崔金超 陳漫 廖翠萃

1)(江南大學理學院,無錫 214122)

2)(北京理工大學機械與車輛學院,北京 100081)

(2017年9月21日收到;2017年11月21日收到修改稿)

1 引 言

Lagrange逆問題、 Hamilton逆問題以及Birkhoff逆問題,是動力學逆問題研究的主要對象[1?3].Douglas[4]和Havas[5]關于Lagrange逆問題的研究表明,只有自伴隨的牛頓系統(tǒng)或完整約束力學系統(tǒng)能夠Lagrange化.運動微分方程不滿足Helmholtz條件的本質非自伴隨系統(tǒng),不能Lagrange化,因此Lagrange逆問題對于完整約束力學系統(tǒng)而言不具有普適性.再由Lagrange方程和Hamilton方程的等價性可知,Hamilton逆問題也不具有普適性[6,7].于是提出了一個問題:在分析力學范疇內,是否存在一種自伴隨的動力學模型,其逆問題對于完整約束力學系統(tǒng)來說是普適的?

20世紀80年代物理學家Santilli[8]對這一問題的深入研究表明,對于滿足局部性、解析性、正規(guī)性基本條件的完整約束力學系統(tǒng),普適的自伴隨動力學模型是存在的,其解析表達就是Birkhoff方程形式.Birkhoff方程是Hamilton方程的自然推廣[9?15],它將非保守系統(tǒng)的幾何特性表現(xiàn)為一般辛結構,而不是Hamilton方程那樣的簡單辛結構.這種更為一般的辛結構,為非保守系統(tǒng)保結構算法的研究提供了幾何基礎[16?22].因此,尋求完整約束系統(tǒng)的Birkhoff表示,亦即研究Birkhoff逆問題顯得尤為重要.

Birkhoff動力學的逆問題主要研究力學系統(tǒng)能夠表示為Birkhoff方程形式的條件,以及Birkhoff動力學函數(shù)的構造方法.但完整非保守系統(tǒng)的廣泛性和復雜性,導致Birkhoff動力學函數(shù)沒有像Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)那樣簡單的構造方法.國內外關于這一問題的研究成果屈指可數(shù)[23?26],現(xiàn)有構造方法主要是Santilli[8]提出的,分別為利用偏微分方程的可積性定理直接構造Birkhoff動力學函數(shù)的Santilli第一方法,利用自伴隨因子的函數(shù)積分法即Santilli第二方法,以及借助給定系統(tǒng)首次積分的Santilli第三方法.上述三種方法在具體應用中還有許多技術性問題需要解決.例如在Santilli第一方法中,如何從欠定的偏微分方程組中解得所需的Birkhoff動力學函數(shù).文獻[9]針對自治系統(tǒng)情形中的這一問題提出了能量賦值法,通過將系統(tǒng)的總能量取為Birkhoff函數(shù),然后再求解Cauchy-Kovalevskaya型正定方程組來解決這一問題;文獻[23]則通過增加一個附加方程,將原來欠定的方程組化為正定方程組來求解.Santilli第二方法應用的技術性困難在于必須先將系統(tǒng)自伴隨化,而這一前提通常較難滿足.文獻[24]針對已經自伴隨化的一類系統(tǒng),提出了簡化的Santilli第二方法,指出了一個被人們長期忽視的冗余項問題.Santilli第三方法的使用困難有兩個,一是要求系統(tǒng)全部第一積分為已知,二是對于多自由度系統(tǒng)的計算繁瑣.

近年來,我們針對上述問題開展了一些研究工作.本文將在前期工作基礎上給出一些新成果.第2節(jié)將從笛卡兒坐標系下的達朗伯原理出發(fā),介紹完整系統(tǒng)在廣義坐標系下的一階標準形式,然后介紹Birkhoff方程及其逆問題;第3節(jié)具體介紹Santilli提出的三種構造方法;第4節(jié)分別介紹這三種方法的研究進展,包括Santilli第一方法的拓展研究,Santilli第二方法的簡化證明,Santilli第三方法的改進及其MATLAB程序化計算;第5節(jié)總結全文并對結果進行討論.

