付宏睿, 董永剛, 張建剛

(1. 安陽學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 河南 安陽 455000; 2. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

目前, 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題已引起人們廣泛關(guān)注[1-2]. 文獻[3]通過設(shè)計控制器, 對基于自適應(yīng)的非線性耦合網(wǎng)絡(luò)進行了有限時間同步控制； 文獻[4]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在脈沖信號下的網(wǎng)絡(luò)同步問題; 文獻[5]基于Lorenz系統(tǒng), 研究了小世界網(wǎng)絡(luò)各變量間替換耦合的同步問題； 文獻[6]基于投影同步, 研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時間同步. 但對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步應(yīng)用的研究文獻報道較少. 本文將一個三維自治系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合, 利用該系統(tǒng)的混沌同步將其應(yīng)用于保密通信[7-12]中. 在信息傳輸中加入Gauss白噪聲[13-14]對混沌保密通信系統(tǒng)進行干擾, 并用小波變換[15]原理對信號進行去噪處理, 由MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果可見, 該系統(tǒng)可無失真地恢復(fù)有用信號.

1 數(shù)學(xué)模型

選取一個三維自治混沌系統(tǒng), 該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(1)

其中:X=(x1,x2,x3)T∈3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;a,b,c∈為系統(tǒng)參數(shù). 該系統(tǒng)用矩陣表示為其中:

由矩陣表達式可知, 該系統(tǒng)中a11a22=0. 由于Lorenz系統(tǒng)為a11a22>0, Chen系統(tǒng)為a11a22<0, Liu系統(tǒng)為a11a22<0, 且該系統(tǒng)與上述3個經(jīng)典混沌系統(tǒng)不具有拓撲等價性, 因此該三維自治系統(tǒng)是處于經(jīng)典混沌系統(tǒng)間新的臨界系統(tǒng).

1.1 系統(tǒng)(1)的耗散性與吸引子的存在性

由于系統(tǒng)(1)的向量場散度為

圖1 混沌吸引子的相圖Fig.1 Phase diagram of chaotic attractor

1.2 系統(tǒng)(1)吸引子的數(shù)值仿真

當(dāng)系統(tǒng)(1)的參數(shù)a=5,b=4,c=-4時, 由于

V=-2a-c<0.

因此其具有耗散性, 該系統(tǒng)存在如圖1所示的混沌吸引子, 其中： (A)為三維相空間的混沌吸引子； (B)為x-y平面投影； (C)為x-z平面投影； (D)為y-z平面投影.

2 基于系統(tǒng)

(1)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步

選取由N個相同節(jié)點通過耦合構(gòu)成的全局耦合網(wǎng)絡(luò), 其中第i個節(jié)點的n維動力系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(2)

將系統(tǒng)(1)表示為網(wǎng)絡(luò)的各節(jié)點, 若取節(jié)點數(shù)N=3, 則由該系統(tǒng)組成3個節(jié)點的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型為

(3)

(4)

(5)

根據(jù)系統(tǒng)(3)～(5)節(jié)點組成的網(wǎng)絡(luò)模型, 通過MATLAB進行數(shù)值仿真, 可得如圖2所示的同步誤差結(jié)果, 其中： (A)為節(jié)點1和2的同步誤差; (B)為節(jié)點2和3的同步誤差； (C)為節(jié)點1和3的同步誤差. 由圖2可見, 各系統(tǒng)的初始參數(shù)不同, 但通過控制后, 各節(jié)點間均能較快達到同步.

圖2 耦合網(wǎng)絡(luò)同步誤差Fig.2 Synchronization error of coupling network

3 基于耦合網(wǎng)絡(luò)同步的混沌保密通信

3.1 保密通信原理

圖3 保密通信系統(tǒng)原理Fig.3 Principle of secure communication system

基于三維自治系統(tǒng)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型的同步, 提出一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌保密通信系統(tǒng), 如圖3所示. 先在發(fā)送端將信息經(jīng)兩次加密后, 再在接收端經(jīng)兩次解密后恢復(fù)信息. 由于該三維自治系統(tǒng)線性部分系數(shù)矩陣對應(yīng)的項與經(jīng)典混沌系統(tǒng)不同, 是處于經(jīng)典混沌系統(tǒng)間的臨界系統(tǒng). 因此將其應(yīng)用于保密通信將極大提高信息的保密性.

3.2 基于小波去噪的保密通信數(shù)值仿真

將如圖4所示的Gauss白噪聲信號加入保密通信的過程中, 由于信息在傳輸過程中受嚴重干擾, 因此在解密過程中需考慮噪聲的消除問題.

小波去噪原理如圖5所示. 該去噪方法先將待測信號與噪聲信號進行疊加, 由于混沌信號的能量譜較集中, 而噪聲在小波域中的能量譜較分散, 因此含噪信號在經(jīng)預(yù)處理后, 利用小波變換原理[16]對信號進行多尺度分解, 再選擇適當(dāng)?shù)男〔ㄩ撝颠M行分尺度去噪, 最后將去噪處理后的信號進行重構(gòu)即可得到原有用信號.

圖4 Gauss白噪聲及其頻譜Fig.4 Gaussian white noise and frequency spectra

圖5 小波去噪原理Fig.5 Principle of wavelet de-noising

選取系統(tǒng)(3)為發(fā)射端, 系統(tǒng)(4)為接收端, 用上述保密通信方法, 將離散信號h(t)作為有用信息進行傳輸, 則含噪信號為

s(t)=h(t)+x22(t)+n(t),

其中n(t)為5 dB的Gauss白噪聲信號.

令節(jié)點1為發(fā)射系統(tǒng):

節(jié)點2為接收系統(tǒng):

通過MATLAB進行數(shù)值仿真, 保密通信下離散信號的傳輸如圖6所示, 其中： (A)為x22的時間序列; (B)為有用信息h(t); (C)和(D)分別為信道中第一次與第二次加密后的含噪信號s(t)和s′(t); (E)和(F)分別為第一次解密與第二次解密后的含噪信號h′(t)和h″(t); (G)為采用小波閾值去噪處理后的有用信號h1(t).

由圖6可見, 經(jīng)兩次加密與兩次解密后, 離散信號可被恢復(fù), 但信號波形發(fā)生了改變, 這是由于受噪聲干擾所致. 通過小波閾值去噪處理后, 離散信號可被較好地恢復(fù).

圖6 保密通信下離散信號的傳輸Fig.6 Transmission of discrete signals under secure communication

綜上, 本文將一個三維自治系統(tǒng)作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點, 研究了該系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步問題, 并設(shè)計了基于該網(wǎng)絡(luò)同步的保密通信系統(tǒng). 由于該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與動力學(xué)特性較復(fù)雜, 因此可提高保密程度, 從而增加破譯難度. 為對信息傳輸進行干擾, 在傳輸過程中加入了Gauss白噪聲, 經(jīng)小波閾值去噪處理后, 使得有用信號可無失真地被恢復(fù).

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