劉任濤，陳　衛(wèi)

LIU Rentao1，2,CHEN Wei1

1.中國(guó)科學(xué)院 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心 高性能計(jì)算技術(shù)與應(yīng)用發(fā)展部，北京 100190

2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

1.Department of High Performance Computing Technology and Application Development,Computer Network Information Center,ChineseAcademy of Sciences,Beijing 100190,China

2.University of ChineseAcademy of Sciences,Beijing 100049,China

1　引言

分治算法是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中一種廣為人知的算法，它的功能體現(xiàn)在于兩個(gè)方面：其一，通過(guò)多次的遞歸迭代自動(dòng)地將復(fù)雜的問(wèn)題分解成許許多多小問(wèn)題；其二，將每個(gè)小問(wèn)題的解沿著分解該問(wèn)題的逆方向合并，直到得到原問(wèn)題的解[1]。分治算法實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)功能的具體方式在于將程序段多次遞歸迭代。近年來(lái)，由于能夠以相對(duì)簡(jiǎn)單的程序段解決復(fù)雜的問(wèn)題，分治算法的分而治之的思想被運(yùn)用在諸多領(lǐng)域：例如在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域利用分治算法研究聚類問(wèn)題和群體智能算法[2-3]；在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域利用分治策略劃分Delaunay三角網(wǎng)格[4-5]；在數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域利用分治算法求矩陣特征值[6-7]；在系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域利用分治算法研究種群的進(jìn)化[8]。然而分治策略很少被應(yīng)用于與計(jì)算物理和化學(xué)物理相關(guān)的計(jì)算機(jī)模擬當(dāng)中。

多孔材料是一種具有非均勻內(nèi)部結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，在物理學(xué)[9-12]、化學(xué)[13]、材料科學(xué)[14]等領(lǐng)域引發(fā)了越來(lái)越多研究者的關(guān)注。將多孔材料體系離散為格點(diǎn)系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬是一種高效的計(jì)算機(jī)模擬方法，在基礎(chǔ)研究領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)出新成果[15-16]。多孔材料的內(nèi)部由兩部分組成：一部分是母體，被固體物質(zhì)填充；另一部分是孔隙，可以容納流體（例如氣體和液體）。多孔材料格點(diǎn)模型（Porous Material with Lattice Model，PMLM）的計(jì)算機(jī)模擬分為初始化建模和體系演化兩個(gè)步驟，其中的初始化建模步驟需要把全體空間中的格點(diǎn)區(qū)分為兩類進(jìn)行標(biāo)記：一類格點(diǎn)標(biāo)記為母體填充物（例如固體）；另一類格點(diǎn)標(biāo)記為材料當(dāng)中的孔隙。然而在實(shí)際研究過(guò)程中，對(duì)格點(diǎn)進(jìn)行分類的過(guò)程并不是完全隨機(jī)的。為了逼近真實(shí)物理體系，通常母體區(qū)塊采用具有硬球勢(shì)或Lennard-Jones勢(shì)的球體[9，15]。原始建模方法不得不在固定每一個(gè)母體球的條件下遍歷地搜索全體空間的每一個(gè)格點(diǎn)，其計(jì)算量與系統(tǒng)體積的平方成正比。隨著模擬體系規(guī)模的增大，計(jì)算機(jī)模擬過(guò)程中的初始化建模步驟的計(jì)算量急劇增加，這是許多關(guān)于大規(guī)模多孔材料的研究無(wú)法承受的。

k近鄰搜索是一種用來(lái)取代全空間遍歷搜索的高效的搜索方式，在模式識(shí)別、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)挖掘、時(shí)間序列分析等方面有諸多應(yīng)用。利用k近鄰搜索可以預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)樣本的分類，或以較小的代價(jià)尋找目標(biāo)樣本[17-20]。受到k近鄰分類算法的啟發(fā)，本文把基于分治策略的近鄰搜索（Divide-Conquer based Nearest-Neighbor searching，DCNNs）方法應(yīng)用到PMLM的建模當(dāng)中，詳細(xì)介紹了在PMLM系統(tǒng)中應(yīng)用DCNNs建模的方法。本文還在理論和實(shí)驗(yàn)上對(duì)原始建模方法和DCNNs建模方法的運(yùn)行效率作了比較。

2　基于分治策略的近鄰搜索方法理論

2.1　PMLM系統(tǒng)的基于分治策略近鄰搜索的優(yōu)化建模方法

在一個(gè)三維格點(diǎn)模型中，格點(diǎn)的編號(hào)遵循：首先沿x方向布滿再向y方向延拓，布滿每一個(gè)xy平面后再向z方向延拓。因此，只要得到一個(gè)格點(diǎn)的序號(hào)就可以知道該格點(diǎn)在三維體系中的坐標(biāo)(x,y,z)；反之，根據(jù)任意一個(gè)格點(diǎn)的坐標(biāo)就可以知道該格點(diǎn)的序號(hào)。

