王海濤, 彭 倩, 張烈輝, 郭晶晶, 聶 權(quán)

( 1. 西南石油大學(xué) 油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610500； 2. 西南油氣田公司 蜀南氣礦,四川 瀘州 646000 )

0 引言

隨常規(guī)油氣資源開采趨緊,包括頁(yè)巖氣在內(nèi)的非常規(guī)資源的開發(fā)逐漸成為研究的熱點(diǎn)[1-6]。頁(yè)巖氣藏作為自生自儲(chǔ)式氣藏[7],無論是在成藏機(jī)理、賦存方式方面,還是在滲流機(jī)理、滲流特征方面,都與常規(guī)氣藏差異較大。頁(yè)巖基質(zhì)孔隙的大小從納米到微米,頁(yè)巖氣賦存狀態(tài)包括游離態(tài)、吸附態(tài)和溶解態(tài),在頁(yè)巖中具有多重運(yùn)移機(jī)制：吸附—解吸、擴(kuò)散、滲流等[8-9]。人們研究頁(yè)巖氣藏不穩(wěn)定試井問題,建立多種動(dòng)態(tài)模型[10-16],促進(jìn)頁(yè)巖氣滲流理論的發(fā)展。其中壓力和產(chǎn)量動(dòng)態(tài)模型幾乎沒有考慮氣體在近井地帶滲流規(guī)律的變化,因此很難準(zhǔn)確地描述氣體的滲流特征。頁(yè)巖儲(chǔ)層壓裂實(shí)踐表明,受剪切和滑移效應(yīng)影響,頁(yè)巖儲(chǔ)層壓裂時(shí)形成的不再是有限的數(shù)條壓裂縫,而是縱橫交錯(cuò)的裂縫網(wǎng)絡(luò)。在近井地帶縫網(wǎng)改造區(qū),受裂縫網(wǎng)絡(luò)的高導(dǎo)流能力及過流斷面面積劇減的雙重作用影響,可能出現(xiàn)非達(dá)西效應(yīng)。在綜合考慮吸附—解吸、擴(kuò)散、非達(dá)西滲流(內(nèi)區(qū))和達(dá)西滲流(外區(qū))等運(yùn)移機(jī)制的基礎(chǔ)上,筆者建立更接近實(shí)際生產(chǎn)的頁(yè)巖氣藏試井解釋模型,并采用半解析法對(duì)模型進(jìn)行求解。

1 非達(dá)西滲流

在對(duì)頁(yè)巖儲(chǔ)層壓裂時(shí),受剪切滑移作用影響,在壓裂改造區(qū)形成的不再是有限條人工裂縫,而是縱橫交錯(cuò)的裂縫網(wǎng)絡(luò)。在近井地帶縫網(wǎng)改造區(qū),裂縫網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)流能力極高,加之近井區(qū)過流斷面面積急劇減小,導(dǎo)致流體流動(dòng)時(shí)流速過高,偏離達(dá)西滲流規(guī)律。

有關(guān)非達(dá)西滲流研究多基于兩種方程。Forchheimer P[17]提出包含速度一次方和平方項(xiàng)的Forchheimer方程(二項(xiàng)式非達(dá)西運(yùn)動(dòng)方程),描述非達(dá)西流動(dòng)現(xiàn)象：

(1)

式中：p為孔隙壓力；L為多孔介質(zhì)長(zhǎng)度；μ為流體黏度；k為儲(chǔ)層滲透率；v為流速；α為非達(dá)西滲流系數(shù)；ρ為流體密度。

Izbash S提出指數(shù)式方程,描述速度與壓力梯度之間的非線性關(guān)系[18]：

(2)

式中：c為滲流系數(shù),與流體及多孔介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)；n為滲流指數(shù),0.5≤n≤1。

指數(shù)式方程是通過實(shí)驗(yàn)和工程實(shí)踐總結(jié)出來,雖然不像二項(xiàng)式非達(dá)西運(yùn)動(dòng)方程那樣有明確的力學(xué)意義,但是從數(shù)值特征上描述流體速度變化的全過程,且形式簡(jiǎn)單,便于推導(dǎo)應(yīng)用,因此文中采用指數(shù)式方程表達(dá)非達(dá)西滲流現(xiàn)象。