2 Birkhoff方程及Birkhoff逆問題

考慮笛卡兒坐標系中由N個質點組成、受有3N?n個完整約束的力學系統(tǒng),其運動微分方程由D’Alembert原理描述為

這里及以下采用愛因斯坦求和約定.

引入廣義坐標qi(i=1,2,···,n),并利用坐標變換關系rk=rk(t,q)得到完整約束力學系統(tǒng)((1)式)在位形空間中的表達式,

由于上述二階微分方程有可能是本質非自伴隨的,因而不宜作為逆問題普適性理論研究的出發(fā)點.為此,采用文獻[8]的降階方法得到與(2)式等價的一階標準形式

再結合下述定理,則可在Birkhoff力學體系下建立普適的自伴隨方程.

定理1任何局域、解析、正規(guī)、完整的一階力學系統(tǒng)((3)式),在其正規(guī)點的星形鄰域上,總能實現(xiàn)自伴隨的、保持動力學函數(shù)物理意義和變量實驗室可測性質的Birkhoff方程形式,即

式中B(t,a)稱為Birkhoff函數(shù),2n個函數(shù)Rμ(t,a)稱為Birkhoff函數(shù)組.

為方便起見,將2n+1個函數(shù)(B,Rμ)統(tǒng)稱為Birkhoff動力學函數(shù),再引入Birkhoff張量

則(4)式可寫為

進一步,若(6)式中函數(shù)和都不顯含時間,則(6)式成為自治Birkhoff方程,即

容易驗證Birkhoff方程滿足如下自伴隨條件:

于是,Birkhoff逆問題可以具體闡述為:構造未知函數(shù)B和Rμ,使得完整約束系統(tǒng)的運動微分方程((3)式)與Birkhoff方程((4)式)等價,即

亦即要求

并且同時滿足自伴隨條件((8)式).

3 構造Birkhoff動力學函數(shù)的Santilli方法

Santilli第一方法. 對于給定的Birkhoff函數(shù)B,(10)式是關于Birkhoff函數(shù)組Rμ的Cauchy-Kovalevskaya型方程,即

由Cauchy-Kovalevskaya定理可知,(11)式的解Rμ總是存在的.因此,如果能從(11)式解得一組Rμ,就能找到所需的Birkhoff動力學函數(shù).這種方法稱為Santilli第一方法.

在實際應用中,若已知系統(tǒng)的總能量(即動能與勢能的和),則將其取為Birkhoff函數(shù)B,那么理論上通過求解(11)式就可以確定Birkhoff函數(shù)組Rμ.但對于一些復雜的力學系統(tǒng),(11)式未必能夠順利求解,因而限制了Santilli第一方法的實效性.

Santilli第二方法.設系統(tǒng)的一階標準形式((3)式)已自伴隨化為如下形式:

式中下標SA表示自伴隨(self-adjointness),為變量t,a的一般函數(shù).此時Birkhoff張量?μν為已知量,將其代入Birkhoff張量的定義((5)式)直接積分得

式中τ是參變量并且滿足0≤τ≤1.將求得的?μν和Rμ代入Birkhoff方程((4)式),并注意到(12)式,則可得

這種方法稱為Santilli第二方法.

Santilli第三方法. 若已知系統(tǒng)((3)式)全部獨立的第一積分Iα(t,a)(α=1,2,···,2n), 則Birkhoff動力學函數(shù)可由下式確定:

式中函數(shù)Gα=Gα[I(a)]要滿足正規(guī)性條件

這種方法稱為Santilli第三方法.

4 Santilli方法的研究新進展

4.1 Santilli第一方法的拓展研究

文獻[9]關于Santilli第一方法在自治系統(tǒng)中的應用,啟發(fā)我們思考如下問題:自治系統(tǒng)((3)式)是否總有自治Birkhoff表示((7)式)?文獻[8]對這一問題有所討論,但沒有給出具體證明.這里采用反證法加以證明.

命題1自治系統(tǒng)總存在自治Birkhoff表示.