多孔材料的顯著特征就是構(gòu)型當(dāng)中的母體物質(zhì)與孔隙分散的占據(jù)全體空間。最常采用的硬球勢(shì)體系須將母體區(qū)域視為由一個(gè)個(gè)小球堆疊而成，孔隙區(qū)域占據(jù)剩余的空間。隨機(jī)選擇一個(gè)格點(diǎn)作為一個(gè)母體小球的球心A(x0,y0,z0)。為了標(biāo)記出被球形母體占據(jù)的格點(diǎn)，最簡(jiǎn)單的篩選辦法就是首先固定母體球的球心坐標(biāo)，然后計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)與球心之間的幾何距離：

球形母體區(qū)域的限制條件：如果某個(gè)格點(diǎn)到該球心之間的幾何距離di小于設(shè)定的母體球半徑R，則認(rèn)為此格點(diǎn)在該母體球內(nèi)部。

本文提出的DCNNs建模方法是以PMLM的一個(gè)母體區(qū)域的中心A作為根節(jié)點(diǎn)，通過(guò)分治的辦法將近鄰區(qū)域的格點(diǎn)劃分為不相交的區(qū)域，遞歸地向外部空間擴(kuò)展以實(shí)現(xiàn)近鄰搜索。利用該DCNNs可以快速地標(biāo)記出PMLM當(dāng)中應(yīng)當(dāng)被母體占據(jù)的格點(diǎn)。

圖1顯示了用于PMLM建模過(guò)程中的DCNNs在不同類型格點(diǎn)位置上向近鄰格點(diǎn)擴(kuò)展的狀態(tài)空間圖，圖中的每一個(gè)箭頭對(duì)應(yīng)于一個(gè)方向上的擴(kuò)展（體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)程序中就是一個(gè)子程序）。算法對(duì)應(yīng)的偽代碼如算法1～7所示。

圖1　近鄰搜索各個(gè)格點(diǎn)的狀態(tài)空間圖

偽代碼算法1表述了向6個(gè)方向擴(kuò)展根節(jié)點(diǎn)的算法，狀態(tài)空間如圖1（a）所示。

偽代碼算法2和偽代碼算法3分別表述了向5個(gè)方向擴(kuò)展z+節(jié)點(diǎn)或z-節(jié)點(diǎn)的算法，狀態(tài)空間如圖1（b）所示。

算法 2 UP（z，queue）

偽代碼算法4和偽代碼算法5分別表述了向3個(gè)方向擴(kuò)展y+節(jié)點(diǎn)或y-節(jié)點(diǎn)的算法，狀態(tài)空間如圖1（c）所示。

DCNNs過(guò)程中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以描繪成樹(shù)狀圖，如圖2所示，除了葉節(jié)點(diǎn)以外：

（1）根節(jié)點(diǎn)有6個(gè)子節(jié)點(diǎn)；

（2）每個(gè)z+或z-節(jié)點(diǎn)有5個(gè)子節(jié)點(diǎn)；

（3）每個(gè)y+或y-節(jié)點(diǎn)有3個(gè)子節(jié)點(diǎn)；

（4）每個(gè)x+或x-節(jié)點(diǎn)有1個(gè)子節(jié)點(diǎn)。

圖2　三維格點(diǎn)系統(tǒng)的DCNNs的搜索樹(shù)

從幾何空間上看，這樣的搜索機(jī)制類似于“碰壁”：設(shè)想在母體球外包裹了一層球殼，當(dāng)計(jì)算機(jī)沿著一條搜索路徑向前搜索直到訪問(wèn)到球殼上的格點(diǎn)時(shí)返回尋找下一條路徑繼續(xù)搜索。該DCNNs方式在搜索順序方面類似于深度優(yōu)先搜索，搜索方向沿著搜索樹(shù)直到葉節(jié)點(diǎn)才返回，一言以蔽之就是“一路到底”。但區(qū)別在于：傳統(tǒng)的深度優(yōu)先搜索的目的只是為了找到一個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，因此一旦找到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)就會(huì)終止搜索；而本文介紹的搜索方法并沒(méi)有特定的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)，只有把搜索樹(shù)的所有葉節(jié)點(diǎn)全部搜索了一遍以后才會(huì)終止。

