李 欣 張靜雙 徐 慧

(天津機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津 300350)

機(jī)床振動(dòng)是影響機(jī)床加工精度和機(jī)床穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素，考慮機(jī)床大型零件的動(dòng)靜剛度、機(jī)床往復(fù)運(yùn)動(dòng)與回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的頻率，進(jìn)而確定機(jī)床的動(dòng)、靜剛度指標(biāo)，是機(jī)床設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。數(shù)控插床的主軸往復(fù)運(yùn)動(dòng)和讓刀運(yùn)動(dòng)是其規(guī)則振動(dòng)的主要驅(qū)動(dòng)源，改善讓刀運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和減小由于讓刀運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的沖擊，是讓刀機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵。目前為了適應(yīng)更復(fù)雜的機(jī)床應(yīng)用環(huán)境，通過(guò)優(yōu)化凸輪曲線，設(shè)計(jì)不具有剛性沖擊甚至不具有柔性沖擊的雙共軛凸輪讓刀機(jī)構(gòu)迫在眉睫。

數(shù)控插床由液壓缸對(duì)刀軸進(jìn)行驅(qū)動(dòng)提供往復(fù)插削運(yùn)動(dòng)，可以進(jìn)行正常的等速上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。由于液壓缸活塞桿的影響使得油缸上下油腔面積不等，可以利用這一特性，改變刀軸下行切削運(yùn)動(dòng)和上行空程運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比例，根據(jù)油腔截面積比例將其時(shí)間比例改變?yōu)?∶2，即滿足慢速切削快速空程返回，工作效率得到很大提高。則讓刀電動(dòng)機(jī)需要頻繁地加減速，不利于數(shù)控系統(tǒng)的穩(wěn)定。通過(guò)分析共軛雙凸輪讓刀機(jī)構(gòu)的運(yùn)行特性，通過(guò)設(shè)計(jì)凸輪曲線就可以解決上述問(wèn)題。

本文以數(shù)控插床滿足等速往復(fù)運(yùn)動(dòng)的讓刀機(jī)構(gòu)為例，對(duì)其雙共軛凸輪輪廓線進(jìn)行設(shè)計(jì)；滿足下行與上行時(shí)間比2∶1的讓刀機(jī)構(gòu)雙共軛凸輪輪廓線原理與其類似，不再贅述。

1 讓刀機(jī)構(gòu)功能需求

圖1是伺服讓刀機(jī)構(gòu)示意圖。

伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的數(shù)控插床讓刀機(jī)構(gòu)采用如下技術(shù)方案：伺服電動(dòng)機(jī)可以根據(jù)主軸運(yùn)動(dòng)的位置進(jìn)行數(shù)控調(diào)速，以滿足于讓刀機(jī)構(gòu)與插削機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)周期同步。伺服電動(dòng)機(jī)通過(guò)減速器和聯(lián)軸器將運(yùn)動(dòng)傳遞到凸輪軸上，共軛雙凸輪在任意時(shí)刻與撥叉上的兩個(gè)滾子均保持接觸，共軛雙凸輪曲線與各自所對(duì)應(yīng)的滾子的接觸點(diǎn)嚙合，其凸輪形狀曲線滿足讓刀機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)曲線特征，使撥叉進(jìn)行往復(fù)擺動(dòng)，撥叉帶動(dòng)偏心軸往復(fù)擺動(dòng)，偏心軸推動(dòng)讓刀拉桿使得讓刀拉桿前端做往復(fù)移動(dòng)，從而推動(dòng)數(shù)控插床刀架形成讓刀運(yùn)動(dòng)。撥叉上的其中一個(gè)滾子的軸是小偏心軸，可以通過(guò)它的旋轉(zhuǎn)控制兩滾子與共軛凸輪的配合以彌補(bǔ)機(jī)加工的誤差。伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)的數(shù)控插床讓刀機(jī)構(gòu)由于采用本技術(shù)方案，因而解決了讓刀機(jī)構(gòu)和插削機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)周期無(wú)法同步的問(wèn)題。

具體實(shí)施方式：伺服電動(dòng)機(jī)1帶動(dòng)減速器2，通過(guò)聯(lián)軸器3帶動(dòng)凸輪軸4轉(zhuǎn)動(dòng)，凸輪軸4推動(dòng)滾子，使撥叉7擺動(dòng)，撥叉7通過(guò)鍵帶動(dòng)偏心軸9擺動(dòng)，偏心軸9帶動(dòng)讓刀拉桿8往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

