(yàn)證

1 前言

在汽車(chē)動(dòng)力學(xué)研究中，對(duì)輪胎模型的準(zhǔn)確描述是整車(chē)動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。由于汽車(chē)行駛時(shí)，所有地而作用力都是通過(guò)輪胎作用到汽車(chē)上，因此輪胎的力學(xué)特性對(duì)汽車(chē)操縱穩(wěn)定性有著非常重要的意義。特別是輪胎的側(cè)偏特性，它決定車(chē)輛操縱穩(wěn)定性，影響車(chē)輛制動(dòng)安全性、行駛平順性、前輪擺振和車(chē)輛側(cè)向振動(dòng)等重要特性。因此在對(duì)上述車(chē)輛動(dòng)力學(xué)特性的分析、仿真研究中，建立一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述輪胎特性的輪胎模型，其重要性和必要性是顯而易見(jiàn)的^[1-3]。

輪胎模型的構(gòu)建一般分為兩種，一種是理論模型（物理模型），即通過(guò)對(duì)車(chē)輪結(jié)構(gòu)和變形機(jī)理的數(shù)學(xué)描述，建立剪切力和回正力矩與相應(yīng)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，較有影響的是Cim模型、Fiala模型等。輪胎理論模型是在輪胎物理結(jié)構(gòu)和變形機(jī)理研究的基礎(chǔ)上建立的對(duì)輪胎力和力矩的數(shù)學(xué)描述，由于理論模型形式復(fù)雜，計(jì)算效率地，因此在車(chē)輛動(dòng)力學(xué)研究中應(yīng)用有很大困難。另一種是經(jīng)驗(yàn)公式或半經(jīng)驗(yàn)公式模型，它是通過(guò)對(duì)大量的輪胎力特性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，將輪胎力特性通過(guò)含有擬合參數(shù)的公式有效地表達(dá)出來(lái)，比較有影響的是Pacejka提出的Magic Formula（魔術(shù)公式）模型以及郭孔輝院士建立的UniTire（冪指數(shù)公式）半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

Magic Formula輪胎模型是1987年由荷蘭Delft理工大學(xué)的Pacejka教授提出，后被稱(chēng)為“魔術(shù)公式”輪胎模型，這是一個(gè)基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)輪胎模型，通過(guò)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。試驗(yàn)通過(guò)專(zhuān)用的試驗(yàn)臺(tái)架或試驗(yàn)車(chē)進(jìn)行，這種試驗(yàn)設(shè)備能夠排除次要因素，模擬出待定的輪胎行駛條件.準(zhǔn)確地再現(xiàn)輪胎的各種工作情況。試驗(yàn)過(guò)程中用于檢測(cè)各類(lèi)數(shù)據(jù)的儀器要求很高的精度和靈敏度，并配備有功能強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，從而保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確可靠。Magic Formula輪胎模型只用一套公式就可完整地表達(dá)純工況下輪胎的力學(xué)特性，故稱(chēng)之為“魔術(shù)公式”，其輪胎力特性的表達(dá)準(zhǔn)確和簡(jiǎn)潔，適應(yīng)工況范圍廣，在汽車(chē)操縱動(dòng)力學(xué)研究應(yīng)用比較廣泛，在現(xiàn)今的輪胎特性描述中，魔術(shù)公式越來(lái)越占據(jù)主導(dǎo)地位，其擬合的精度高，并且在極限值以外的一定范圍內(nèi)仍可應(yīng)用，并且具有較高的置信度，適合于汽車(chē)動(dòng)力學(xué)模擬、控制等領(lǐng)域進(jìn)行理論分析和預(yù)測(cè)。因此本文采用Magic Formula輪胎模型進(jìn)行具體的輪胎特性分析^[3]。

2 Magic Formula輪胎模型介紹

Magic Formula輪胎模型采用SAE標(biāo)準(zhǔn)輪胎運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，基于魔術(shù)公式的輪胎力計(jì)算輸入和輸出變量關(guān)系如圖1所示：

圖1基于魔術(shù)公式的輪胎力輸入和輸出變量關(guān)系

Magic Formula是利用三角函數(shù)來(lái)建立穩(wěn)態(tài)條件下的輪胎縱向力、側(cè)向力和回正力矩模型的，只用一套公式就完整地表達(dá)了輪胎的力特性，公式表達(dá)如下：

式中，Y為側(cè)向力、縱向力或回正力矩;X為側(cè)偏角或縱向滑移率;D為峰值因子;B為剛度因子;C為曲線(xiàn)形狀因子;E為曲線(xiàn)曲率因子;為曲線(xiàn)水平方向漂移;為曲線(xiàn)垂直方向漂移。

