姚海祥，魏嘉輝，馬慶華

（廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院，廣東 廣州 510006）

一、引 言

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，醫(yī)療水平不斷提高，人口預(yù)期壽命也變得越來(lái)越長(zhǎng)。2016年中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒顯示，在過(guò)去的30多年間，中國(guó)人口預(yù)期壽命從1981年的67.77歲增長(zhǎng)到了2015年的76.34歲。在國(guó)務(wù)院發(fā)布的《國(guó)家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》中，更是預(yù)測(cè)了在2030年，中國(guó)人口預(yù)期壽命將達(dá)到79歲。預(yù)期壽命的延長(zhǎng)加劇了中國(guó)的人口老齡化現(xiàn)狀，并給中國(guó)的養(yǎng)老事業(yè)帶來(lái)了越來(lái)越大的壓力。殷俊等（2012）曾建立了養(yǎng)老金精算模型，估算中國(guó)養(yǎng)老金未來(lái)90年的收入和支出水平，認(rèn)為在過(guò)去的養(yǎng)老保險(xiǎn)政策下也許難以實(shí)現(xiàn)養(yǎng)老金收支的平衡。為了緩解長(zhǎng)壽帶來(lái)的養(yǎng)老金支付壓力，目前中國(guó)正擬出臺(tái)延遲退休政策來(lái)應(yīng)對(duì)壽命延長(zhǎng)導(dǎo)致的人口老齡化問(wèn)題。

圖 1 中國(guó)人口預(yù)期壽命延長(zhǎng)情況（1981—2015年）

是否應(yīng)該延遲退休，仍然存在很多爭(zhēng)議。贊成者一般認(rèn)為延遲退休能夠增加勞動(dòng)力的供給，提高社會(huì)的產(chǎn)出，由此給老年生活提供更多的保障。Lacomba和Lagos（2006）認(rèn)為，延遲退休在一定程度上也許能夠提高勞動(dòng)力的供給水平，同時(shí)提高養(yǎng)老金的收入，進(jìn)而緩解長(zhǎng)壽帶來(lái)的養(yǎng)老壓力。Kalwij等（2010）使用OECD中22個(gè)國(guó)家從1960?2008年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)老年人就業(yè)與年輕人不存在替代的關(guān)系。林寶（2014）在考慮實(shí)際的就業(yè)狀況和保障機(jī)制后，提出了具體的延遲退休方案，并測(cè)算了延遲退休將有效改善職工養(yǎng)老保險(xiǎn)資金的平衡狀況。但也有相當(dāng)一部分學(xué)者認(rèn)為，延遲退休并不一定能緩解長(zhǎng)壽帶來(lái)的養(yǎng)老壓力。Michello和Ford（2006）認(rèn)為美國(guó)提出的延遲退休政策和提出的降低失業(yè)率的目標(biāo)是相矛盾的。Casamatta和Paoli（2012）通過(guò)對(duì)不同行業(yè)的失業(yè)率、人均壽命和法定退休年齡進(jìn)行比較，模擬出了最優(yōu)的退休年齡，并發(fā)現(xiàn)現(xiàn)行的退休年齡下的失業(yè)率會(huì)比延遲退休后的更低。張熠（2011）建立了連續(xù)時(shí)間養(yǎng)老金收支模型，考察延遲退休對(duì)養(yǎng)老金余額的影響，提出了延遲退休年齡是由很多復(fù)雜因素決定的，而延遲退休不一定能減輕政府在養(yǎng)老保險(xiǎn)方面的負(fù)擔(dān)。陽(yáng)義南等（2014）構(gòu)建了關(guān)于養(yǎng)老金的期望精算現(xiàn)值模型，通過(guò)賦值模擬計(jì)算不同退休年齡能得到的具體養(yǎng)老金，結(jié)果發(fā)現(xiàn)延遲退休可能減少也可能增加養(yǎng)老金給付，主要取決于參保人的性別和參保年齡。Weller（2006）、Aubert和Duc（2013）出于公平性的考慮，認(rèn)為延遲退休可能會(huì)不利于不同群體之間的收入再分配?？偟膩?lái)說(shuō)，退休行為由很多復(fù)雜的因素決定，是否應(yīng)該延遲退休，如何延遲退休，仍然存在很大的爭(zhēng)議。

然而，從國(guó)際對(duì)比的角度來(lái)看，按照中國(guó)目前的人口預(yù)期壽命，現(xiàn)行的法定退休年齡處于世界上的低水平。世界上大多數(shù)國(guó)家都通過(guò)法律規(guī)定了退休的年齡，從2013年世界銀行HDNSP養(yǎng)老金數(shù)據(jù)庫(kù)中可以得到151個(gè)國(guó)家的法定退休年齡和各國(guó)人口預(yù)期壽命的樣本。①限于篇幅，這里不貼出具體據(jù)?？梢宰孕胁殚喪澜玢y行據(jù)庫(kù)http://web.worldbank.org，其中各國(guó)法定退休年齡據(jù)更新至從樣本中發(fā)現(xiàn)，男性最低平均退休年齡為61歲，女性最低平均退休年齡為59歲；男性平均預(yù)期壽命為69歲，女性平均預(yù)期壽命為74歲。而根據(jù)2016中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒，中國(guó)男性平均預(yù)期壽命為73.64，女性平均預(yù)期壽命為79.43；男性最低退休年齡為60歲，女性最低退休年齡為50歲?？梢杂闷骄ǘㄍ诵菽挲g與預(yù)期壽命的比值來(lái)衡量法定退休年齡的高低：

由表1可見(jiàn)，無(wú)論是男性還是女性，中國(guó)最低退休年齡和預(yù)期壽命之比均低于國(guó)際水平。利用以上數(shù)據(jù)作單變量回歸，令RAM表示男性退休年齡，RAF表示女性退休年齡，LEM表示男性預(yù)期壽命，LEF表示女性預(yù)期壽命。由此可以分別得到：

