石海泉 謝智強 徐勛衛(wèi) 劉念華

1)(南昌大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,南昌 330031)

2)(華東交通大學(xué)應(yīng)用物理系,南昌 330013)

3)(南昌大學(xué)高等研究院,南昌 330031)

1 引 言

1997年,Imamo?lu等[1]在研究含克爾非線性介質(zhì)腔中光子的統(tǒng)計性質(zhì)時提出了光子阻塞概念,用以描述光子通過含有強克爾非線性介質(zhì)光腔時表現(xiàn)出強反聚束的行為.光子阻塞效應(yīng)的一項重要應(yīng)用是可以用于實現(xiàn)理想的單光子源.自從2005年Birnbaum等[2]首次在腔QED系統(tǒng)中觀測到光子阻塞效應(yīng)以來,人們已經(jīng)在很多不同系統(tǒng)中觀測到光子阻塞[3?7].近年來,光力系統(tǒng)研究作為量子光學(xué)發(fā)展的新方向之一,引起了人們的廣泛關(guān)注[8?13].光力系統(tǒng)由光腔與機械振子通過光壓力作用耦合組成,既可以用于改變光場的性質(zhì),也可以用于控制機械振子的行為.已有較多的研究發(fā)現(xiàn),在強光力耦合條件下光力系統(tǒng)中也可以出現(xiàn)光子阻塞效應(yīng)[14?21],這為實現(xiàn)單光子源提供了一條新的途徑.

類比光子阻塞效應(yīng),聲子阻塞效應(yīng)[22]可以作為實現(xiàn)單聲子源的機制之一.理論預(yù)言,當機械振子與二能級系統(tǒng)耦合時,在色散區(qū)[22?25]和共振區(qū)[26,27]都可以實現(xiàn)聲子阻塞效應(yīng).然而除少數(shù)文獻外[28?30],對于光力系統(tǒng)中聲子統(tǒng)計性質(zhì)的專門研究還比較少,如何在光力系統(tǒng)中實現(xiàn)聲子阻塞還有待研究.多模光力系統(tǒng)作為光力系統(tǒng)的重要模型之一是目前研究的熱點之一.研究發(fā)現(xiàn),多模光力系統(tǒng)中可以出現(xiàn)很多獨特的有趣現(xiàn)象,例如非線性作用增強[31,32]、高保真度量子態(tài)傳輸[33?35]、聲子激光[29,36,37]、邊帶不可分辨條件下的基態(tài)冷卻[38?41]、弱光力耦合條件下的光子阻塞[42]、超高分辨率質(zhì)量傳感[43]等.

本文研究多模光力系統(tǒng)中聲子的統(tǒng)計性質(zhì),其中多模光力系統(tǒng)由一個機械模與兩個光學(xué)模組成.本文主要關(guān)注弱光力耦合條件下的聲子阻塞,類比非傳統(tǒng)光子阻塞效應(yīng)[42,44?54],它也被稱為非傳統(tǒng)聲子阻塞[27].與傳統(tǒng)聲子阻塞源于強非線性作用的物理機制[22?26]不同,非傳統(tǒng)聲子阻塞的物理起源是因為干涉相消作用[45,46],導(dǎo)致雙聲子態(tài)的占居概率被抑制,從而使得在弱非線性條件下也能出現(xiàn)強反聚束現(xiàn)象.

2 多模光力系統(tǒng)理論模型

本文將要研究的多模光力系統(tǒng)由一個機械模和兩個光學(xué)模組成[29,31,32,36,37],如圖1所示,其哈密頓量可以表示為(?=1)

圖1 多模光力系統(tǒng)示意圖 機械模b同時與環(huán)形微腔中光學(xué)模aL和aR產(chǎn)生光力作用;光學(xué)模之間線性耦合,強度為J0;機械模和光學(xué)模都受到外加驅(qū)動場作用,強度為ε和?i(i=1,2),?表示驅(qū)動場間的相位差Fig.1.Schematic diagram of a multimode optomechanical system:The mechanical mode b is optomechanical coupled to the optical modes aLand aRsimultaneously;the optical modes are linearly coupled together with strength J0;the mechanical and optical modes are driven by external fields with strengths ε and ?i(i=1,2),and ? denotes the phase difference of the driving fields.