伺服讓刀機(jī)構(gòu)的機(jī)械零件均可設(shè)計(jì)，其中設(shè)計(jì)難度最大的是凸輪軸的雙共軛凸輪輪廓線部分。圖2是凸輪軸的示意圖，圓圈中的部分即為其雙凸輪部分。圖3是其雙共軛凸輪部分工作位置說(shuō)明圖。

讓刀機(jī)構(gòu)需要滿足的讓刀運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖4所示。左側(cè)陰影部分是被加工工件，右側(cè)封閉曲線是刀具運(yùn)行軌跡的原理圖。刀具在一個(gè)往復(fù)沖程中需要向工件的反方向運(yùn)動(dòng)一次。

如何設(shè)計(jì)刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡，亦即如何設(shè)計(jì)讓刀凸輪輪廓線，是本文的主要內(nèi)容。要通過(guò)輪廓線的設(shè)計(jì)與計(jì)算，使得讓刀運(yùn)動(dòng)規(guī)律振動(dòng)最小化，避免剛性沖擊和柔性沖擊。所謂無(wú)沖擊，即所受力連續(xù)、不突變且平滑過(guò)渡，數(shù)學(xué)表達(dá)為：運(yùn)動(dòng)曲線的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)、運(yùn)動(dòng)曲線的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

2 共軛雙凸輪輪廓線設(shè)計(jì)

2.1 中心孔距及基本參數(shù)的確定

選擇“5-12-13”勾股序列作為本文的參照，該序列可以很方便地上下擴(kuò)展。根據(jù)類比法和讓刀力量的需求計(jì)算，選擇“5-12-13”勾股序列的18倍作為本文的設(shè)計(jì)參數(shù)。

即凸輪軸與偏心軸的中心孔距Lcen為：

Lcen=13×18=234 mm

凸輪軸與兩個(gè)滾子的初始距離Lo為：

Lo=5×18=90 mm

偏心軸與兩個(gè)滾子的中心矩Larm為：

上述參數(shù)的空間位置關(guān)系，如圖5所示。

2.2 讓刀量及凸輪升程的確定

根據(jù)機(jī)床設(shè)計(jì)要求，數(shù)控插床的讓刀量需求為不小于0.80 mm。

根據(jù)供應(yīng)商INA公司軸承的型號(hào)規(guī)格，將滾子的半徑R確定為：

RL=RR=40 mm

由此，凸輪的標(biāo)定半徑Rmid為：

Rmid=Lo-RL=50 mm

根據(jù)讓刀量需求，將主動(dòng)凸輪最小半徑Rsmall預(yù)設(shè)為：

Rsmall=38 mm

并將偏心軸偏心距Lwinck進(jìn)行預(yù)設(shè)，

Lwinch=16 mm

凸輪參數(shù)預(yù)設(shè)結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)上述參數(shù)，對(duì)核算讓刀量得：

(arcsin[Lo/Lcen]-arccos[(Lcen2+Larm2-

(RL+Rsmall)2)/(2×Lcen×Larm)])×

Lwinch·π/180= 0.889 4 mm

扣除由于零件間隙及計(jì)算方法的誤差10%，0.889 4 mm>0.80×1.1 mm上述參數(shù)滿足要求。

2.3 圓弧轉(zhuǎn)角的確定

根據(jù)插床設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，工件厚度/沖程長(zhǎng)度>93%。

計(jì)算得圓弧轉(zhuǎn)角：2×arcsin[0.93]=137°

為了計(jì)算的簡(jiǎn)便和工作的可靠性，將圓弧轉(zhuǎn)角取值138°。

2.4 升降函數(shù)的確定

由機(jī)械原理凸輪傳動(dòng)知識(shí)可知，“等加速等減速”和“余弦加速度”等運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在柔性沖擊，而“3-4-5多項(xiàng)式”運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不存在柔性沖擊，適用于“高速中負(fù)荷”的場(chǎng)合。本文凸輪過(guò)渡曲線采用“3-4-5多項(xiàng)式”，為了避免沖擊，該多項(xiàng)式要滿足以下條件：

(1)首尾與圓弧曲線相接。

(2)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且首尾點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為0。

(3)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且首尾點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為0。