從回歸結(jié)果看，在國(guó)際上這種人口預(yù)期壽命和法定退休年齡的線性關(guān)系下，中國(guó)男性退休年齡應(yīng)為62.37歲，女性退休年齡應(yīng)為60.49歲。實(shí)際上，目前已經(jīng)有部分國(guó)家直接或間接地建立起了人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機(jī)制。例如，丹麥以保持退休后剩余的壽命為基礎(chǔ)，隨著預(yù)期壽命的變化而調(diào)整法定退休年齡；英國(guó)則以保持養(yǎng)老金繳費(fèi)年數(shù)和領(lǐng)取年數(shù)不變的原則來(lái)調(diào)整退休年齡。所以，有部分專家學(xué)者認(rèn)為可以參考和借鑒國(guó)外的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，建立人口預(yù)期壽命和法定退休年齡之間的調(diào)節(jié)機(jī)制。王曉軍等（2015）參照國(guó)際法定退休年齡和人口預(yù)期壽命數(shù)據(jù)，通過(guò)實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)，人口預(yù)期壽命和法定退休年齡是正相關(guān)的，并認(rèn)為國(guó)際上的退休經(jīng)驗(yàn)值得我們參考和借鑒。綜上所述，我國(guó)是否也應(yīng)該建立這種預(yù)期壽命和退休年齡之間的彈性調(diào)整機(jī)制，由此看來(lái)具有非常高的研究?jī)r(jià)值。

表 1 最低法定退休年齡與預(yù)期壽命的比值

本文的研究基于交疊世代模型（Overlapping generations model，OLG）。交疊世代模型最初由Samuelson（1958）提出，之后由Diamond（1965）擴(kuò)展為跨期動(dòng)態(tài)模型，是基于一般均衡的框架，考察微觀主體行為對(duì)整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)的影響，非常適合用來(lái)研究退休的相關(guān)問(wèn)題。目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有很多文獻(xiàn)使用了交疊世代模型來(lái)分析養(yǎng)老保險(xiǎn)政策的問(wèn)題。在經(jīng)典形式的兩期交疊世代模型上，Casamatta（2000）研究了存在不同個(gè)體勞動(dòng)生產(chǎn)率的交疊世代模型。楊再貴（2008）分析了交疊世代模型中各參數(shù)對(duì)養(yǎng)老金余額以及各期消費(fèi)和效用的影響，研究認(rèn)為養(yǎng)老金個(gè)人繳費(fèi)由于對(duì)儲(chǔ)蓄有完全替代的作用，即養(yǎng)老金個(gè)人繳費(fèi)率對(duì)人均資本沒(méi)有影響，而公共養(yǎng)老金繳費(fèi)率的增加會(huì)使人均資本下降。胡仕強(qiáng)等（2011）通過(guò)建立隨機(jī)的交疊世代模型，提出了兩種養(yǎng)老金改革方案，包括無(wú)養(yǎng)老金體制和減少社會(huì)統(tǒng)籌、增加個(gè)人賬戶，并通過(guò)賦值模擬說(shuō)明這兩種方案下都能得出人均資本和長(zhǎng)壽之間的關(guān)系是正相關(guān)的。也有學(xué)者在交疊世代模型中將人力資本因素加入考慮，將其擴(kuò)展成三個(gè)時(shí)期的形式，研究存在內(nèi)生增長(zhǎng)的模型形式。Pecchenino和Pollar（2002）就在基礎(chǔ)的兩期交疊世代模型基礎(chǔ)上加入了對(duì)兒童時(shí)期的人力資本投資，將其擴(kuò)展成了三期模型來(lái)分析人口老齡化問(wèn)題。樂(lè)菡（2016）在交疊世代模型中加入學(xué)習(xí)期，把傳統(tǒng)的兩期模型擴(kuò)展成了三期，并分析研究了養(yǎng)老金發(fā)放水平的影響因素，發(fā)現(xiàn)壽命的延長(zhǎng)會(huì)使個(gè)人養(yǎng)老金發(fā)放水平上升，而公共養(yǎng)老金發(fā)放水平必須減少才能使整個(gè)經(jīng)濟(jì)框架均衡。如果從效用函數(shù)的角度進(jìn)行劃分，交疊世代模型還可以被區(qū)分為利己模型和利他模型。楊丹妮等（2013）在交疊世代模型中嵌入了老一輩人對(duì)年輕一輩人的單方向利他因素，來(lái)研究模型中各變量的關(guān)系。劉慶彬等（2011）在模型中加入了是否贍養(yǎng)老人的不確定性，包括贍養(yǎng)老人的利他形式和不贍養(yǎng)老人的利己形式，來(lái)研究政府是否提供保險(xiǎn)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響?？偠灾?，國(guó)內(nèi)外還有許多文獻(xiàn)利用交疊世代模型研究了養(yǎng)老保險(xiǎn)，這里暫且先不作過(guò)多的論述。

過(guò)去已有部分文獻(xiàn)探討了建立人口預(yù)期壽命和法定退休年齡的調(diào)節(jié)機(jī)制，如王曉軍等（2015），但很少有文獻(xiàn)從理論模型的角度展開(kāi)論證。也有部分文獻(xiàn)利用交疊世代模型研究過(guò)預(yù)期壽命和退休年齡的關(guān)系，但沒(méi)能解出兩者間的具體算法，如曾燕（2013）、康傳坤（2014）。而本文在兩期交疊世代模型的基礎(chǔ)上，加入退休因素，從個(gè)人行為、企業(yè)行為、政府行為、資本市場(chǎng)均衡四個(gè)方面建立整個(gè)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)框架，基于社會(huì)計(jì)劃者的角度，通過(guò)最優(yōu)化求解和賦值模擬的方法，解出人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整算法，并根據(jù)算法給出兩者相應(yīng)的調(diào)整對(duì)照表。根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，建議在2030年前逐步延遲退休年齡至65歲。本文的結(jié)論希望能豐富和發(fā)展交疊世代模型在延遲退休問(wèn)題上的應(yīng)用，同時(shí)在這一問(wèn)題上給予政府一定的參考價(jià)值。