3 輪胎動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)

輪胎動(dòng)力學(xué)臺(tái)架試驗(yàn)對(duì)設(shè)備的精度和靈敏度要求較高，并且對(duì)于設(shè)備的操作和后期的數(shù)據(jù)處理，需要深厚的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，國(guó)內(nèi)汽車(chē)主機(jī)廠(chǎng)一般不具備輪胎動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)?zāi)芰?。由于輪胎?dòng)力學(xué)試驗(yàn)的復(fù)雜性和先進(jìn)性，技術(shù)往往嚴(yán)格保密。國(guó)內(nèi)個(gè)別高校和研究機(jī)構(gòu)在該領(lǐng)域開(kāi)展了較深入的研究，建立了輪胎動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)和建模能力，如吉林大學(xué)、中汽研等。一些國(guó)內(nèi)輪胎生產(chǎn)公司也逐步引入相關(guān)試驗(yàn)設(shè)備，但試驗(yàn)?zāi)芰蛿?shù)據(jù)處理方面經(jīng)驗(yàn)相對(duì)不足。國(guó)外相關(guān)研究開(kāi)展較早，工程經(jīng)驗(yàn)相對(duì)成熟，如德國(guó)的FKA和北美的MTS等。

3.1 輪胎動(dòng)態(tài)試驗(yàn)臺(tái)架

在郭孔輝院士帶領(lǐng)下，吉林大學(xué)開(kāi)發(fā)的平板式輪胎動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)臺(tái)，如圖2所示：

該輪胎力學(xué)特性試驗(yàn)臺(tái)主要由四個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成，即計(jì)算機(jī)主控制系統(tǒng)，液壓伺服系統(tǒng)，機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和信號(hào)采集系統(tǒng)，其性能技術(shù)指標(biāo)如表示：

北美的MTS輪胎動(dòng)態(tài)力學(xué)特性試驗(yàn)臺(tái)，如圖3所示，其性能技術(shù)指標(biāo)如表2所示。

3.2 輪胎動(dòng)態(tài)測(cè)試試驗(yàn)

本文以某ADVANCE 305/80R20輪胎為試驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行純側(cè)偏、純縱滑、純側(cè)傾、動(dòng)態(tài)垂直剛度、輪胎有效滾動(dòng)半徑、復(fù)合側(cè)偏側(cè)傾、復(fù)合側(cè)偏縱滑試驗(yàn)的力學(xué)特性測(cè)試及數(shù)據(jù)處理。

3.2.1 輪胎穩(wěn)態(tài)側(cè)偏力學(xué)特性試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

l）輪胎垂直載荷（N）： 3920、7840、14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側(cè)偏角（Degree）：0、±0.5、±l、±1 5、±2、±4、±6、±8、±10

試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖4和圖5所示：

3.2.2輪胎穩(wěn)態(tài)側(cè)傾力學(xué)特性試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）： 14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側(cè)偏角（Degree）：0、±2、±4、±6、±8、±10

試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖6圖7所示：

3.2.3 輪胎穩(wěn)態(tài)縱滑力學(xué)特性試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）制動(dòng)滑移率（一）：按設(shè)備能力做至最大試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖8所示：

3.2.4 輪胎復(fù)合側(cè)傾側(cè)偏試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側(cè)傾角（Deg）：6、--6

4）輪胎側(cè)偏角（Degree）：0、±0.5、±1、±1.5、±2、±4、±6、±8、±10

側(cè)傾角為6deg時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖9和圖10所示：

3.2.5 輪胎復(fù)合側(cè)偏縱滑試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、16660、18130、19600

2）輪胎胎壓（KPa）：450

3）輪胎側(cè)偏角（Degree）：2、4

側(cè)偏角為2deg時(shí)，結(jié)果見(jiàn)圖11、圖12和圖13所示。

3.2.6 輪胎動(dòng)態(tài)徑向剛度試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、15680、16660、17640、18620、19600、20580、21560

2）輪胎胎壓（KPa）：450

試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖14所示：

3.2.7 輪胎有效滾動(dòng)半徑試驗(yàn)

試驗(yàn)工況描述：

1）輪胎垂直載荷（N）：14700、15680、16660、17640、18620、19600、20580、21560

2）輪胎胎壓（KPa）：450

試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖15所示：

4 輪胎動(dòng)力學(xué)模型的建立

4.1 輪胎模型建立過(guò)程

根據(jù)輪胎動(dòng)態(tài)試驗(yàn)所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立輪胎模型的主要過(guò)程，如圖16所示：