2 物理模型

圖1 考慮多重機(jī)制的雙區(qū)復(fù)合頁(yè)巖氣藏模型

Fig.1 Schematic of a composite model in shale gas reservoirs with consideration of multiple migration mechanisms

考慮的頁(yè)巖氣藏滲流物理模型見圖1。根據(jù)由縫網(wǎng)壓裂等導(dǎo)致的孔滲物性差異,將頁(yè)巖氣藏的流動(dòng)區(qū)域分為內(nèi)區(qū)(1區(qū))和外區(qū)(2區(qū))。

基本假設(shè)：

(1)內(nèi)區(qū)半徑為R,外區(qū)考慮無限大外邊界；

(2)氣層厚度為h,氣藏中各處原始地層壓力為pi；

(3)內(nèi)區(qū)服從非達(dá)西滲流,外區(qū)服從達(dá)西滲流,且存在吸附—解吸和擴(kuò)散效應(yīng)；

(4)頁(yè)巖氣吸附—解吸滿足Langmuir吸附方程,擴(kuò)散滿足Fick第一擴(kuò)散定律；

(5)氣井以定產(chǎn)量qsc生產(chǎn),忽略重力和毛細(xì)管力。

3 數(shù)學(xué)模型

借鑒Ikoku-Ramey對(duì)非牛頓流體滲流時(shí)的處理方法[19],擴(kuò)展至高速非達(dá)西滲流：

(3)

(4)

式中：rw為井眼半徑；psc為地面標(biāo)況壓力；T為氣藏溫度；Zi為原始條件下的天然氣偏差因數(shù)；Tsc為地面標(biāo)況溫度。

式(3)實(shí)際上是將非達(dá)西滲流時(shí)慣性阻力的影響等效為表觀滲透率k1a的變化：地層近井地帶流速大,慣性阻力大,表觀滲透率與地層本身滲透率(達(dá)西滲透率)相比下降幅度也大,因此表觀滲透率小；反之,逐漸遠(yuǎn)離井壁時(shí),地層滲流速度變小,慣性阻力變小,表觀滲透率與地層本身滲透率相比下降幅度變小。假設(shè)在非達(dá)西滲流區(qū)域的外邊界(內(nèi)、外區(qū)的銜接面),非達(dá)西效應(yīng)非常微弱,表觀滲透率非常接近于地層本身滲透率：

(5)

其他無因次變量定義為

無因次擬壓力

無因次時(shí)間

流度比

儲(chǔ)容比

聯(lián)立質(zhì)量守恒方程、狀態(tài)方程和指數(shù)式方程,經(jīng)過擬壓力化及無因次化,得到無因次復(fù)合頁(yè)巖氣藏內(nèi)區(qū)滲流微分方程：

(6)

聯(lián)立質(zhì)量守恒方程、狀態(tài)方程、運(yùn)動(dòng)方程、Langmuir等溫吸附方程,經(jīng)過擬壓力化及無因次化,得到無因次復(fù)合頁(yè)巖氣藏外區(qū)滲流微分方程[16,20]：

(7)

其他定解條件：

m1D|tD=0=0,

(8)

m2D|tD=0=0,

(9)

(10)

m2D(∞,tD)=0,

(11)

m1D|rD=RD=m2D|rD=RD,

(12)

(13)

式(6-13)構(gòu)成完整的考慮高速非達(dá)西滲流、達(dá)西滲流、吸附—解吸、擴(kuò)散等機(jī)制作用的復(fù)合頁(yè)巖氣藏試井?dāng)?shù)學(xué)模型。

式(6)經(jīng)過Laplace變換后將變?yōu)棣噪A虛宗量貝塞爾方程,在Laplace空間的通解[19]為

(14)

式(7)經(jīng)過Laplace變換后將變?yōu)榱汶A虛宗量貝塞爾方程,在Laplace空間的通解為

(15)

利用邊界條件式(10-13),可以確定式(14-15)的4個(gè)未知數(shù),計(jì)算井底壓力需要確定系數(shù)A1和B1。為了簡(jiǎn)便起見,只給出井底壓力解及必要的A1和B1的表達(dá)式：

