張在房，張佳翔

(上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上?！?00072)

0　引言

機床整機零部件眾多、裝配關(guān)系復(fù)雜，對于數(shù)控機床這類復(fù)雜的整機結(jié)構(gòu)，在優(yōu)化設(shè)計過程中不能建立精確的數(shù)學(xué)模型，優(yōu)化方法仍局限于傳統(tǒng)的設(shè)計方法，其本質(zhì)是工程師根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗，反復(fù)修改結(jié)構(gòu)尺寸，從有限的可行方案組里面選取仿真效果最理想的設(shè)計方案。這種設(shè)計方法不是建立在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，難以保證方案的最優(yōu)性，而且優(yōu)化效率顯然無法滿足現(xiàn)代數(shù)控機床設(shè)計的需要。

近年來，基于響應(yīng)面模型的研究和優(yōu)化設(shè)計方法的研究已經(jīng)成為國內(nèi)外學(xué)界重點研究的課題之一。

1　響應(yīng)面法與集成方法

1.1　哈莫雷斯試驗設(shè)計方法

哈莫雷斯[7](Hammersley)試驗設(shè)計方法屬于蒙特卡洛法的一種，是在哈莫雷斯點的基礎(chǔ)上應(yīng)用隨機采樣的方法。該方法是一種隨機生成均勻樣本的試驗設(shè)計和抽樣方法，也是空間填充試驗研究方法，抽取的樣本數(shù)據(jù)點分布比較均勻，可使樣本均勻地布滿整個設(shè)計空間，而且可以保證所有因素在每個水平上能均勻地應(yīng)用。因此，哈莫雷斯試驗方法能夠用少量的試驗點獲取盡可能多的信息，是一種高效、均衡的試驗設(shè)計方法。

1.2　響應(yīng)面模型的擬合

響應(yīng)面法[8](Response surface methodology，RSM)是以數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造一個明確的函數(shù)表達(dá)式，得到響應(yīng)函數(shù)和約束函數(shù)的響應(yīng)面模型。為了解決機床整機優(yōu)化問題無法通過解析式準(zhǔn)確表達(dá)的困難，選取設(shè)計變量的二階多項式構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)。對于n個設(shè)計變量的情況，變量X與響應(yīng)值Y(X)之間的響應(yīng)面函數(shù)形式為：

式中，X=(x1,x2,…，xn),Xi(i=1,…，n)為設(shè)計變量；y為輸出變量；αo為常數(shù)項，αi為一次項系數(shù)，αii為二次項系數(shù)，αij為未知數(shù)，規(guī)定α的個數(shù)為(n+1)(n+2)/2，α可通過最小二乘回歸法確定。

2　基于多目標(biāo)粒子群算法和協(xié)同優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化策略

在制定優(yōu)化策略時，要求具有較強的全局搜索能力和魯棒性，防止局部收斂，能夠收斂到全局最優(yōu)解集；同時，由于優(yōu)化模型的復(fù)雜性，容易造成計算模式繁雜、學(xué)科分析的響應(yīng)時間過長等問題，此時要求優(yōu)化策略具有較強的局部搜索性，獲取局部最優(yōu)解。粒子群算法的全局搜索性和魯棒性較強、搜索效率高，但對于復(fù)雜的工程問題往往適應(yīng)性較差，很難得到滿意的優(yōu)化結(jié)果。而協(xié)同優(yōu)化算法對實際工程應(yīng)用具有較好的適應(yīng)性，但多維不規(guī)則的設(shè)計空間容易導(dǎo)致計算量較大，求解時間太長。因此結(jié)合這兩種優(yōu)化方法的思想，充分發(fā)揮各單一優(yōu)化算法的優(yōu)點。利用粒子群的全局搜索優(yōu)勢，先采用粒子群算法對整個設(shè)計空間進行全局尋優(yōu)，多次迭代得到全局近似最優(yōu)解集后，將包含近似最優(yōu)解集的設(shè)計空間作為二次優(yōu)化的設(shè)計空間，縮小尋優(yōu)空間范圍，利用協(xié)同優(yōu)化算法在新的設(shè)計空間進行局部優(yōu)化，直至收斂于最優(yōu)解。這種二次優(yōu)化逐次逼近的思想對于高度復(fù)雜的多學(xué)科優(yōu)化問題具有較為突出的表現(xiàn)。具體的優(yōu)化策略流程圖如圖1所示。