1）參數(shù)辨識(shí)：如前文介紹，Magic Formula輪胎模型是由一套數(shù)學(xué)公式來(lái)描述輪胎的力學(xué)特性，通過(guò)對(duì)大量的輪胎力特性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，將輪胎力特性通過(guò)含有擬合參數(shù)的公式有效地表達(dá)出來(lái)。輪胎模型各工況包含大量的參數(shù)因子，通常通過(guò)數(shù)據(jù)專(zhuān)業(yè)的數(shù)據(jù)處理軟件，將各工況下的參數(shù)因子辨識(shí)出來(lái);

2）模型構(gòu)建：由于Magic.Formula輪胎模型在行業(yè)的廣泛應(yīng)用，其模型已形成標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)格式文件，只需將上一步辨識(shí)得到的各參數(shù)因子，按照正常的位置填人輪胎模型文件即可;

3）試驗(yàn)對(duì)標(biāo)：在專(zhuān)業(yè)分析軟件中建立虛擬輪胎試驗(yàn)臺(tái)，開(kāi)展相應(yīng)的測(cè)試T況的仿真，將仿真結(jié)果與測(cè)試試驗(yàn)結(jié)果比較，已達(dá)到模型精度驗(yàn)證的目的。

其中，參數(shù)辨識(shí)過(guò)程最為重要，難度最大。由于過(guò)程復(fù)雜，通常需要具備一定的辨識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

4.2 輪胎模型參數(shù)辨識(shí)

Magic Formula輪胎模型主要包含以下三組特性參數(shù)^[4]，如圖17所示：

1）力和力矩特性參數(shù)：純縱滑、純側(cè)偏和復(fù)合工況下的輪胎穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，圖17中綠色部分;

2）輪胎基本屬性參數(shù)：輪胎垂直剛度、輪胎有效滾動(dòng)半徑、輪胎接地印記長(zhǎng)度寬度、松弛長(zhǎng)度等，圖17中淺藍(lán)色部分;

3）輪胎包容特性和輪胎帶束特性參數(shù)，圖17中紅色部分。（高版本輪胎模型需求）參數(shù)辨識(shí)的基本思想，如圖18所示：

1）將試驗(yàn)數(shù)據(jù)的一部分作為輸入（如垂直載荷、側(cè)偏角、側(cè)傾角、縱向滑移率、標(biāo)稱(chēng)載荷、自由半徑等），給定模型參數(shù)一組初值，根據(jù)輪胎模型公式，計(jì)算出輸出量（如縱向力、側(cè)向力、回正力矩等），然后求出模型輸出變量與試驗(yàn)測(cè)試值之差的平方和;

2）若求出的值小于一個(gè)很小的量（用戶(hù)設(shè)定的值），則認(rèn)為這組模型參數(shù)值可以很好的表達(dá)出試驗(yàn)數(shù)據(jù)的，停止迭代，輸出這組模型參數(shù)值作為參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果值;

3）若求出的值不小于這一小量，則在模型參數(shù)初始值基礎(chǔ)上修改模型參數(shù)，重復(fù)上一步驟，直到仿真值與試驗(yàn)值之差的平方和小于設(shè)定的小量，停止迭代，將最后一組模型參數(shù)值輸出，作為參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果值。

通常采用專(zhuān)業(yè)辨識(shí)軟件工具開(kāi)展數(shù)據(jù)回歸，擬合出各工況下的輪胎參數(shù)因子，需要設(shè)置各待擬合參數(shù)的初始值，上下邊界值，擬合步數(shù)等。殘留標(biāo)準(zhǔn)差按下式計(jì)算。

由于輪胎模型的工況較多，每個(gè)工況待辨識(shí)的參數(shù)很多，這里不一一列舉，僅以純縱滑工況下的縱向力參數(shù)辨識(shí)為例，如圖19所示：

輪胎純縱滑工況縱向力隨縱向滑移率變化特性參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表3所示：

4.3輪胎模型的精度驗(yàn)證

在A(yíng)DAMS/Car中，集成了一個(gè)評(píng)估單個(gè)輪胎在各種激勵(lì)和其它條件下特性的試驗(yàn)臺(tái)Testrig，如圖20所示。輪胎試驗(yàn)臺(tái)是一個(gè)獨(dú)立的，不依附于整車(chē)或子系統(tǒng)的模型工具。輪胎試驗(yàn)臺(tái)在某種程度上可以說(shuō)是輪胎屬性文件的圖形化工具^[3]。