表 2 人口預(yù)期壽命對(duì)退休年齡的單變量線性回歸結(jié)果

二、理論模型

假設(shè)在封閉的經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，存在為數(shù)眾多的企業(yè)、個(gè)人以及唯一的政府。在時(shí)期的設(shè)置上，暫時(shí)不考慮積累知識(shí)或者人力資本的青年期，而假設(shè)個(gè)人一生中只經(jīng)歷兩個(gè)時(shí)期：第一個(gè)時(shí)期是參加工作的中年期，第二個(gè)時(shí)期是工作一段時(shí)間后退休的老年期。通常OLG模型假設(shè)一期約為25～30年，本文令30年為一期，把21～50歲作為中年期，51～80歲作為老年期。同時(shí)，假設(shè)時(shí)期單位相同的中年人單位相同的老年人，并有人口增長(zhǎng)率。

在中年時(shí)期，中年人參與工作獲得工資，并按一定比例繳納養(yǎng)老金后用作消費(fèi)和儲(chǔ)蓄。用C1t表示在t時(shí)期中年人的消費(fèi)，那么中年時(shí)期的消費(fèi)約束可以用下式表示：

其中： wt表示t 時(shí)期的工資，st表示t 時(shí)期的儲(chǔ)蓄，τ表示養(yǎng)老金個(gè)人賬戶繳費(fèi)率。

在老年時(shí)期內(nèi)，個(gè)人存在兩種狀態(tài)，分別是參加工作和退休。假設(shè)沒(méi)有人愿意度過(guò)沒(méi)有工資收入的真空期，都會(huì)堅(jiān)持工作直到法定退休年齡。①本文采用了退休年齡完由政府控制的外生方式建模，而實(shí)際上政府能夠決定的僅為領(lǐng)取退休金的法定退休年齡，而非實(shí)際的退休年齡。這在一定程度上不符合實(shí)際情況。但相信現(xiàn)實(shí)生活中，法定退休年齡是具有一定的指導(dǎo)意義的，這讓大部分人最終選擇在法定的退休年齡退休。設(shè)每個(gè)時(shí)期的時(shí)間為1，從老年期開(kāi)始計(jì)算，退休的時(shí)間為 β，平均存活時(shí)間為 d ，②按照假設(shè)，60 歲退休可以計(jì)算出 β=（60?50）/30=0.3333，73.64 歲的人口期壽命可以計(jì)算出 d=（73.64?50）/30=0.788。換句話說(shuō)，個(gè)人在一生中的平均退休的時(shí)間為 (1+β)，存活的時(shí)間為 (1+d)。按照假設(shè)可以得到個(gè)人一生狀態(tài)的設(shè)置：

圖 2 個(gè)人一生狀態(tài)的設(shè)置

在老年時(shí)期，個(gè)人在退休前會(huì)繼續(xù)參加工作并獲得工資，而退休后不會(huì)有任何工資收入。整個(gè)老年時(shí)期的消費(fèi)需要依靠退休前參加工作的工資收入和積累的儲(chǔ)蓄，以及退休后政府發(fā)放的養(yǎng)老金提供。根據(jù)《國(guó)務(wù)院關(guān)于完善企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的決定》（國(guó)發(fā)[2005]38號(hào)）中的規(guī)定，把政府發(fā)放的養(yǎng)老金分為兩部分：一是個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，由個(gè)人按工資比例繳納；二是公共賬戶養(yǎng)老金，由企業(yè)按工資比例繳納。假設(shè)在中年期，個(gè)人參加工作要按工資比例繳納個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，而在老年期不需要。③在老年時(shí)期，繳納的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金會(huì)在退休后部發(fā)回。按照模型假設(shè)，延遲退休參加工作與實(shí)際退休同屬一個(gè)時(shí)期，不存在利率的回報(bào)，所以這里提前把個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放相抵消了。同時(shí)，中年時(shí)期所積累的儲(chǔ)蓄和繳納的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，在老年時(shí)期領(lǐng)取時(shí)會(huì)獲得一定的利率回報(bào)。另外，為了模型計(jì)算簡(jiǎn)單，假設(shè)老年人死亡之前會(huì)把所有的資源消費(fèi)完。用C2t+1表示老年人在 (t+1)時(shí)期的消費(fèi)。那么按照假設(shè)，老年人的消費(fèi)約束可用下式表示：

其中： rt+1為 (t+1)期的利率，It為t 時(shí)期積累的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，Qt+1為 (t+1)期的公共賬戶養(yǎng)老金。個(gè)人賬戶養(yǎng)老金和儲(chǔ)蓄都存在利率 (1+rt+1)的回報(bào)，而公共賬戶養(yǎng)老金是“現(xiàn)給現(xiàn)付”（pay as you go）的，所以不存在利率的回報(bào)。

假設(shè)個(gè)人一生的效用由中年時(shí)期和老年時(shí)期的消費(fèi)組成，用對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)描述消費(fèi)所獲得的效用，那么個(gè)人一生的效用可以用以下的函數(shù)表示：

其中： θ∈(0,1)表示老年時(shí)期消費(fèi)對(duì)中年時(shí)期的折現(xiàn)系數(shù)。按照以上的假設(shè)條件和分別對(duì)中年時(shí)期與老年時(shí)期預(yù)算約束的討論，結(jié)合式（3）、（4）和（5）構(gòu)建個(gè)人的效用最大化模型。

（一）個(gè)人行為。個(gè)人的目標(biāo)是在中年、老年時(shí)期的預(yù)算約束下實(shí)現(xiàn)效用最大化：

個(gè)人一生效用最大化問(wèn)題實(shí)際上是在預(yù)算約束下個(gè)人如何分配中年消費(fèi) C1t和老年消費(fèi)C2t+1之間的問(wèn)題。不難發(fā)現(xiàn)，個(gè)人只需要通過(guò)控制儲(chǔ)蓄 st即可實(shí)現(xiàn)對(duì)兩種消費(fèi)之間的分配。在式（6）中的效用函數(shù)里對(duì)儲(chǔ)蓄 st求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，容易得到個(gè)人消費(fèi)效用最大化的一階必要條件為：