至于是否有必要將升降函數(shù)曲線的最高階次升至7次函數(shù)，并且要求“三階導(dǎo)數(shù)連續(xù)、首尾點(diǎn)的三階導(dǎo)數(shù)為0”呢？其比較結(jié)果，如圖7所示，7階函數(shù)的沖擊反應(yīng)會(huì)更小，但其首尾段的直線延伸更明顯，不利于讓刀機(jī)構(gòu)的快速讓刀運(yùn)動(dòng)。所以選擇5次函數(shù)，是正確可取的。

由此，設(shè)定5次函數(shù)為：

f[x]=Ak5×(x5)+Bk5×(x4)+Ck5×(x3)+Dk5×(x2)+Ek5×x+Fk5

2.5 凸函數(shù)校核及最小升降角度計(jì)算

為了該凸輪曲線具有大砂輪加工性和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，該凸輪曲線須為凸曲線。可以利用以下公式對(duì)其凹凸性進(jìn)行驗(yàn)證。

gx=f[x]×cos[x]

gy=f[x]×sin[x]

gxd1=D[gx，x]

gyd1=D[gy，x]

gxd2=D[gx，{x，2}]

gyd2=D[gy，{x，2}]

注：本文中D[gx，x]是對(duì)gx關(guān)于參數(shù)x求一階導(dǎo)數(shù)，其他表示方法類同。

gd1=gyd1/gxd1

其凹凸性證明函數(shù)為：

經(jīng)過(guò)反復(fù)驗(yàn)算，本凸輪輪廓線的最小過(guò)渡角度為70°。當(dāng)過(guò)渡曲線的過(guò)渡角為70°時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)曲線和凹凸函數(shù)驗(yàn)證曲線如圖8所示。由圖8可見(jiàn)，該曲線在過(guò)渡部分，二階導(dǎo)數(shù)大于0，該曲線為凸曲線。亦即：只要大于70°的過(guò)渡曲線都滿足凸曲線的特性。

經(jīng)過(guò)反復(fù)計(jì)算，當(dāng)過(guò)渡角為102°時(shí)的曲線其一階導(dǎo)數(shù)曲線和凹凸函數(shù)驗(yàn)證曲線最平滑，在滿足無(wú)沖擊的前提下，還能做到運(yùn)動(dòng)關(guān)系相對(duì)最平穩(wěn)。當(dāng)過(guò)渡曲線的過(guò)渡角為102°時(shí)，其一階導(dǎo)數(shù)曲線和凹凸函數(shù)驗(yàn)證曲線如圖9所示。

2.6 升降函數(shù)的參數(shù)計(jì)算

按照2.4節(jié)設(shè)定的5次函數(shù)曲線方程和需要滿足的條件，求解下列方程組，

Solve[

{

f[x]|x=PointS2=Rmid

f[x]|x=PointS3=Rsmall

}

]

上述方程中所列PointS2，PointS3為過(guò)渡曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)。PointS1，PointS2，PointS3，PointS4為其過(guò)渡點(diǎn)，同于圖6中的“1小-2小-3小-4小”。求得方程的6個(gè)特征參數(shù){Ak5，Bk5，Ck5，Dk5，Ek5，F(xiàn)k5}，即可求得過(guò)渡曲線，變換特征參數(shù)的正負(fù)，即可求得與其對(duì)稱的過(guò)渡曲線。

2.7 主動(dòng)凸輪曲線設(shè)計(jì)

根據(jù)2.2節(jié)確定的凸輪遠(yuǎn)休止與近休止半徑和由2.5節(jié)求得的過(guò)渡曲線方程，組合列出主動(dòng)凸輪曲線如下：

f[x_] :=Rmid/;PointS1≤x

f[x_] :=Am5×x5+Bm5×x4+Cm5×x3+Dm5×x2+Em5×x+Fm5/;PointS2 ≤x

f[x_] :=Rsmall/;PointS3 ≤x

f[x_] :=Ar5×x5+Br5×x4+Cr5×x3+Dr5×x2+Er5×x+Fr5 /;PointS4 ≤x≤PointS5

求得主動(dòng)凸輪展開曲線如圖10所示，主動(dòng)凸輪輪廓線如圖11所示。

2.8 求解主動(dòng)凸輪輪廓線的等距曲線

根據(jù)下列公式組合，

fx=f[x]×cos[x]

fy=f[x]×sin[x]

dfx=D[fx，x]

dfy=D[fy，x]

xLeftO=fx+RL×dfy/Sqrt[dfx2+dfy2]

yLeftO=fy-RL×dfx/Sqrt[dfx2+dfy2]