證明假設某個自治系統(tǒng)

不存在自治Birkhoff表示,即對向量場Ξν找不到B和Rμ使得等式

成立.但另一方面,存在B(a)使得(18)式總是Cauchy-Kovalevskaya型的,只需將B(a)=RνΞν代入(18)式整理得

顯然,這是一組以2n個Rμ為未知函數(shù)的2n個一階偏微分方程組.不妨假定則(19)式可寫為Cauchy-Kovalevskaya型方程

由Cauchy-Kovalevskaya定理知(20)式的解總是存在.這說明對任意給定的向量場Ξν總有(18)式成立,這顯然與假設矛盾.故自治系統(tǒng)總有自治Birkhoff表示.證畢.

4.2 簡化的Santilli第二方法

對于已經自伴隨化的力學系統(tǒng),用Santilli第二方法構造Birkhoff動力學函數(shù)是方便的.但長期以來,人們忽視了該方法中存在的冗余項,造成求解過程繁瑣復雜.在文獻[17]中我們已對這一問題做過討論,這里給出一種更為簡潔的證明方法.

命題2Santilli第二方法中求解函數(shù)B的計算式(14)式可以簡化為

即有如下恒等式成立:

式中Rμ由(13)式給出.

證明將(13)式代入(14)式,具體運算得

式中最后一個等號成立主要是因為Birkhoff張量?μν具有反對稱性,因而第三個等號后的第二項中(?νμaνaμ)關于μ和ν的遍歷求和恒為零,從而有

命題得證.

4.3 Santilli第三方法的改進及其MATLAB程序化計算

4.3.1 Santilli第三方法的性質及其第二形式

Santilli第三方法適用于可以求得全部獨立第一積分的系統(tǒng).此類系統(tǒng)的Birkhoff動力學函數(shù)B和Rμ都表示為這些積分的函數(shù),因此借助第一積分這個橋梁可以找到B和Rμ之間的等量關系.

命題3由Santilli第三方法((15)式)所構造的Birkhoff動力學函數(shù)B和Rμ,總滿足如下等量關系式[8]:

證明由于Iα(α=1,2,···,n)是系統(tǒng)的第一積分,故有

兩端同乘以滿足正規(guī)性條件((16)式)的函數(shù)Gα(t,a)得

將(15)式代入(26)式即得(24)式.

利用這一關系可以將Santilli第三方法改寫為如下新形式:

4.3.2 改進的Santilli第三方法

考慮Santilli第三方法的一種特殊形式.用Santilli第三方法((15)式)計算函數(shù)B和Rμ時,為保證得到的Birkhoff方程是正規(guī)的,要求(15)式中的函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)必須滿足如下正規(guī)性條件:

但若對所選的每組Gα都去驗證條件(28)式是否成立,將會導致額外的計算負擔.于是提出如下問題:能否將可選函數(shù)Gα固定為某一組特殊的函數(shù)形式,使得正規(guī)性條件(28)式自動滿足？事實上這是可以做到的,具體以如下命題形式闡述.

命題4假設給定系統(tǒng)的全部獨立第一 積 分Iα(α=1,2,···,2n)已 知, 在 原Santilli第三方法((15)式)中按如下方式選取函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n),即

或等價表示為

則正規(guī)性條件(28)式自動成立,并且函數(shù)B和Rμ可表示為

證明容易驗證按照(29)式選取函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)后, 行列式((28)式)具體寫為

由行列式的結果不為零可知,正規(guī)性條件(28)式恒成立,再將函數(shù)Gα(α=1,2,···,2n)代入(15)式,即得函數(shù)B和Rμ的表達式((30)式).證畢.

構造方法(30)式稱為改進的Santilli第三方法.顯然,當應用改進的Santilli第三方法構造系統(tǒng)的Birkhoff動力學函數(shù)B和Rμ時,不必再進行檢驗正規(guī)性條件是否成立的步驟,在計算上顯然是方便的,示例如下.

例1用改進的Santilli第三方法((30)式)構造Whittaker方程

的Birkhoff動力學函數(shù)B和Rμ.

令

則系統(tǒng)((32)式)可表示為如下一階標準形式:

可求得系統(tǒng)全部獨立的第一積分為

將(35)式代入(30)式得

具體計算得Birkhoff函數(shù)組Rμ為

Birkhoff函數(shù)B為

容易驗證(37)式和(38)式是所需的B和Rμ,而且與用原Santiili第三方法算得的結果一致[9].