為了后續(xù)討論方便,對系統(tǒng)哈密頓量(1)式進行簡化.首先,將耦合光學(xué)模算符變換為對稱和反對稱模式,即做變換和可得

其中g(shù)≡(gL+gR)/2和g′≡(gR?gL)/2.接下來,對哈密頓量做變換,H′=UH0U?,其中

假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)滿足弱光力耦合和邊帶可分辨條件g＜γc?ωm,以及共振條件和在旋轉(zhuǎn)波標架下其中R(t)=忽略高頻振蕩項和高階小量,系統(tǒng)的哈密頓量可以近似寫為

其中失諧量Δ1=ωc?J0?ωa,1,Δ2=ωc+J0?ωa,2,Δm=ωm?ωb.假設(shè)驅(qū)動場強度滿足不等式?1?γc＞{g,ε,?2,γm},這時光學(xué)模a1中的平均光子數(shù)很大,〈a1〉?1,光學(xué)模a2中的平均光子數(shù)很小,〈a2〉＜1,機械模中的平均聲子數(shù)也較小,〈b〉＜1.為了討論簡單,光學(xué)模a1可以作為經(jīng)典場近似處理,即a1→〈a1〉;另外假設(shè)失諧量由此系統(tǒng)的哈密頓量可以進一步簡化為

其中等效非線性作用強度U≡?g2/ωm,等效線性耦合強度J=g′〈a1〉.〈a1〉的相位可以通過改變外加驅(qū)動場的相位調(diào)節(jié),不失一般性,本文假設(shè)J,?2和ε都為實數(shù),不同驅(qū)動場之間的相位差用?表示.下面從哈密頓量(5)式出發(fā),研究機械模中的聲子阻塞效應(yīng).

在穩(wěn)態(tài)下(t→+∞),系統(tǒng)中聲子的統(tǒng)計性質(zhì)可以由二階相關(guān)度來表征.聲子二階相關(guān)度的定義為

其中nb≡b?(t)b(t)為平均聲子數(shù),平均聲子數(shù)和二階相關(guān)度都可以利用系統(tǒng)密度算符ρ計算得出.系統(tǒng)的密度算符ρ隨時間的演化行為滿足以下主方程[56]

其中nth為機械模中的平均熱聲子數(shù).根據(jù)玻色-愛因斯坦統(tǒng)計可得nth=[exp(?ωm/kBT)?1]?1,其中kB為玻爾茲曼常數(shù),T為機械振子所處環(huán)境的平衡溫度.由于光學(xué)模本征頻率較高,可以忽略環(huán)境中熱光子的影響.

3 聲子阻塞最優(yōu)條件

本節(jié)討論觀測聲子阻塞的最佳條件.雖然系統(tǒng)哈密頓量(7)式從數(shù)學(xué)上看與文獻[50]中的類似,但是本文所選取的參數(shù)范圍與文獻[50]有所不同:光腔的衰減率遠大于機械振子的衰減率,即γc?γm.這一不同會導(dǎo)致聲子阻塞出現(xiàn)的最優(yōu)條件與文獻[50]中給出的條件大不相同.所以有必要根據(jù)文獻[45]中給出的方法,重新推導(dǎo)聲子阻塞出現(xiàn)的最佳條件.