虛擬的輪胎試驗(yàn)臺(tái)中包含有一個(gè)包含輪胎的車(chē)輪，車(chē)輪安裝在心軸上并通過(guò)彈簧、預(yù)加載的大作用力、同定高度心軸與試驗(yàn)臺(tái)的平臺(tái)路面接觸。

虛擬輪胎試驗(yàn)臺(tái)可以模擬輪胎實(shí)際動(dòng)態(tài)測(cè)試試驗(yàn)的相關(guān)工況。平臺(tái)上的路面可以是同定或運(yùn)動(dòng)，路面自身形態(tài)可以是平坦或有凸塊（凹坑）或通過(guò)屬性文件自定義，輪胎的運(yùn)動(dòng)可以增加轉(zhuǎn)角（輪胎側(cè)偏變量），輪胎自轉(zhuǎn)（縱向滑移變量），相對(duì)路面的傾角（側(cè)傾角），輪胎中心的垂直和縱向位移，初始輪胎的回轉(zhuǎn)速度和縱向速度可用輪胎屬性文件中的輪胎自由半徑計(jì)算。

將建成的輪胎屬性文件在虛擬輪胎試驗(yàn)臺(tái)上開(kāi)展響應(yīng)工況的仿真，將仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)標(biāo)，可實(shí)現(xiàn)輪胎模型的精度驗(yàn)證。以純縱滑工況下的縱向力試驗(yàn)對(duì)標(biāo)為例，如圖21所示：

5 輪胎模型的應(yīng)用

為驗(yàn)證輪胎模型在整車(chē)動(dòng)力學(xué)仿真中的合理性，利用ADAMS進(jìn)行整車(chē)操縱穩(wěn)定性仿真。車(chē)輛模型的參數(shù)均為實(shí)際測(cè)得，輪胎模型是通過(guò)完成輪胎力學(xué)特性測(cè)試、參數(shù)辨識(shí)建立的Magic Formula輪胎模型。本文列舉了有代表性的開(kāi)環(huán)角脈沖及閉環(huán)蛇形工況，并與整車(chē)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，具體工況定義及仿真結(jié)果如下所示。

1）角脈沖工況

車(chē)速為80km/h，試驗(yàn)時(shí)的方向盤(pán)轉(zhuǎn)角如圖22所示，車(chē)輛的橫擺角速度仿真及試驗(yàn)曲線(xiàn)如圖23所示：

2）蛇形工況

車(chē)速為30km/h，蛇形試驗(yàn)為閉環(huán)試驗(yàn)，本文為驗(yàn)證所建立輪胎模型的精度，將實(shí)際的方向盤(pán)轉(zhuǎn)角作為輸入，如圖24所示。車(chē)輛的側(cè)向加速度仿真及試驗(yàn)曲線(xiàn)如圖25所示：

圖25 蛇行仿真車(chē)身質(zhì)心側(cè)向加速度結(jié)果曲線(xiàn)

從以上整車(chē)角脈沖及蛇形工況的仿真及試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出，所建立的Magic Formula輪胎模型能很好地仿真車(chē)輛的操縱穩(wěn)定性，并具有較高精度。

6 總結(jié)

本文首先介紹了Magic Formula輪胎模型的理論基礎(chǔ)，其次介紹了國(guó)內(nèi)外具有代表性的輪胎動(dòng)力學(xué)特性的試驗(yàn)臺(tái)架，并結(jié)合一款具體輪胎介紹了主要輪胎測(cè)試工況;根據(jù)Magic Formula輪胎模型的建模方法，結(jié)合輪胎模型參數(shù)辨識(shí)和輪胎模型精度驗(yàn)證等手段，建立了Magic Formula輪胎模型。最后，將建立的輪胎模型進(jìn)行了整車(chē)操縱穩(wěn)定性典型工況下的仿真分析，通過(guò)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較，驗(yàn)證了所建輪胎模型的合理性和精度。

通過(guò)在輪胎動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)與建模技術(shù)方面的研究工作，掌握了建立輪胎模型的一般方法和主要流程，對(duì)Magic Formula輪胎模型有了較為深入的理解。然而，由于輪胎動(dòng)力學(xué)學(xué)科本身的技術(shù)復(fù)雜性，以及缺少輪胎測(cè)試臺(tái)架等條件，對(duì)輪胎模型的研究還比較有限，進(jìn)一步工作主要針對(duì)適用于平順性、耐久性分析的高頻輪胎模型開(kāi)展研究，以拓展車(chē)輛動(dòng)力學(xué)中輪胎模型的應(yīng)用領(lǐng)域，提升車(chē)輛性能仿真的精度。

參考文獻(xiàn)：

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[5]ADAMS 2017 help. Adams Tire Tools. Tire TestRig.