式（7）表明，一生效用最大化時(shí)，老年時(shí)期的一單位消費(fèi)所得到的效用等價(jià)于 θd(1+rt+1)單位中年時(shí)期消費(fèi)所帶來(lái)的效用。

（二）企業(yè)行為。假設(shè)企業(yè)在完全競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境下生產(chǎn)完全同質(zhì)的產(chǎn)品，該產(chǎn)品可以滿足所有人的消費(fèi)需求，并令其價(jià)格為1。用包含技術(shù)進(jìn)步的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)來(lái)表示企業(yè)的生產(chǎn)行為：

其中： Yt表示t 時(shí)期的總產(chǎn)出，A為 技術(shù)進(jìn)步，Kt為t 期的資本存量，α ∈(0,1)為資本的收入份額。這里，在t 時(shí)期提供勞動(dòng)力的包括當(dāng)期中年人 Nt，還有參加工作的老年人 βNt?1，即在同一個(gè)時(shí)期內(nèi)參加工作的人一共有 (Nt+ βNt?1)。為了模型計(jì)算方便，假設(shè)在同一時(shí)期中，不管是中年人還是老年人，由于處在同一個(gè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，勞動(dòng)所獲得的工資是相等的。即在t時(shí)期里，無(wú)論是中年人還是老年人的工資都是 wt。按照目前的養(yǎng)老保險(xiǎn)政策規(guī)定，企業(yè)要為個(gè)人繳納公共部分養(yǎng)老金，設(shè)繳納的比例為 η，那么企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)可以表示為：

其中：πt表示企業(yè)t 時(shí)期的利潤(rùn)，rtKt表示企業(yè)投入生產(chǎn)所使用資本的成本，(Nt+βNt?1)(1+η)wt為企業(yè)投入生產(chǎn)所需的人力成本。把式（8）代入式（9），可以得到：

為了求解企業(yè)利潤(rùn)最大化，在式（10）中分別對(duì)資本 Kt和人力資源 Nt求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，同時(shí)令 k=Kt

為人均資本，取 M=(1+n+β)/(1+n)，可以得到企業(yè)利潤(rùn)最大化時(shí)的利率和工資：

tNt

這里 rt和 wt是完全競(jìng)爭(zhēng)假設(shè)下資本和勞動(dòng)力的價(jià)格，它們都是關(guān)于t 時(shí)期的人均資本 kt的函數(shù)。從式（11）中可以得到 ?rt/?kt= α(α?1)AM1?αktα?2＜0，說(shuō)明當(dāng)退休年齡不變時(shí)，隨著人均資本的增加，會(huì)有當(dāng)期利率的減少。這是因?yàn)橘Y本和勞動(dòng)力對(duì)生產(chǎn)而言可能存在著替代的關(guān)系，而隨著人均資本的不斷積累，生產(chǎn)過(guò)程中獲得資本會(huì)相對(duì)比較容易，這時(shí)資本的邊際報(bào)酬降低。從式（12）中可以得到 ?wt/?kt=(1?α)αAM?αktα?1/(1+η)＞0，說(shuō)明當(dāng)退休年齡不變時(shí)，隨著人均資本的增加，當(dāng)期的工資是增加的。因?yàn)楫?dāng)人均資本達(dá)到一定的累積量后，企業(yè)獲得資本更加容易，而獲得勞動(dòng)力就會(huì)變得相對(duì)困難，此時(shí)勞動(dòng)力的價(jià)格也就是工資可能就會(huì)提高。

（三）政府行為。在模型中，政府部門(mén)的作用是管理養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放。按照目前我國(guó)養(yǎng)老保險(xiǎn)政策有關(guān)規(guī)定，城鎮(zhèn)居民按一定的工資比例繳納個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，企業(yè)按照一定的工資比例繳納公共賬戶養(yǎng)老金。個(gè)人賬戶養(yǎng)老金由個(gè)人在工作時(shí)繳納，退休后再發(fā)放。而公共養(yǎng)老金是“現(xiàn)給現(xiàn)付”的，由當(dāng)期的中年人和還在參加工作的老年人繳納給當(dāng)期已經(jīng)退休的老年人。

η

公共部分養(yǎng)老金由當(dāng)期參加工作的中年人和老年人所在的企業(yè)按工資比例 提供，并平均發(fā)放到每一個(gè)退休后還存活的老年人手中，所以有：

式（14）簡(jiǎn)單變換一下，每一位還存活的老年人平均可以得到的公共賬戶養(yǎng)老金為：

對(duì) Qt+1關(guān)于人均壽命 d 求導(dǎo)，可以得到：

式（16）說(shuō)明，在工資和退休年齡保持不變的前提下，隨著人均壽命的提高，同一時(shí)期內(nèi)退休的老年人數(shù)增加，分配到每一個(gè)老年人手中的公共賬戶養(yǎng)老金就會(huì)減少。此時(shí)，如果政府仍然需要維持原來(lái)的公共養(yǎng)老金發(fā)放水平，就可能會(huì)造成養(yǎng)老金收支的不平衡，出現(xiàn)收不抵支的缺口。

（四）資本市場(chǎng)。Blanchard和Fischer（1988）具體推導(dǎo)了資本市場(chǎng)均衡的條件。假設(shè)資本完全折舊，資本市場(chǎng)均衡要求上一期的總儲(chǔ)蓄構(gòu)成了下一期期初的資本存量，由此可以得出市場(chǎng)均衡條件：