首先,假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)可以用下列波函數(shù)來描述

其中|n,m〉代表系統(tǒng)處于n個光子m個聲子的態(tài),對應(yīng)系數(shù)Cnm(n和m為非負整數(shù))為其概率幅.由于驅(qū)動場強度?2和ε都較弱,平均光子數(shù)和聲子數(shù)都較少,聲子或者光子數(shù)越多的態(tài)出現(xiàn)的概率越小,可以近似認為:C00?{C10,C01}?{C20,C11,C02}?···.將波函數(shù)(8)式和哈密頓量(5)式代入薛定諤方程,id|ψ〉/dt=H|ψ〉,可得波函數(shù)中的系數(shù)Cnm滿足的動力學(xué)方程

在穩(wěn)態(tài)下,取dCnm/dt=0,于是系數(shù)Cnm滿足線性方程組

由(14)和(15)式解得

將其代入(16)—(18)式中,并利用聲子阻塞出現(xiàn)的條件,即C02=0,可得系數(shù)C20,C11,C00滿足線性方程組

其中

上述方程組(21)—(23)式有非零解的充要條件是其系數(shù)矩陣行列式為零.

當光學(xué)模a2不受外加驅(qū)動場作用,即?2ei?=0時,由方程組(21)—(23)式系數(shù)矩陣行列式實部和虛部分別為零可得

由此推導(dǎo)出聲子阻塞效應(yīng)的最佳失諧量和光力耦合強度分別為

當?shù)刃Ь€性耦合強度遠大于光腔的衰減率,即J?γc/2時,(29)和(30)式簡化為

當光學(xué)模a2受到外加驅(qū)動場作用,即?2ei?/=0時,定義強度比值η=ε/?2.由方程組(21)—(23)式系數(shù)矩陣行列式為零可得

當?=0時,上式中的實部和虛部分別為零可得

由此推導(dǎo)可得,觀測聲子阻塞效應(yīng)的最佳失諧量滿足以下方程

其中系數(shù)si(i=0,1,2,3,4)分別定義為

另外,觀測聲子阻塞效應(yīng)的最佳非線性強度和最佳光力耦合強度由下式給出:

其中為了保證gopt為實數(shù),Uopt的取值必須小于零.通過(36)—(42)式可以看出,觀測聲子阻塞效應(yīng)的最佳失諧量和非線性強度都與驅(qū)動強度比值η有關(guān).換言之，我們可以通過改變驅(qū)動強度比值η調(diào)節(jié)聲子阻塞現(xiàn)象出現(xiàn)的條件,該性質(zhì)可以用于實現(xiàn)可調(diào)單聲子源.

4 數(shù)值結(jié)果與分析

本節(jié)數(shù)值求解主方程得到密度矩陣ρ,然后通過繪圖研究聲子二階相干度隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢.

4.1 非傳統(tǒng)聲子阻塞

首先,討論光學(xué)模a2不受外加驅(qū)動場作用,即?2ei?=0時,聲子的統(tǒng)計性質(zhì).圖2(a)中給出了聲子二階相干度log10[g(2)b(0)]隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖,圖2(b)和圖2(c)中分別給出了log10[g(2)b(0)]隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc的變化曲線,可以看出聲子阻塞出現(xiàn)的最佳失諧量為Δ≈?0.217γc,最佳光力耦合強度為g≈0.819γc,這與(29)—(32)式預(yù)言的最佳條件符合.圖2(d)中給出了隨時間延遲τ/(2π/J)變化曲線.隨時間延遲τ出現(xiàn)振蕩行為,振蕩周期為2π/J.該振蕩行為是由于粒子在光學(xué)模與機械模之間躍遷導(dǎo)致的.振蕩幅度隨著時間延遲τ/(2π/J)延長逐漸衰減,衰減速率與光學(xué)模的衰減率為同一量級.