(16)

若考慮井筒儲(chǔ)集效應(yīng)和表皮效應(yīng),則關(guān)系式[21-22]為

(17)

式中：S為表皮因數(shù)；CD為井儲(chǔ)因數(shù)。

4 模擬結(jié)果

4.1 典型曲線特征

考慮非達(dá)西效應(yīng)等多重運(yùn)移機(jī)制的復(fù)合頁(yè)巖氣藏試井典型曲線見圖2,其中曲線參數(shù)CD=20,S=2.5,RD=300,M12=3,ω12=1.2,n=0.7。

根據(jù)曲線的形態(tài),可劃分流動(dòng)階段：(1)純井筒儲(chǔ)集影響階段。該階段雙對(duì)數(shù)壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線合二為一,呈斜率為1的直線,表明受續(xù)流段的影響。(2)過渡階段。該階段是從純井筒儲(chǔ)集效應(yīng)向內(nèi)區(qū)徑向流階段的過渡,導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)“駝峰”。(3)內(nèi)區(qū)徑向流階段。該階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線逐漸下降,原因是逐漸遠(yuǎn)離井筒時(shí),慣性阻力逐漸減小,內(nèi)區(qū)表觀滲透率逐漸增大。(4)內(nèi)區(qū)徑向流向外區(qū)徑向流的過渡階段。由于內(nèi)外區(qū)流度比M12>1,表明外區(qū)物性差,導(dǎo)數(shù)曲線上升。(5)外區(qū)徑向流階段。由于內(nèi)外區(qū)流度比M12=3>1,表明外區(qū)物性差,壓力導(dǎo)數(shù)曲線上升一個(gè)臺(tái)階后呈一條水平直線。

另外,為進(jìn)行對(duì)比,假設(shè)滲流指數(shù)取為一個(gè)趨近于1的數(shù),如n=0.999 9,流度比M12=1,儲(chǔ)容比ω12=1,可以模擬內(nèi)、外區(qū)為達(dá)西流的均質(zhì)氣藏的情形,并將它與傳統(tǒng)的均質(zhì)氣藏模型進(jìn)行對(duì)比(見圖3)。由圖3可以看出,兩種模型計(jì)算的試井曲線基本重合,驗(yàn)證文中復(fù)合頁(yè)巖氣藏試井模型的正確性。

4.2 敏感性分析

4.2.1 滲流指數(shù)

不同滲流指數(shù)n時(shí)復(fù)合頁(yè)巖氣藏的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖4。由圖4可看出,滲流指數(shù)對(duì)壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線有較大的影響：n越大,越趨近于達(dá)西滲流,過渡段和內(nèi)區(qū)徑向流段的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低,表明達(dá)西滲流比非達(dá)西滲流消耗更少的能量。

4.2.2 內(nèi)區(qū)半徑

不同內(nèi)區(qū)半徑RD時(shí)復(fù)合頁(yè)巖氣藏的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖5。由圖5可看出：RD越大,內(nèi)區(qū)非達(dá)西滲流段持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng),外區(qū)達(dá)西徑向流段出現(xiàn)時(shí)間越晚。

4.2.3 內(nèi)外區(qū)流度比

不同內(nèi)外區(qū)流度比M12時(shí)復(fù)合頁(yè)巖氣藏的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖6。由圖6可看出,導(dǎo)數(shù)曲線在“凹子”最深處向上抬升,然后逐漸變得平緩,形成另一條徑向流水平線(外區(qū)徑向流)。原因是壓力波從內(nèi)區(qū)傳播到達(dá)外區(qū)后,外區(qū)的滲透性變差,從而導(dǎo)致壓力損失加大。M12越大,壓力導(dǎo)數(shù)曲線抬升幅度越大。

圖2 復(fù)合頁(yè)巖氣藏的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.2 Pressure and pressure derivative responses of composite shale gas reservoirs

圖3 文中簡(jiǎn)化模型與傳統(tǒng)模型曲線

Fig.3 Comparison of transient pressure responses calculated by the reduced form of the proposed model in this paper and the typical model