該基于分治策略的近鄰搜索方法吸收了數(shù)據(jù)分割的思想[20]，通過(guò)將近鄰空間格點(diǎn)劃分成合理的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，保證了在同一次近鄰搜索當(dāng)中既不會(huì)遺漏任何一個(gè)應(yīng)當(dāng)被搜索到的格點(diǎn)，又不會(huì)重復(fù)搜索任何一個(gè)格點(diǎn)。采用該DCNNs方法對(duì)PMLM系統(tǒng)進(jìn)行建模，能夠準(zhǔn)確地篩選出初始構(gòu)型中應(yīng)當(dāng)被母體物質(zhì)占據(jù)的格點(diǎn)。此外，只要改變程序中對(duì)于球形母體區(qū)域的限制條件，就可以將該DCNNs方法推廣用來(lái)對(duì)具有更復(fù)雜的母體形狀的PMLM系統(tǒng)進(jìn)行建模。

2.2　建模時(shí)間復(fù)雜度的理論分析與比較

2.2.1原始方法建模的時(shí)間復(fù)雜度

對(duì)于PMLM系統(tǒng)，原始的算法是：首先隨機(jī)生成每一個(gè)母體區(qū)塊的球心的坐標(biāo)，然后在固定該坐標(biāo)的條件下遍歷搜索空間中的所有格點(diǎn)，計(jì)算各個(gè)格點(diǎn)的坐標(biāo)與母體球心坐標(biāo)的空間距離，從而篩選出位于該母體球內(nèi)部的格點(diǎn)。

不妨設(shè)整個(gè)PMLM體系的格點(diǎn)總數(shù)為N；體系中被母體物質(zhì)填充的格點(diǎn)個(gè)數(shù)與格點(diǎn)總數(shù)的比例是固定的，設(shè)為η(0＜η＜1)；同一體系中的各個(gè)母體球的半徑大小是相同的，設(shè)每個(gè)母體球占據(jù)n個(gè)格點(diǎn)。對(duì)于不同的體系，當(dāng)母體球的半徑大小固定不變時(shí)，每個(gè)母體球中包含的格點(diǎn)個(gè)數(shù)n也是固定的常數(shù)（對(duì)于多孔材料n?N）。格點(diǎn)系統(tǒng)建模過(guò)程中的時(shí)間復(fù)雜度：

2.2.2DCNNs方法建模的時(shí)間復(fù)雜度

同樣，不妨設(shè)整個(gè)PMLM體系的格點(diǎn)總數(shù)為N；體系中被母體物質(zhì)填充的格點(diǎn)個(gè)數(shù)與總的格點(diǎn)個(gè)數(shù)的比例為η(0＜η＜1)；每個(gè)母體球占據(jù)n個(gè)格點(diǎn)（n固定，且n?N）。對(duì)于同樣的PMLM系統(tǒng)，基于分治策略的近鄰搜索首先也是隨機(jī)生成每一個(gè)母體球的球心的坐標(biāo)，然后在固定該坐標(biāo)的條件下利用2.1節(jié)當(dāng)中介紹的規(guī)則進(jìn)行分類，在每一個(gè)母體球球心附近搜索到的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，僅僅是母體球理論上包含格點(diǎn)個(gè)數(shù)n加上母體球外的“壁”包含的格點(diǎn)個(gè)數(shù)（其數(shù)量級(jí)一般不高于n具有的數(shù)量級(jí)）。格點(diǎn)系統(tǒng)建模過(guò)程中的時(shí)間雜度：

很明顯，在理論上，對(duì)于n?N的情形（例如多孔材料），DCNNs方法建模的時(shí)間復(fù)雜度更低，能夠節(jié)省大量計(jì)算量。

3PMLM系統(tǒng)氣液相變的計(jì)算機(jī)模擬

3.1　Gibbs系綜下基于密度泛函的格點(diǎn)模型平均場(chǎng)理論的熱力學(xué)函數(shù)

假定空間被離散化為三維的格點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，共有N個(gè)格點(diǎn)，第i個(gè)格點(diǎn)的粒子數(shù)密度為ρi，設(shè)第i個(gè)格點(diǎn)上的外場(chǎng)為Vi，第i、j格點(diǎn)之間的相互作用強(qiáng)度為εij，則整個(gè)體系的總勢(shì)能：

對(duì)于經(jīng)典體系的熱力學(xué)正則系綜（固定的溫度、體積、總粒子數(shù)），全體粒子所處的密度狀態(tài)服從熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，任意一個(gè)給定的粒子數(shù)分布{ρi}出現(xiàn)的熱力學(xué)概率為：

其中，正則系綜配分函數(shù)：

因此，體系的Helmhotz自由能：

構(gòu)造一個(gè)無(wú)外場(chǎng)無(wú)相互作用(Vi=0,εij=0)的參考體系，設(shè)參考體系的總能量為E?，則實(shí)際體系的能量E可以寫為參考體系能量與附加能量ΔE的加和：

在參考體系中，各個(gè)熱力學(xué)構(gòu)型出現(xiàn)的幾率相等：

此時(shí)配分函數(shù)Z的物理意義可以形象地表述為M個(gè)粒子隨機(jī)分配給N個(gè)格點(diǎn)分配方式總個(gè)數(shù)，即服從超幾何分布：