圖1　優(yōu)化流程

由于多目標(biāo)粒子群初始優(yōu)化的目的是進行全局搜索，獲取Pareto最優(yōu)解集，其對初始種群要求比較高，因此采用Hammersley[11]抽樣技術(shù)來獲取粒子群算法的初始種群。Hammersley 抽樣技術(shù)是一種準(zhǔn)隨機數(shù)抽樣技術(shù)，它能夠為樣本點提供最佳位置以便于更好的均勻分布。具體的優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2　基于多目標(biāo)粒子群初次優(yōu)化的流程

在初次優(yōu)化的基礎(chǔ)上，對全局設(shè)計空間進行縮小，縮小的空間是包含最優(yōu)解及其附近的局部空間，接著利用協(xié)同優(yōu)化算法在局部空間內(nèi)對問題進行二次優(yōu)化，獲取最優(yōu)設(shè)計方案，驗證優(yōu)化結(jié)果是否滿足約束條件，各項性能是否得到提升。機床整機協(xié)同優(yōu)化與多目標(biāo)粒子群優(yōu)化共用近似模型，不同的是設(shè)計空間。協(xié)同優(yōu)化的流程如圖3所示。

圖3　基于協(xié)同優(yōu)化算法二次優(yōu)化的流程

3　數(shù)控機床整機優(yōu)化

圖4為某型號數(shù)控機床CAD簡化模型，數(shù)控機床主要由床身、立柱、主軸箱、滑臺和工作臺五大核心部件組成。

圖4　數(shù)控機床整機三維簡化模型

3.1　數(shù)控機床優(yōu)化模型的建立

3.1.1數(shù)控機床靜動態(tài)特性

通過有限元分析對數(shù)控機床整機進行靜動態(tài)特性的分析，得到最大形變量和前3階固有頻率。如圖5所示。

(a) 靜載下變形云圖　　(b) 1階模態(tài)振型云圖

(c) 2階模態(tài)振型云圖　　(d) 3階模態(tài)振型云圖圖5　仿真結(jié)果圖

由圖可知機床整機的最大變形為71.396μm，主要發(fā)生在主軸箱的頂部，因此應(yīng)對主軸箱的結(jié)構(gòu)進行進一步優(yōu)化。立柱的前3階固有頻率分別為41.58Hz、54.26Hz、113.42Hz。由于該型號機床的最高設(shè)計轉(zhuǎn)速為5000rpm，機床的激振頻率一般位于前幾階模態(tài)的固有頻率中，故選取前3階固有頻率來表示動態(tài)性能。

表1為仿真結(jié)果與模態(tài)試驗結(jié)果的對比，從結(jié)果來看，仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差在允許的范圍內(nèi)，因此仿真結(jié)果可信度高。

表1　有限元分析與模態(tài)試驗結(jié)果對比

3.1.2設(shè)計變量的確定

對數(shù)控機床整機進行靜態(tài)分析和動態(tài)分析后，發(fā)現(xiàn)整機個別部件的局部存在薄弱環(huán)節(jié)，需要對這些部件進行尺寸調(diào)整以優(yōu)化整機的性能。選取整機的9個主要尺寸作為設(shè)計變量，如表2。

表2　設(shè)計變量

3.2　響應(yīng)面模型的建立

本文基于哈莫雷斯試驗設(shè)計方法抽取60組樣本數(shù)據(jù)，然后利用數(shù)值模擬計算出各組樣本數(shù)據(jù)的響應(yīng)值，如表3所示。