圖4 滲流指數(shù)對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.4 Effect of seepage index on transient pressure behavior

圖5 內(nèi)區(qū)半徑對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.5 Effect of inner region radius on transient pressure behavior

4.2.4 儲(chǔ)容比

不同儲(chǔ)容比ω12時(shí)復(fù)合頁(yè)巖氣藏的的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖7。由圖7可看出,改變儲(chǔ)容比ω12,內(nèi)外區(qū)過渡段后期出現(xiàn)峰值不同的小“駝峰”,ω12越大,“駝峰”的峰值越大。

圖6 流度比對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響

Fig.6 Effect of Mobility ratio between inner region and outer region on transient pressure behavior

圖7 儲(chǔ)容比對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.7 Effect of storativity ratio on transient pressure behavior

4.2.5 擴(kuò)散系數(shù)

不同擴(kuò)散系數(shù)D時(shí)復(fù)合頁(yè)巖氣藏的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖8,其中k1=2×10-18m2,k2e=0.001×10-18m2,μ1=μ2=2×10-5Pa·s,φ1=0.04,φ2=0.02,ct1=ct2=3×10-8Pa-1,Ti=383K,Tsc=293 K,psc=105Pa,pL=2×107Pa,pi=3×107Pa,Zi=0.91。由圖8可看出,D越大,外區(qū)徑向流壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低。原因是隨擴(kuò)散系數(shù)的增大,外區(qū)等效滲透性變好,導(dǎo)致壓力損失減小。

4.2.6 Langmuir吸附體積

在其他參數(shù)不變的情況下,不同Langmuir吸附體積VL時(shí)的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖9,其中k1=2×10-18m2,k2e=0.001×10-18m2,μ1=μ2=2×10-5Pa·s,φ1=0.04,φ2=0.02,ct1=ct2=3×10-8Pa-1,Ti=383 K,Tsc=293 K,psc=105Pa,pL=2×107Pa,pi=3×107Pa,Zi=0.91。由圖9可以看出,改變VL,內(nèi)外區(qū)過渡段后期出現(xiàn)峰值不同的小“駝峰”,VL越大,小“駝峰”位置越低,即與儲(chǔ)容比ω12的影響結(jié)果相反。

圖8 擴(kuò)散系數(shù)對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.8 Effect of diffusion coefficient on transient pressure behavior

圖9 Langmuir吸附體積對(duì)復(fù)合頁(yè)巖氣藏壓力響應(yīng)特征曲線的影響Fig.9 Effect of Langmuir volume on transient pressure behavior

井儲(chǔ)因數(shù)CD與表皮因數(shù)S對(duì)典型曲線的影響與達(dá)西流的相同[23-25],不再贅述。

5 結(jié)論

(1)建立考慮非達(dá)西滲流的復(fù)合頁(yè)巖氣藏試井模型,在采用指數(shù)式方程描述近井地帶非達(dá)西滲流現(xiàn)象同時(shí),還考慮頁(yè)巖氣解吸、擴(kuò)散和滲流運(yùn)移機(jī)制。

(2)采用半解析法對(duì)模型進(jìn)行求解,編程繪制試井典型曲線,并劃分為純井筒儲(chǔ)集影響階段、過渡階段、內(nèi)區(qū)徑向流階段、內(nèi)區(qū)徑向流向外區(qū)徑向流的過渡階段、外區(qū)徑向流階段5個(gè)典型的流動(dòng)階段。

(3)滲流指數(shù)越大,過渡段和內(nèi)區(qū)徑向流段的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低；內(nèi)區(qū)半徑越大,內(nèi)區(qū)非達(dá)西滲流段持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)；內(nèi)外區(qū)流度比越大,外區(qū)徑向流壓力導(dǎo)數(shù)曲線抬升幅度越大；儲(chǔ)容比越大,內(nèi)外區(qū)過渡段后期出現(xiàn)的小“駝峰”的峰值越大；擴(kuò)散系數(shù)越大,外區(qū)徑向流壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越低；Langmuir吸附體積越大,內(nèi)外區(qū)過渡段后期出現(xiàn)的小“駝峰”位置越低。

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