該等式左邊表示 (t+1)時(shí)期的總資本存量，而右邊表示t 時(shí)期的總儲(chǔ)蓄，包括當(dāng)期所有中年人的儲(chǔ)蓄和個(gè)人賬戶養(yǎng)老金。簡(jiǎn)單處理一下式（17），可以得到：

把式（13）代入式（18），可以得到：

式（19）表示個(gè)人儲(chǔ)蓄關(guān)于人均資本的函數(shù)，但由于其中存在兩個(gè)時(shí)間段的人均資本 kt+1和 kt，所以無(wú)法直接得到儲(chǔ)蓄和人均資本之間的影響關(guān)系。接下來(lái)從動(dòng)態(tài)均衡角度考察人均資本收斂條件。

（五）動(dòng)態(tài)均衡。由式（11）?（13）、式（15）和式（19），可分別得到利率 rt+1、中年工資 wt、老年工資 wt+1、個(gè)人賬戶養(yǎng)老金 It、儲(chǔ)蓄 st、公共賬戶養(yǎng)老金 Qt+1關(guān)于人均資本 kt+1與 kt的解析式。把式（11）?（13）、式（15）和式（19）同時(shí)代入一階必要條件式（7）中，可得到關(guān)于人均資本 kt+1和 kt的差分方程：

為了構(gòu)造經(jīng)濟(jì)框架的一般均衡，假設(shè)方程（20）存在唯一、穩(wěn)定且無(wú)振動(dòng)的解，令這個(gè)解為 k，則經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)有t時(shí)期的人均資本和t+1時(shí)期人均資本相等，即 k=k=k。①穩(wěn)態(tài)條件求解過(guò)程略，但備索。即當(dāng)t趨

t+1t向于無(wú)窮時(shí)，人均資本會(huì)收斂至黃金率水平 k。

（六）社會(huì)福利最大化。政府部門(mén)與個(gè)人、企業(yè)部門(mén)不同，是非盈利的機(jī)構(gòu)。除了管理養(yǎng)老金的繳納和發(fā)放外，政府也是養(yǎng)老保險(xiǎn)政策的制定者，可以決定退休年齡，也就是常說(shuō)的社會(huì)計(jì)劃者（Social Planner）。從社會(huì)計(jì)劃者角度出發(fā)，政府的工作是實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利的最大化。取單個(gè)人的一生中效用函數(shù)作為代表性個(gè)體的福利函數(shù)，把從第0代開(kāi)始到第i代人的福利函數(shù)進(jìn)行加總，②其中i趨向于無(wú)窮。加總后得到的為社會(huì)福利函數(shù)，并令其為，那么有：

其中： C20表示社會(huì)上最初代的老年人的消費(fèi)。 ξ∈(0,1)為社會(huì)折現(xiàn)率，表示制定延遲退休計(jì)劃的政府對(duì)各代人的效用的重視程度。把每一期的期初資本存量和當(dāng)期的總產(chǎn)出作為資源約束，那么有第i期的資源約束為：

把式（8）代入式（22），并且進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以有：

假設(shè)社會(huì)計(jì)劃者能夠通過(guò)控制退休年齡進(jìn)而控制穩(wěn)態(tài)下的人均資本存量，從而使社會(huì)福利達(dá)到最大。令社會(huì)福利函數(shù)式（21）在約束條件式（23）的約束下最大化，于式（21）中對(duì)穩(wěn)態(tài)下的人均資本 k求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)為0，得到社會(huì)福利最大化的一階必要條件：①社會(huì)福利最大化求解過(guò)程略，但備索。

i+1

其中：k表示經(jīng)濟(jì)社會(huì)處于穩(wěn)定狀態(tài)下的人均資福利最大化下的穩(wěn)態(tài)人均資本。由于所以穩(wěn)態(tài)下的本存量。式（24）表示存在社會(huì)計(jì)劃者且滿足社會(huì)人均資本存量會(huì)隨著退休年齡的提高而提高。這是因?yàn)殡S著退休年齡的提高，可能使得同一時(shí)期內(nèi)有更多的人參與到工作中去，提高了整個(gè)社會(huì)的產(chǎn)出水平，從而提高了人均的資本存量。

于是，將式（24）代入至式（20）中，可以得到表示人均資本處于動(dòng)態(tài)均衡的方程式：

本文意在得出個(gè)人效用最大化和社會(huì)福利最大化下的最優(yōu)退休年齡，以及人口壽命變化對(duì)最優(yōu)退休年齡的影響。把穩(wěn)態(tài)下的人均資本式（24）代入到穩(wěn)態(tài)下關(guān)于人均資本的方程式（25）中，可以得到穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡的關(guān)系式：

下面通過(guò)比較靜態(tài)分析的方法，考察人口壽命變化對(duì)穩(wěn)態(tài)下的退休年齡的影響，再通過(guò)算法優(yōu)化和賦值模擬的方法，研究人口壽命變化在模型中是如何對(duì)最優(yōu)退休年齡產(chǎn)生影響的。

三、比較靜態(tài)和影響機(jī)制分析

目前對(duì)延遲退休政策是否有效的探討主要集中在延遲退休是否會(huì)對(duì)就業(yè)和工資產(chǎn)生擠出的問(wèn)題上。而本文從社會(huì)福利最大化的角度出發(fā)，通過(guò)計(jì)算得到了穩(wěn)態(tài)下的工資、利率與退休年齡無(wú)關(guān)的結(jié)論。

（一）穩(wěn)態(tài)下的利率、工資與最優(yōu)退休年齡。將穩(wěn)定狀態(tài)下的人均資本式（24）分別代入到利率式（11）與工資式（12）中，可以得到穩(wěn)定狀態(tài)下的利率和工資：其中：分別表示穩(wěn)定狀態(tài)下的利率和工資。從式（27）和式（28）中可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)下，利率和工資只受人口增長(zhǎng)率的影響，與人口預(yù)期壽命和退休年齡都無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，退休年齡的變化并不會(huì)影響穩(wěn)態(tài)水平的利率和工資。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)下的工資和退休年齡無(wú)關(guān)，根據(jù)式（12），可以得到：