圖2 (a)聲子二階相干度隨失諧量Δ/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖;(b)log10[gb(2 )(0)]隨失諧量Δ/γc的變化曲線,g=0.819γc[取值由(30)式計算得出];(c)log10[gb(2 )(0)]隨光力耦合強度g/γc的變化曲線,Δ=?0.217γc[取值由(29)式計算得出];(d)gb(2 )(τ)隨時間延遲τ/(2π/J)變化曲線,Δ = ?0.217γc和g=0.819γc;其他參數(shù)為J=3γc,ωm=30γc,γm=0.01γc,ε=0.1γc,?2ei? =0,nth=0Fig.2.(a)Contour plot of the second-order correlation functions log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcand optomechanical coupling strength g/γc;(b)log10[gb(2)(0)]vs detuning Δ/γcwith g=0.819γcgiven by Eq.(30);(c)log10[gb(2 )(0)]vs optomechanical coupling strength g/γcwith Δ = ?0.217γcgiven by Eq.(29);(d)gb(2 )(τ)vs time delay τ/(2π/J)with Δ = ?0.217γcand g=0.819γc.The other parameters are J=3γc, ωm=30γc, γm=0.01γc, ε =0.1γc,?2ei? =0,nth=0.

圖3 (a)隨線性耦合強度J/γc和光力耦合強度g/γc變化的等高線圖;(b)隨光力耦合強度g/γc的變化曲線;其中其他參數(shù)與圖2一致Fig.3.(a)Contour plot of>vs linear coupling strengthand optomechanical coupling strength g/γc;(b)vs optomechanical strength g/γc.Here=10J and the other parameters are the same as in Fig.2.

4.2 可調(diào)聲子阻塞

本小節(jié)研究外加驅(qū)動場作用于光學(xué)模a2,即?2ei?/=0時,聲子的統(tǒng)計性質(zhì)隨外加驅(qū)動場間強度的比值和相位差的變化行為.通過數(shù)值求解方程(36)—(42)式,圖4(a)中給出了最佳光力耦合強度gopt/γc和最佳失諧量Δopt/γc隨驅(qū)動場強度比值η的變化曲線.從圖中可以看出,最佳光力耦合強度gopt/γc和最佳失諧量Δopt/γc隨驅(qū)動場強度比值η變化而變化.另外,當η＞4.65時,gopt＜γc,這為在弱光力耦合條件下實現(xiàn)聲子阻塞提供了有利條件.圖4(b)中給出了隨驅(qū)動場強度比值η和失諧量Δ/γc變化的等高線圖,其中紅色虛線由(36)式給出.由此可以看出,聲子反聚束現(xiàn)象出現(xiàn)的條件(深藍色區(qū)域)與(36)式給出的最佳失諧量(紅色虛線)符合得很好.

圖4 (a)gopt/γc[(42)式]與Δopt/γc[(36)式]隨驅(qū)動場強度比值η的變化曲線;(b)log10[g(2)b (0)]隨驅(qū)動場強度比值η和失諧量Δ/γc變化的等高線圖;其他參數(shù)取值與圖2一致Fig.4. (a) Δopt/γc[from Eq.(36)]and gopt/γc[from Eq.(42)]vs the strength ratio η;(b)contour plot of log10[g(2)b(0)]vs the strength ratio η and detuning Δ/γc.The other parameters are the same as in Fig.2.

圖5 (a)和(b)隨相位差?/π和驅(qū)動場強度比值η變化等高線圖;(c)log10[gb(2 )(0)]隨驅(qū)動場強度比值η變化曲線,其中?=0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]隨相位差?/π變化曲線,其中η=6;(a)和(c)中,Δ 和g的取值由(29)和(30)式計算得出;(b)和(d)中,Δ和g的取值由(36)—(42)式計算得出,其他參數(shù)取值與圖2一致Fig.5.(a)and(b)Contour plot of vs the phase difference ?/π and strength ratio η;(c)log10[gb(2 )(0)]vs the strength ratio η with ? =0.634π;(d)log10[gb(2 )(0)]vs the phase difference ?/π with η =6.(a)and(c) Δ and g are given by Eqs.(29)and(30);(b)and(d) Δ and g are given by Eqs.(36)–(42).The other parameters are the same as in Fig.2.