基于設(shè)計變量與響應(yīng)值的結(jié)果，圖6為以質(zhì)量、最大形變量、1階固有頻率、2階固有頻率和3階固有頻率為目標(biāo)函數(shù)做的響應(yīng)面近似模型。

本文采用R2(決定系數(shù))來評價響應(yīng)面的預(yù)測能力，如圖7所示，由圖中可以看出，5個目標(biāo)參數(shù)質(zhì)量、最大形變量、1階模態(tài)頻率、2階模態(tài)頻率和3階模態(tài)頻率的決定系數(shù)分別為0.99997、0.99643、0.99861、0.98618和0.9494。由標(biāo)準(zhǔn)化圖可以看出，預(yù)測值和觀測值也非常吻合。因此，響應(yīng)面模型的總體精度符合要求，可以作為后續(xù)優(yōu)化設(shè)計的計算模型。

表3　設(shè)計變量與響應(yīng)值

圖6　響應(yīng)面近似模型圖

圖7　近似模型精度

基于試驗設(shè)計數(shù)據(jù)的靈敏度分析方法，根據(jù)收集的響應(yīng)數(shù)據(jù)，如圖8做出了設(shè)計變量對質(zhì)量、最大變形量、前3階模態(tài)頻率5個響應(yīng)的靈敏度圖，圖中只標(biāo)注了靈敏度較大的設(shè)計變量。由圖中可知設(shè)計變量對響應(yīng)值影響比較顯著，尤其對最大形變量呈較明顯的負(fù)影響，說明立柱壁厚對整機的剛度起關(guān)鍵作用，而對質(zhì)量、1階固有頻率、2階固有頻率和3階固有頻率呈正影響。設(shè)計變量主軸箱壁厚主要影響前3階模態(tài)頻率。從總體看，設(shè)計變量和對整機的性能影響程度比較明顯。

圖8　變量對響應(yīng)值靈敏度

3.3　優(yōu)化模型與求解結(jié)果

數(shù)控機床整機重量利用數(shù)值模擬計算得出，優(yōu)化的目的是希望機床減重。整機靜態(tài)性能用剛度來衡量，剛度利用某工況載荷下的最大形變量來表示，最大形變量越小表示整機靜態(tài)性能越優(yōu)；根據(jù)分析，利用前3階模態(tài)的固有頻率來衡量整機的動態(tài)性能，一般情況下，希望優(yōu)化后的前3階固有頻率不低于初始設(shè)計方案。本文采用多目標(biāo)粒子群算法和協(xié)同優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化策略進行整機優(yōu)化。初次優(yōu)化將整機優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)多約束問題進行全局優(yōu)化，以數(shù)控機床重量最小、剛度最優(yōu)(形變量最小)、1階固有頻率最大為優(yōu)化目標(biāo)，2階固有頻率低于初始設(shè)計方案，3階固有頻率低于初始設(shè)計方案為約束條件，優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型如下：

minF1(X)=M(X)
F2(X)=c(X)
F3(X)=-f1(X)
s.t.f2(X)≥f20
f3(X)≥f30
X=[x1,x2,…，xh]T

圖9　Pareto最優(yōu)解集

圖9為采用多目標(biāo)粒子群算法進行全局尋優(yōu)得到的Pareto最優(yōu)解集，綠色區(qū)域為最優(yōu)解。由圖中可以看出，優(yōu)化過程中呈現(xiàn)集中化的趨勢，其趨勢表明：一階固有頻率的增加必將導(dǎo)致整機質(zhì)量的增加和最大形變量的增加，即優(yōu)化目標(biāo)之間相互矛盾，因此有必要對最優(yōu)解的區(qū)域再進行局部優(yōu)化。最優(yōu)解中的設(shè)計變量主要集中在某塊局部區(qū)域，一般情況，對滿足要求的最優(yōu)解進行設(shè)計空間的縮小。