當(dāng)退休年齡提高時(shí)，會(huì)使得同一時(shí)期中參加工作的人數(shù)增加，進(jìn)而導(dǎo)致工資下降，此時(shí)經(jīng)濟(jì)會(huì)偏離穩(wěn)態(tài)水平，出現(xiàn)了我們所說(shuō)的擠出效應(yīng)。然而，當(dāng)經(jīng)濟(jì)恢復(fù)到均衡狀態(tài)中，根據(jù)式（24）有：

退休年齡的提高，會(huì)提高穩(wěn)態(tài)下的人均資本水平。由式（12）可知，工資是由人均資本和退休年齡共同決定的。退休年齡的提高會(huì)產(chǎn)生工資下降的趨勢(shì)，但又由于人均資本的提高帶來(lái)了總產(chǎn)出的提高，進(jìn)而增加了企業(yè)對(duì)勞動(dòng)力的需求，又使工資回到了原來(lái)的水平。實(shí)際上本文認(rèn)為，在短時(shí)間內(nèi)，延遲退休的確可能會(huì)產(chǎn)生一定的擠出效應(yīng)。然而從長(zhǎng)期來(lái)看，這種擠出效應(yīng)也許只是暫時(shí)的。當(dāng)經(jīng)濟(jì)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，延遲退休會(huì)提高勞動(dòng)力的供給水平，帶來(lái)更多的產(chǎn)出，增加人均GDP，由此為經(jīng)濟(jì)社會(huì)帶來(lái)更多的就業(yè)機(jī)會(huì)，因此抵消了擠出的效應(yīng)。類似地，Lacomba和Lagos（2006）認(rèn)為長(zhǎng)期以來(lái)延遲退休確實(shí)能增加勞動(dòng)力的供給，而不是擠出就業(yè)和工資。Kalwij等（2010）通過(guò)22個(gè)國(guó)家和40多年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)實(shí)證分析表明，老年人繼續(xù)參加工作并不會(huì)對(duì)年輕人就業(yè)產(chǎn)生擠出，相反甚至可能會(huì)刺激年輕人的就業(yè)。

而對(duì)于穩(wěn)態(tài)下的利率與退休年齡無(wú)關(guān)，從式（11）可以得到：

隨著退休年齡的提高，企業(yè)獲得勞動(dòng)力相對(duì)比較容易，會(huì)出現(xiàn)工資下降的趨勢(shì)，企業(yè)獲得資本相對(duì)會(huì)變得困難，利率出現(xiàn)暫時(shí)上漲的趨勢(shì)。但根據(jù)式（11）可以知道，利率也是由退休年齡和人均資本共同決定的。而根據(jù)式（30），長(zhǎng)期來(lái)看，在經(jīng)濟(jì)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)的過(guò)程中，由于人均資本的提高，可能使企業(yè)獲得資本變得容易，使利率又回復(fù)到了原來(lái)的水平。

所以，總的來(lái)說(shuō)，由于本文考察的是一般均衡的模型框架，存在社會(huì)計(jì)劃者的前提下，當(dāng)退休年齡發(fā)生變化時(shí)，工資和利率的變化可能只是暫時(shí)的，最終將恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)水平。所以得出穩(wěn)態(tài)下工資、利率和退休年齡可能是無(wú)關(guān)的結(jié)論。

（二）人口預(yù)期壽命最優(yōu)退休年齡。化簡(jiǎn)式（26）的穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡，可得以下函數(shù)：

其中系數(shù) e 、f、g 和 h 分別為：

式（32）對(duì)人口預(yù)期壽命 d 求導(dǎo)，由于 e＞0、f ＜0、g ＞0、 h＞0，可以得到：①詳細(xì)證明過(guò)程略，但備索。

即當(dāng) d＞0時(shí)，穩(wěn)態(tài)下的人口預(yù)期壽命與最優(yōu)退休年齡正相關(guān)。類似地，如Zhang等（2001）、康傳坤（2014）、曾燕等（2013）。在其他條件不變的前提下，隨著人口預(yù)期壽命的延長(zhǎng)，退休年齡也會(huì)相應(yīng)地提高，但這種提高并不是無(wú)止境的。由式（34）還可以發(fā)現(xiàn)：

即隨著預(yù)期壽命的延長(zhǎng)，最優(yōu)退休年齡提高的速度是下降的。從式（32）的函數(shù)形式上看，退休年齡 β和人口預(yù)期壽命 d呈現(xiàn)出一種反比例的關(guān)系，當(dāng)預(yù)期壽命趨向于正無(wú)窮的過(guò)程中，穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)退休年齡將會(huì)無(wú)限接近于 e/g。

圖 3 人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機(jī)制

從模型上看，隨著人口預(yù)期壽命的提高，提高退休年齡一方面會(huì)增加個(gè)人一生的收入，由此可進(jìn)行更多的消費(fèi)；另一方面，為了應(yīng)對(duì)人口壽命的延長(zhǎng)，提高退休年齡還能增加勞動(dòng)力的供給，增加社會(huì)上的總產(chǎn)出，并由此增加一個(gè)時(shí)期內(nèi)可消費(fèi)的總資源，實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利的最大化。而當(dāng)預(yù)期壽命縮短時(shí)，人們會(huì)相應(yīng)地減少儲(chǔ)蓄，此時(shí)降低退休年齡，能夠保持人們的儲(chǔ)蓄水平，增加資本存量，使總產(chǎn)出保持較高水平，由此實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利的最大化。所以出現(xiàn)了人口預(yù)期壽命和退休年齡的正相關(guān)關(guān)系。然而，由于老年時(shí)期參加工作所獲得的工資可能大多用于當(dāng)期的消費(fèi)，而不是儲(chǔ)蓄，所以隨著人口預(yù)期壽命的延長(zhǎng)，提高退休年齡的過(guò)程中增加了較多的勞動(dòng)力供給，而形成了較少的資本。當(dāng)勞動(dòng)力供給處于高水平時(shí)，想要通過(guò)繼續(xù)提高退休年齡來(lái)增加社會(huì)產(chǎn)出的效果是較小的，從而一個(gè)時(shí)期內(nèi)可消費(fèi)資源的增加也是較少的。所以，隨著預(yù)期壽命的延長(zhǎng)，模型中最優(yōu)退休年齡的提高幅度是減少的。

