楊波

【摘要】假定n元二次曲面是判定多元橢球的充要條件，也是計(jì)算與之相對(duì)應(yīng)的n維橢球體積的公式，那么在推導(dǎo)判定條件和體積計(jì)算時(shí)，只需要用曲面系數(shù)行列式，這樣處理，判定橢球面和計(jì)算橢球體積更簡(jiǎn)易.

【關(guān)鍵詞】二次曲面；歐拉函數(shù)；橢球體積

一、問(wèn)題提出

根據(jù)解析幾何可知二次曲線在2維坐標(biāo)系上顯示的圖形為封閉圖形的只有橢圓，由此可推導(dǎo)出二次曲面在3維坐標(biāo)系上顯示的橢球面也是封閉圖形.本文要討論的是多元二次曲面是否是判定橢球面的充要條件，此外，還將探討與其相對(duì)應(yīng)的n維橢球體的體積的計(jì)算方法，為了證實(shí)用二次曲面的系數(shù)行列式是否能讓判定與計(jì)算更為簡(jiǎn)捷，特做此研究.

二、定 理

設(shè)x=（x1，…，xn）T∈Rn，A=（aij）∈Rn×n，b=（b1，…，bn）T∈Rn，c∈R，那么，n元二次曲面方程為f（x）=xTAx+2bTx+c=0，方程中的A，即為對(duì)稱矩陣，也就是這個(gè)二次曲面的二次項(xiàng)系數(shù)矩陣.

如果記A～=cbTbA，那么f（x）表示就可以相對(duì)簡(jiǎn)化，即可以表示為f（x）=（1 αT）A～（1 αT）T，A～則為這個(gè)二次曲面的系數(shù)矩陣.

定理1 有n維球面可表示為x21+x22+x23+…+x2n=r2，這個(gè)球面圍成的球體的體積是V=πn2rnΓn2+1，公式中的Γn2+1是歐拉函數(shù).

定理2 n維的橢球面可表示為λ1x21+λ2x22+…+λnx2n=r（r，λi>0），這個(gè)橢球面圍成的橢球體的體積可以用定理1推導(dǎo)，即為V=πn2Γn2+1·rnλ1λ2…λn.

證明 如果D可逆，就有detABCD=detD·det（A-BD-1C）.

如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，那么也就有正交矩陣P=（p1，p2，…，pn），能讓PTAP=diag（λ1，λ2，…，λn），此式中的pi是實(shí)對(duì)稱矩陣關(guān)于特征值λi的向量.

三、判定橢球面的充要條件

A為定性矩陣，同時(shí)它的定性與detA～detA符號(hào)相反，n元的二次曲面f（x）=xTAx+2bTx+c=0就能表示橢球表面，而此橢球的體積為

V=ππ2Γn2+1·|detA～|n|detA|n+1.

前面已經(jīng)提到A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則會(huì)有正交矩陣P=（p1，p2，…，pn），可讓

PTAP=diag（λ1λ2，…，λn），做正交變換x=Py，那么

f（x）=xTAx+2bT+c=（Py）TA（Py）+2bT（Py）+c

=yTdiag（λ1，…，λn）y+2bT（p1，p2，…，pn）y+c

=∑ni=1λiy2i+2∑ni=1bTpiyi+c

=∑λiyi+bTpiλi2+c-∑i=1（bTpi）2λi.

由detA～=detcbTbA=detA·det[c-（bTA-1）]

=detA[c-（bTA-1b）]

=detAc-∑ni=1（bTpi）2λi，

∴f（x）=xTAx+2bTx+c=∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA.

A為定性矩陣，當(dāng)它的定性與detA～detA符號(hào)相反，那么λi同號(hào)，則與detA～detA異號(hào).

由此得∑ni=1λiyi+bTpiλi2+detA～detA=0，由定理2知此橢球面所圍的n維橢球體的體積為

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAnλ1λ2…λn.

由detA=λ1λ2…λn，則有

V=ππ2Γn2+1·-detA～detAdetA

=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+12.

由x=Py為正交變換，那么f（x）=xTAx+2bTx+c=0也能表示n維橢球面，此橢球的體積計(jì)算公式為

V=πn2Γn2+1·|detA～||detA|n+1.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周明.特列旋轉(zhuǎn)二次曲面的性質(zhì)[J].上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（6）：11-14.

[2]湯宇.二次曲線（面）所圍圖形的面（體）積[J].長(zhǎng)春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（2）：4-6.

[3]趙虹.二次曲面所圍封閉圖形的體積[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013（6）：138-140.