宋江紅

【摘要】坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)要不要計(jì)算應(yīng)視具體問題而定，本文從三個(gè)層次對(duì)交點(diǎn)問題進(jìn)行提煉，第一，具體交點(diǎn)，先設(shè)后求；第二，過程交點(diǎn)，設(shè)而不求；第三，曲線系交點(diǎn)，不設(shè)不求.

【關(guān)鍵詞】曲線的交點(diǎn)；點(diǎn)差法；模塊化處理；簡(jiǎn)化運(yùn)算；直擊目標(biāo)

在數(shù)學(xué)解析幾何問題中，曲線的交點(diǎn)問題是可以作為習(xí)題中的典型來說的，以此式子為例，曲線C1：f1（x，y）=0與曲線C2：f2（x，y）=0的交點(diǎn)就是方程組f1（x，y）=0，f2（x，y）=0 的實(shí)數(shù)解.但是，在平面解析幾何問題中，遇到兩點(diǎn)相交的問題，解出方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)是唯一的解題方法嗎？筆者根據(jù)自己總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，列舉出交點(diǎn)問題的三種境界.

一、“先設(shè)后求”，這就好像是武林界大師的第一層境界“心中有劍，手中有劍”

例1 現(xiàn)在已經(jīng)知道探照燈的軸截面是拋物線y2=x，平行于x軸的光線照到拋物線上的點(diǎn)P（1，-1），反射光線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)后又照射到拋物線上的Q點(diǎn)，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo).

解 設(shè)Q（x0，y0），則Q點(diǎn)是直線PF與拋物線的一個(gè)交點(diǎn).由已知，拋物線的焦點(diǎn)F14，0，kPF=0-（-1）14-1=-43，直線PF：y+1=-43（x-1），

圖1

解方程組y20=x0，y0+1=-43（x0-1），y0≥0，

得Q116，14.

此類問題已明示求交點(diǎn)的坐標(biāo)，考查解析幾何的基本思想方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，一般情況下通過方程組求出即可.通過解決這樣的問題，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力及耐心細(xì)致的品質(zhì)做出考查.

二、“設(shè)而不求”，這相當(dāng)于武林界大師的第二層境界“心中有劍，手中無劍”

“設(shè)而不求”，看表面意思就可以知道就是根據(jù)題意巧妙設(shè)立未知數(shù)并不真正解出來，而是建立“未知”和“已知”之間的關(guān)系，然后進(jìn)一步幫助我們解題.

（一）運(yùn)用點(diǎn)差法解決解析幾何的中點(diǎn)弦問題

例2 已知某條直線交橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，請(qǐng)證明：kAB·kOC=-b2a2.

證明 設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）.

∵A，B在橢圓上，

∴x21a2+y21b2=1， ①x22a2+y22b2=1. ②

①-②得：x21-x22a2=-y21-y22b2，

整理得：y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-b2a2.

又∵y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，

∴y0-0x0-0·y1-y2x1-x2=-b2a2，

即kOC·kAB=-b2a2.

（二）利用韋達(dá)定理來實(shí)現(xiàn)模塊化處理，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算目的

例3 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距為4，橢圓C短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與它的長軸的一個(gè)端點(diǎn)正好構(gòu)成一個(gè)正三角形.

圖2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q，證明：OT平分線段PQ.

（解題過程略）

這種類型的問題在運(yùn)算及推理的過程中，如果出現(xiàn)了像x1+x2，x1x2這樣的結(jié)構(gòu)，可以聯(lián)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來整體處理此類問題，從而可以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算過程的目的.

（三）運(yùn)用同構(gòu)式，從結(jié)構(gòu)形式的統(tǒng)一性求直線方程，實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”目的，大大減少計(jì)算量，優(yōu)化解題過程

例4 過P（-1，-1）作拋物線C：x2=4y的兩條切線PA，PB，其中A，B為拋物線C的切點(diǎn)，求直線AB的方程.

（解題過程略）

此類問題依據(jù)的是“兩點(diǎn)確定一條直線”這一樸素事實(shí)，從結(jié)構(gòu)上加以認(rèn)定，從而避開計(jì)算，輕松獲得問題的解決.又比如，在求兩相交圓公共弦所在的直線方程時(shí)用的就是這種方法.

三、“不設(shè)不求”，這相當(dāng)于武林界大師的第三層境界“心中無劍，手中無劍”

運(yùn)用過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程就能達(dá)到可以不求交點(diǎn)就可以達(dá)到終極目標(biāo).

我們先看課本一道習(xí)題.

題目已知兩條曲線方程是f1（x，y）=0和f2（x，y）=0，它們的交點(diǎn)是P（x0，y0），求證：方程f1（x，y）=0+λf2（x，y）=0的曲線也經(jīng)過點(diǎn)P（λ是任意實(shí)數(shù)）.

我們可以利用“過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程”（不含f2（x，y）=0）解決過兩曲線交點(diǎn)問題極其方便.

例5 求證：橢圓x220+y25=1與雙曲線x212-y23=1的四個(gè)交點(diǎn)共圓.

證明 橢圓x220+y25=1，

即x2+4y2-20=0，

雙曲線x212-y23=1，

即x2-4y2-12=0，

所以過橢圓及雙曲線的交點(diǎn)的曲線（不含f2（x，y）=0）的方程為（x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0，

即（1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0.①

令1+λ+4-4λ≠0，得λ=35，代入①得x2+y2=17，即證橢圓與雙曲線交點(diǎn)在同一個(gè)圓x2+y2=17上.

此類問題充分利用過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程，解決與交點(diǎn)有關(guān)問題干凈利落，直擊目標(biāo)，輕松解決問題，享受一份智慧的喜悅.

王國維在《人間詞話》中提出：古今之成大事業(yè)，大學(xué)問者，必經(jīng)過三種之境界.

“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路”，此第一境也.

“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，此第二境也.

“眾里尋他千百度，驀然回頭，那人卻在燈火闌珊處”，此三境也.

平面解析幾何中的交點(diǎn)問題，本文提出“先設(shè)后求”“設(shè)而不求”“不設(shè)不求”三種層次，與王國維先生曾經(jīng)提出的做學(xué)問三種境界有異曲同工之妙處.從這個(gè)角度來看，曲線的交點(diǎn)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的意境之美.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳衛(wèi)光.例談“設(shè)而不求”在解析幾何中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（13）：84-85.endprint