從現(xiàn)實(shí)生活中看，由于預(yù)期壽命和退休年齡的不斷提高可能會(huì)持續(xù)增加勞動(dòng)者的財(cái)富，而當(dāng)財(cái)富積累到一定程度時(shí)，僅通過(guò)短期的投資回報(bào)就足夠保障老年消費(fèi)的需要，此時(shí)如果繼續(xù)提高退休年齡，也許只會(huì)因?yàn)檎加瞄e暇而降低效用。所以，這時(shí)候無(wú)論壽命如何延長(zhǎng)，最優(yōu)的退休年齡也不應(yīng)該繼續(xù)提高，而最終可能會(huì)趨向于一個(gè)穩(wěn)定值。另外，本模型中沒(méi)有考慮勞動(dòng)者的身體健康問(wèn)題。如果加入健康因素，建立一個(gè)隨著年齡增長(zhǎng)而減少勞動(dòng)力供給的函數(shù)，可能更能支撐本結(jié)論，出現(xiàn)這樣一個(gè)極限的退休年齡，這也是我們未來(lái)繼續(xù)展開(kāi)研究的方向之一。

四、賦值模擬和退休年齡測(cè)算

式（26）是模型求解出來(lái)的關(guān)于退休年齡的解析式，存在以下參數(shù)：人口預(yù)期壽命 d，資本收入份額 α，個(gè)人效用折現(xiàn)率，公共養(yǎng)老金繳費(fèi)率，個(gè)人養(yǎng)老金繳費(fèi)率，代際折現(xiàn)率 ξ和人口增長(zhǎng)率 n。為了得到關(guān)于人口預(yù)期壽命和退休年齡掛鉤的調(diào)整方法，關(guān)鍵在于如何進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

（一）參數(shù)估計(jì)。

（二）敏感性分析。以上參數(shù)中，資本收入份額和效用折現(xiàn)率難以準(zhǔn)確測(cè)算，有必要分別進(jìn)行敏感性分析。

由表3可見(jiàn)，設(shè)置的資本收入份額越高，最優(yōu)退休年齡越低。一方面，這是因?yàn)楫?dāng)資本收入份額較高時(shí)，個(gè)人的老年消費(fèi)生活會(huì)更依賴資本積累而不是參加工作賺取工資；另一方面，當(dāng)資本收入份額較高時(shí)，社會(huì)總產(chǎn)出更多地由資本提供而非勞動(dòng)力，此時(shí)退休年齡應(yīng)設(shè)置更低。

由表4可見(jiàn)，設(shè)置的效用折現(xiàn)率越高，最優(yōu)退休年齡越高。效用折現(xiàn)

表 3 參數(shù) α敏感性分析

θ率反映了老年時(shí)期的消費(fèi)生活對(duì)中年期的重要程度，當(dāng)效用折現(xiàn)率較高時(shí)，人們會(huì)更加關(guān)注老年時(shí)期的消費(fèi)，此時(shí)提高退休年齡，能獲得更多的收入，保障老年消費(fèi)生活。

表 4 參數(shù) 敏感性分析

（三）人口預(yù)期壽命和退休年齡調(diào)整機(jī)制?；谀Ｐ偷那蠼夂蛥?shù)估計(jì)，下面給出人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，以供政府參考?；谝陨蠀?shù)估計(jì)，得到以下參數(shù)估計(jì)表：

以男性為例，將表5參數(shù)代入至式（26）中，假設(shè)退休年齡為RA，預(yù)期壽命為L(zhǎng)E，通過(guò)換算可以得到人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式：

表 5 參數(shù)賦值表

由式（36）可見(jiàn)，在社會(huì)資源約束下，不考慮健康因素時(shí)，極限退休年齡為204.57歲。實(shí)際上，假如人口預(yù)期壽命不斷延長(zhǎng)，相信老年人的健康狀況也會(huì)變得越來(lái)越好，從而可參加工作的年限也會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于目前。由此，可以得到關(guān)于人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整對(duì)照表：

表 6 人口預(yù)期壽命和退休年齡調(diào)整對(duì)照表

《國(guó)家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》預(yù)測(cè)中國(guó)2030年人口預(yù)期壽命達(dá)到79歲。根據(jù)本模型的結(jié)論，建議在2030年前根據(jù)壽命的延長(zhǎng)逐步延遲退休年齡至65歲。

五、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)造成的福利損失

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)是指由于無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)期到自己未來(lái)的壽命，而可能無(wú)法做出保障老年生活的最優(yōu)決策的風(fēng)險(xiǎn)。下面假設(shè)人口預(yù)期壽命在某一時(shí)期突然延長(zhǎng)，而政府沒(méi)有來(lái)得及根據(jù)上述調(diào)整機(jī)制調(diào)整退休年齡，考察這種情況下可能會(huì)帶來(lái)的損失。

假設(shè)在 t 時(shí)期，人口預(yù)期壽命為73.64歲，即有 d=0.7880，同時(shí)有退休年齡。而時(shí)期的人均預(yù)期壽命延長(zhǎng)至79歲，有 d′=(79?50)/30=0.9667。通過(guò)式（36）可以得到，此時(shí)模型中最優(yōu)的退休年齡應(yīng)該是 β′=0.5016，即65.05歲。將參數(shù)代入至模型中，并分別考慮政府根據(jù)人口預(yù)期壽命變化調(diào)整退休年齡和不調(diào)整退休年齡的情況下，公共賬戶養(yǎng)老金、老年時(shí)期總消費(fèi)、老年時(shí)期平均消費(fèi)和當(dāng)期社會(huì)福利的影響，可以得到：