求取主動(dòng)凸輪輪廓線的等距曲線，亦即與主動(dòng)凸輪嚙合的滾子的中心與主動(dòng)凸輪相比較的軌跡曲線。其等距曲線計(jì)算結(jié)果，如圖12所示。圖中，內(nèi)側(cè)曲線為主動(dòng)凸輪輪廓線，外側(cè)曲線為其等距曲線。

2.9 求解被動(dòng)凸輪曲線

根據(jù)圖5所示的中心矩及撥叉基本參數(shù)，利用2.8節(jié)求解得的主動(dòng)凸輪輪廓線的等距曲線，求解被動(dòng)凸輪輪廓線的等距曲線，如圖13所示。

同樣利用2.7節(jié)所列公式，改變其法線方向，即可以求取被動(dòng)凸輪輪廓線，如圖14所示。

2.10 數(shù)據(jù)輸出

至此，已經(jīng)求取共軛雙凸輪的兩條輪廓線，其位置關(guān)系和曲線表示如圖15所示。將上述主動(dòng)凸輪輪廓線和被動(dòng)凸輪輪廓線的曲線以等距離點(diǎn)的方式輸出為數(shù)控凸輪磨床可以識(shí)別的數(shù)控程序，即可完成對(duì)凸輪軸的凸輪輪廓線磨削加工。

經(jīng)過(guò)求解其過(guò)渡點(diǎn)的角度坐標(biāo)，將其詳細(xì)輪廓線描述如下(如圖16所示)。圖16中由“1小—2小—3小—4小—1小”所連接的封閉曲線為其中的小凸輪的曲線，小凸輪即為主動(dòng)凸輪，其曲線的變化決定了讓刀運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律。

其中，“1小—2小”區(qū)間為R=50 mm的圓弧，“3小—4小”區(qū)間為R=38 mm的圓弧，“2小—3小”和“4小—1小”區(qū)間為對(duì)稱的降程曲線和升程曲線。

圖16中由“1大—2大—3大—4大—1大”所連接的封閉曲線為其中的大凸輪的曲線，大凸輪即為被動(dòng)凸輪，其曲線的變化決定了是否可以使得兩個(gè)凸輪曲線與其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)滾子在任意時(shí)刻接觸。其中，“1大—2大”區(qū)間為R=50 mm的圓弧，“3大-4大”區(qū)間為的圓弧，其半徑由計(jì)算得約等于62 mm，“2大—3大”和“4大—1大”區(qū)間為計(jì)算所得的對(duì)稱的降程曲線和升程曲線。

2.11 驗(yàn)證讓刀量和運(yùn)動(dòng)關(guān)系

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，求解驗(yàn)算讓刀量與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系(如圖17所示)和讓刀量與插削位置的關(guān)系(如圖18所示)，并以圖19局部表達(dá)了其過(guò)渡區(qū)間的運(yùn)動(dòng)曲線。

由圖17～19可知，讓刀量和讓刀運(yùn)動(dòng)關(guān)系平滑過(guò)渡，滿足題設(shè)的條件。

3 共軛雙凸輪設(shè)計(jì)結(jié)果及實(shí)際應(yīng)用

利用上述計(jì)算結(jié)果加工的雙共軛凸輪應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)照片如圖20所示。

實(shí)際應(yīng)用表明，本文所述雙共軛凸輪無(wú)沖擊，上下擴(kuò)展適應(yīng)性強(qiáng)，可在插床中廣泛應(yīng)用。

[1]張策.機(jī)械原理與機(jī)械設(shè)計(jì)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[2] 李瑰賢.空間幾何建模及工程應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 蔡自興，謝斌.機(jī)器人學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[4] 羅伯特·諾頓，機(jī)械設(shè)計(jì)[M].4版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2016.

[5]余洋, 石博強(qiáng), 侯友山.結(jié)構(gòu)剛度對(duì)液壓伺服系統(tǒng)穩(wěn)定性影響分析[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào), 2011, 27(12):32-35.

[6] 陳新元, 湛從昌, 付曙光.伺服液壓缸動(dòng)摩擦力的高精度測(cè)試方法研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造, 2011(3):116-118.