4.3.3 Santilli第三方法的MATLAB程序化計算

應用Santilli第三方法進行具體計算時,對于變量較多的系統(tǒng)必然會遇到以下問題:

2)若選取另外一組Gα,則要重復上述計算;

3)當驗證B和Rμ是否滿足Birkhoff方程((4)式)和關系式((24)式)時計算量大.

解決上述問題的有效途徑自然是將計算過程程序化,這將帶來如下便利:

1)消除計算量大帶來的耗時、易出錯、驗證困難等問題;

2)可選取多組不同的Gα得到多組不同的B和Rμ,從中選出相對簡單或具有物理意義的一組,這比利用規(guī)范變換簡化B和Rμ容易得多.

為具體討論Santilli第三方法的MATLAB程序化計算,首先繪制計算流程圖,如圖1所示.

圖1 Santilli第三方法MATLAB計算流程圖Fig.1.Flow diagram of MATLAB program of the Santilli’s third method.

A)計算流程圖

B)Santilli第三方法的矩陣形式及程序語句

下面根據(jù)流程圖考慮程序化的具體實現(xiàn).首先,將Santilli第三方法轉換成MATLAB易于處理的矩陣形式;其次,將涉及到偏導數(shù)運算的各項用求Jacobi矩陣的方法代替,進而得到(12)式和Birkhoff張量?μν的MATLAB符號表示(詳見表1),據(jù)此可以編寫出具體的程序命令,并組合成完整的M文件;最后,在C)部分給出應用實例.

C)應用實例

例2已知如下約束力學系統(tǒng):

令

則系統(tǒng)((39)式)的一階標準形式為

試用MATLAB構造系統(tǒng)的Birkhoff表示.

首先,計算函數(shù)B和Rμ.利用B)部分的程序模板,在M文件中編寫相應的語句,運行后返回系統(tǒng)的第一積分為

Birkhoff函數(shù)B和Rμ計算結果如表2所示.

表1 (15)式的張量形式及其MATLAB符號表示Table 1.The tensor form of Eq.(15)and its MATLAB symbol.

表2 函數(shù)B和Rμ的MATLAB計算結果Table 2.The calculation results of B and Rμ of Birkhoff’s functions by MATLAB.

表2中第一組值是取G1=I2,G2=I5,G3=0,G4=0,G5=0得到的,第二組值是取G1=I2,G2=0,G3=I1,G4=I5,G5=0得到的.第一組結果比第二組結果更為簡單,但第二組的Birkhoff函數(shù)B具有能量的意義.對應于第一組G值的Birkhoff張量?μν為

若選取其他不同的G值,則可以得到不同的B和Rμ以及Birkhoff張量?μν.由本例的求解可以看出,Santilli第三方法的程序化計算,有效提高了計算效率和準確率.

5 結 論

作為Hamilton力學的推廣,Birkhoff力學的發(fā)展一方面為完整非保守系統(tǒng)逆問題的研究提供了恰當?shù)睦碚摽蚣?另一方面也為Hamilton系統(tǒng)保結構計算的推廣奠定了理論基礎.開展Birkhoff動力學函數(shù)構造方法的研究,對于應用變分法理論、幾何結構分析以及幾何數(shù)值積分方法處理完整非保守系統(tǒng)的力學問題具有重要意義.

本文在命題1中證明了自治系統(tǒng)總有自治Birkhoff表示的結論,需要說明的是,這個自治Birkhoff表示并不一定是正規(guī)的.于是,自治系統(tǒng)是否總存在正規(guī)的自治Birkhoff表示,成為一個有待進一步研究的問題.命題2關于簡化的Santilli第二方法的證明,比文獻[17]中的方法簡潔得多.研究這一問題的意義在于:簡化的Santilli第二方法讓我們認識到,通過求解Birkhoff動力學函數(shù)來確定Birkhoff方程,等同于確定它的辛矩陣.這種觀點為研究Birkhoff動力學函數(shù)的構造方法提供了新視角.通過命題3所建立的函數(shù)B和Rμ之間的等量關系,定義了Santilli第三方法的新形式,再結合MATLAB程序化計算提高了Santilli第三方法的計算效率.

如何將物理學、力學、工程科學等領域中更多的動力學系統(tǒng)納入Birkhoff系統(tǒng)？這是一個具有基本意義的研究課題,愿能引起更多研究者的關注.

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