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不存在人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機(jī)制時(shí)，在保持養(yǎng)老金收支平衡的前提下，由于退休年齡沒(méi)能及時(shí)根據(jù)人口壽命的延長(zhǎng)而調(diào)整，平均發(fā)放的養(yǎng)老金可能會(huì)減少，這使得當(dāng)代人單位時(shí)間的老年消費(fèi)下降幅度相對(duì)較大，進(jìn)而影響消費(fèi)所獲得的效用。如果此時(shí)政府想要維持養(yǎng)老金的發(fā)放水平，則可能導(dǎo)致養(yǎng)老金的收不抵支。而當(dāng)存在人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整機(jī)制時(shí)，由于退休年齡隨著壽命的延長(zhǎng)而提高，一方面增加了老年時(shí)期的收入，另一方面延遲了發(fā)放養(yǎng)老金的時(shí)間，使得老年時(shí)期的平均消費(fèi)下降幅度相對(duì)較小。

根據(jù)表7還可以得到，當(dāng)人口預(yù)期壽命從73.64歲增長(zhǎng)到79(歲時(shí)，如果)不根據(jù)人口預(yù)期壽命而調(diào)整退休年齡(，可能導(dǎo)致老年)人單位時(shí)間得到的養(yǎng)老金減少 Qt+1?(=)0.0351，老年人單位時(shí)間的消費(fèi)減少 (C2t+1?C2bt+1)/dt+1=0.0302，最終可能使社會(huì)福利減少 Ut?=0.0607。然而，本文在賦值模擬時(shí)為了得到某些參數(shù)，假設(shè)了當(dāng)前退休年齡就是最優(yōu)的退休年齡，但事實(shí)上，連祥卿（1990）就已經(jīng)提及延遲退休的政策建議。20多年以來(lái)，人口預(yù)期壽命已經(jīng)從1990年的68.55歲延長(zhǎng)至了目前的76.34歲，而法定退休年齡卻沒(méi)有作出相應(yīng)調(diào)整，長(zhǎng)時(shí)間的討論和研究可能已經(jīng)導(dǎo)致了社會(huì)福利的損失。

六、結(jié)論與政策啟示

本文在兩期交疊世代模型的基礎(chǔ)上，加入退休因素，在市場(chǎng)完全競(jìng)爭(zhēng)、充分就業(yè)和政府能夠控制退休年齡的假設(shè)前提下，從社會(huì)計(jì)劃者的角度，研究了經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)態(tài)水平時(shí)人口預(yù)期壽命變化和退休年齡之間的函數(shù)關(guān)系。分析結(jié)果顯示，人口預(yù)期壽命與社會(huì)福利最大化下的退休年齡可能是正相關(guān)的，并且呈現(xiàn)出負(fù)反比例函數(shù)的形式。同時(shí)，使用賦值模擬和參數(shù)估計(jì)的辦法，計(jì)算出了人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，并由此給出了兩者的調(diào)整對(duì)照表。最后通過(guò)反事實(shí)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)如果不建立人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機(jī)制，突然的預(yù)期壽命變化可能造成社會(huì)福利損失。

基于研究的結(jié)論，本文建議政府建立人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機(jī)制。同時(shí)，根據(jù)《國(guó)家人口發(fā)展規(guī)劃（2016?2030年）》中預(yù)測(cè)的人口預(yù)期壽命，在2030年前逐步將退休年齡延長(zhǎng)至65歲。本文認(rèn)為，人口預(yù)期壽命延長(zhǎng)將給老年人的生活帶來(lái)一定的壓力。而根據(jù)人口預(yù)期壽命對(duì)退休年齡作出適當(dāng)?shù)卣{(diào)整也許能夠提高老年人每年獲得的養(yǎng)老金水平，進(jìn)而緩解老年的消費(fèi)壓力。實(shí)際上，世界上已有很多國(guó)家建立起了退休年齡與平均預(yù)期壽命之間直接或間接的機(jī)制，中國(guó)可以學(xué)習(xí)和借鑒國(guó)際上的這種經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合我國(guó)實(shí)際情況，制定適合我國(guó)未來(lái)人口壽命變化趨勢(shì)的養(yǎng)老保險(xiǎn)政策。

本文還存在一些不足之處。首先，本文模型的構(gòu)建基于退休年齡由政府決定的假設(shè)，實(shí)際上個(gè)人是可以自由決定退休的，無(wú)法決定的只是養(yǎng)老金的發(fā)放時(shí)間，這在一定程度上不符合實(shí)際情況。但相信現(xiàn)實(shí)生活中，法定退休年齡是具有一定指導(dǎo)意義的，這讓大部分人最終選擇在法定的退休年齡退休，而非提前幾年或推遲幾年，因?yàn)楹芏嗳藶榱吮ｋU(xiǎn)起見(jiàn)，不愿意度過(guò)完全沒(méi)有工資收入的真空期。而法定退休年齡的指導(dǎo)作用到底有多大，相信會(huì)是另一個(gè)值得研究的方向。其次，本文沒(méi)有考慮勞動(dòng)者的身體健康情況，勞動(dòng)者的身體情況將影響實(shí)際的勞動(dòng)力供給，進(jìn)而會(huì)對(duì)人口預(yù)期壽命和退休年齡之間的調(diào)整機(jī)制產(chǎn)生影響。第三，本文通過(guò)賦值模擬的方法測(cè)算出了人口預(yù)期壽命和退休年齡的調(diào)整公式，但參數(shù)估計(jì)過(guò)程中部分參數(shù)存在一定的量化困難，由此得到的調(diào)整算法的準(zhǔn)確性還有待進(jìn)一步檢驗(yàn)。以上不足之處也將是我們未來(lái)繼續(xù)研究的方向。

表 7 人口預(yù)期壽命延長(zhǎng)對(duì)經(jīng)濟(jì)的沖擊

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