將圖5(a)和圖5(c)中參數(shù)代入上式可得,η≈5.5和?≈0.634π,這與圖中聚束效應(yīng)出現(xiàn)的條件一致.

4.3 環(huán)境中熱聲子的影響

與光子阻塞不同,由于聲子的頻率較低,聲子阻塞和隧穿現(xiàn)象容易受到環(huán)境中熱聲子的影響.圖6(a)和圖6(b)中給出了隨平均熱聲子數(shù)nth和機械驅(qū)動強度ε/γc變化等高線圖;圖6(c)和圖6(d)中給出了不同熱聲子條件下隨機械驅(qū)動強度ε/γc變化曲線.圖6(a)和圖6(c)中選取了圖5(a)中聲子阻塞出現(xiàn)的最優(yōu)參數(shù)η ≈2.764和? ≈0.634π;圖6(b)和圖6(d)中選取了圖5(a)中聲子隧穿出現(xiàn)的最優(yōu)參數(shù)η≈5.5和?≈0.634π.從圖中可以看出,當考慮環(huán)境熱聲子影響時,適當提高驅(qū)動強度ε/γc利于觀測聲子阻塞效應(yīng);隨著環(huán)境中熱聲子數(shù)的增加,觀測聲子阻塞和隧穿現(xiàn)象需要的機械驅(qū)動強度ε/γc逐漸增強.另外,隨著環(huán)境中熱聲子數(shù)的增加,log10[g(2)b(0)]的最小值逐漸增大(或者最大值逐漸減小),即聲子阻塞(隧穿)效應(yīng)越來越弱.

5 結(jié) 論

本文研究了多模光力系統(tǒng)中的聲子阻塞效應(yīng),給出了聲子阻塞出現(xiàn)的最佳條件.研究發(fā)現(xiàn),聲子阻塞效應(yīng)在弱光力耦合條件下也能出現(xiàn),而且出現(xiàn)聲子阻塞效應(yīng)所需要的最佳光力耦合強度可以通過外加驅(qū)動場來調(diào)節(jié).另外,我們還研究了多驅(qū)動條件下,驅(qū)動場間的強度比值和相位差對聲子阻塞效應(yīng)的影響.發(fā)現(xiàn)通過調(diào)節(jié)驅(qū)動場強度比值或者相位差,可以觀測到機械模中的聲子在反聚束和聚束之間轉(zhuǎn)換.這為實現(xiàn)可調(diào)單聲子源提供了一個備選方案.最后,討論了環(huán)境中熱聲子對聲子阻塞效應(yīng)的影響,發(fā)現(xiàn)熱聲子對聲子阻塞效應(yīng)有破壞作用.為了觀測聲子阻塞效應(yīng),必須克服環(huán)境中熱聲子的影響,例如降低環(huán)境的溫度,或者通過其他方法降低機械振子的有效溫度,提高機械振子的共振頻率.近年來,光力系統(tǒng)中已經(jīng)制備出了吉赫茲量級的高頻機械振子[57,58],這為實現(xiàn)聲子阻塞效應(yīng)提供了有利條件.

圖6 (a)和(b)log10[g(2)b (0)]隨平均熱聲子數(shù)nth和機械驅(qū)動強度ε/γc變化等高線圖;(c)和(d)log10[g(2)b (0)]隨機械驅(qū)動強度ε/γc變化曲線;(a)和(c)中選取η≈2.764;(b)和(d)中選取η≈5.5;其他參數(shù)與圖5(c)一致Fig.6.(a)and(b)Contour plot of log10[g(2)b (0)]vs mean thermal phonon number nthand mechanical driving strength ε/γc;(c)and(d)log10[g(2)b(0)]vs mechanical driving strength ε/γc. η≈ 2.764 in(a)and(c);η≈ 5.5 in(b)and(d).The other parameters are the same as in Fig.5(c).

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