圖10為基于協(xié)同優(yōu)化算法的機床整機優(yōu)化系統(tǒng)框圖，優(yōu)化系統(tǒng)分為系統(tǒng)級優(yōu)化和4個并行的學(xué)科級優(yōu)化兩部分。系統(tǒng)級優(yōu)化目標(biāo)為整機重量最優(yōu)，約束條件為全局變量一致性差異最小。4個相互平行的子學(xué)科的優(yōu)化目標(biāo)都是局部變量一致性差異最小，子學(xué)科1的約束條件為整機最大形變量不大于初始形變量，子學(xué)科2的約束條件為1階固有頻率大于等于初始1階固有頻率，子學(xué)科3的約束條件為2階固有頻率大于等于初始2階固有頻率，子學(xué)科4的約束條件為3階固有頻率大于等于初始3階固有頻率。系統(tǒng)級優(yōu)化采用修正可行方向算法(MMFD)，4個并行的學(xué)科級優(yōu)化采用非線性二次規(guī)劃算法(NLPQL)?；诳s小的設(shè)計空間進行二次優(yōu)化迭代。數(shù)學(xué)模型：

系統(tǒng)級優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

子學(xué)科1、2、3、4優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

表4為優(yōu)化前后設(shè)計變量取值的比較，本文對優(yōu)化結(jié)果進行取整。表5為二次優(yōu)化后的設(shè)計方案對比，從表中可以得出，采用響應(yīng)面模型和集成方法的優(yōu)化方法對數(shù)控機床整機進行優(yōu)化后，各項性能都得到了良好的提升，結(jié)果理想。

圖10　協(xié)同優(yōu)化系統(tǒng)框圖

表4　設(shè)計變量優(yōu)化結(jié)果

表5　優(yōu)化結(jié)果性能比較

為了驗證優(yōu)化結(jié)果的可信度，利用優(yōu)化前后的有限元模型進行靜力仿真，如圖11，由圖可得優(yōu)化后的最大形變量為45.405μm，與優(yōu)化結(jié)果非常接近，說明本文提出的方法能夠獲得正確的優(yōu)化結(jié)果。

(a)優(yōu)化前　　　　 (b)優(yōu)化后圖11　整機靜態(tài)性能優(yōu)化結(jié)果對比

4　結(jié)論

本文以某型號數(shù)控機床的整機優(yōu)化為應(yīng)用對象，綜合運用參數(shù)化建模、參數(shù)化分析、模態(tài)試驗試驗設(shè)計、靈敏度分析、響應(yīng)面近似模型、粒子群算法與協(xié)同優(yōu)化算法相結(jié)合的優(yōu)化策略，提出了一種基于響應(yīng)面模型的集成優(yōu)化設(shè)計方法。通過整機靜動態(tài)分析和模態(tài)試驗，尋找影響機床靜動態(tài)性能的薄弱零部件。首先建立數(shù)控機床整機的參數(shù)化模型，針對零部件薄弱環(huán)節(jié)確定設(shè)計變量。然后采用哈莫雷斯試驗設(shè)計法獲取設(shè)計空間樣本點，利用參數(shù)化有限元分析計算求得響應(yīng)值。基于樣本數(shù)據(jù)建立響應(yīng)面近似模型。基于近似模型利用粒子群算法進行全局初次優(yōu)化，在此基礎(chǔ)上采用協(xié)同優(yōu)化算法進行二次局部優(yōu)化，完成優(yōu)化設(shè)計。求解得到的設(shè)計方案滿足設(shè)計要求，有效實現(xiàn)了某型號數(shù)控機床的整機優(yōu)化，具有較高的計算效率和優(yōu)化結(jié)果。本文提出的集成優(yōu)化設(shè)計方法也適用于其他類似復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的機床整機的優(yōu)化問題。

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(編輯李秀敏)