對(duì)于M和N的值很大的情形（例如宏觀熱力學(xué)體系），運(yùn)用Stirling近似ln(N!)≈NlnN-N ，則該參考體系的Helmhotz自由能：

其中，kB是Boltzmann常數(shù)，一個(gè)關(guān)于溫度和能量的物理常數(shù)。

由于該參考體系的粒子數(shù)分布可以視為宏觀上均勻的，設(shè)參考體系的粒子數(shù)密度ρ=M/N，因而該參考體系的Helmhotz自由能：

其中的密度ρ是無(wú)量綱的約化密度(0＜ρ＜1)。

引入平均場(chǎng)近似，設(shè)外場(chǎng)對(duì)每一個(gè)格點(diǎn)的作用強(qiáng)度為?i，則附加能量可以表示成：

3.2　密度迭代演化的計(jì)算機(jī)模擬方法

對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)，系統(tǒng)達(dá)到平衡時(shí)的密度分布使式（11）取得極小值，即滿足微分方程：

將格點(diǎn)之間的相互作用當(dāng)作短程力處理，僅僅考慮最近鄰和次近鄰格點(diǎn)之間的相互作用[14]，并將表達(dá)式（11）代入式（12）即可得到達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)關(guān)于密度的代數(shù)方程[14]：

對(duì)于每一個(gè)格點(diǎn)，每次把舊的密度值代入上式右端，計(jì)算結(jié)果賦值給等號(hào)左端的新的密度值ρrhsi。為了防止密度取值跳動(dòng)過(guò)大以致溢出（必須滿足ρ≤1），密度值與舊密度值進(jìn)行線性組合，使得新得到的密度值僅僅在原有值的基礎(chǔ)上小范圍改動(dòng)。因此，整個(gè)迭代的完整過(guò)程用等式（14）、（15）、（16）表示[14]：

等式（15）中的系數(shù)α(α?1)用來(lái)限制每圈迭代的速率；等式（16）用來(lái)標(biāo)定體系的總粒子數(shù)守恒，得到每一輪迭代被更新的密度值。

反復(fù)迭代等式（14）、（15）、（16），使得系統(tǒng)的密度分布最終收斂。當(dāng)某一圈迭代過(guò)后系統(tǒng)中密度值的改變量大小的平均值小于設(shè)定的閾值時(shí)，認(rèn)為體系已經(jīng)達(dá)到熱力學(xué)近平衡，終止迭代。

3.3　計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果的比較

本文對(duì)采用周期性邊界條件的邊界長(zhǎng)為50、65、80、100的立方體形格點(diǎn)模型分別進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬。使用原始方法和DCNNs方法分別進(jìn)行建模能夠構(gòu)造相同的初始構(gòu)型（流體的初始密度均勻ρ=0.28），并經(jīng)過(guò)迭代演化達(dá)到同樣的熱力學(xué)平衡態(tài)。一個(gè)包含106個(gè)格點(diǎn)的三維體系的模擬結(jié)果，在x=0的截面的密度分布如圖3所示。圖右側(cè)標(biāo)出了各種顏色代表的流體密度值（無(wú)量綱約化密度0＜ρ＜1），圖中空白區(qū)域是建模時(shí)建立的母體（流體密度為零），圖中密度稠密的團(tuán)狀聚集區(qū)域是液相凝聚區(qū)，證明該體系已經(jīng)發(fā)生了氣液相變。

圖3　計(jì)算機(jī)模擬多孔材料格點(diǎn)模型氣液相變達(dá)到熱力學(xué)近平衡時(shí)在x=0截面上的密度分布

盡管使用原始的建模方法與DCNNs建模方法能夠得到相同的物理結(jié)果，但是兩種方法的運(yùn)行時(shí)間差異巨大。將程序在初始化和迭代過(guò)程中占用的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較，如圖4所示。隨著格點(diǎn)系統(tǒng)體積的增加，用DCNNs方法進(jìn)行建模初始化占用的時(shí)間是線性增加的，系統(tǒng)遵循熱力學(xué)規(guī)律的迭代計(jì)算時(shí)間也近似于線性遞增，然而用原始的建模方法進(jìn)行初始化占用的運(yùn)行時(shí)間隨著系統(tǒng)的格點(diǎn)總數(shù)的二次方急劇增加。

圖4　不同規(guī)模體系模擬的各步驟的運(yùn)行時(shí)間

當(dāng)系統(tǒng)體積達(dá)到106個(gè)格點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用原始的建模方法與DCNNs建模方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的過(guò)程中各步驟占用時(shí)間的比例，如圖5所示。

圖5　N=106的體系在計(jì)算機(jī)模擬過(guò)程中運(yùn)行時(shí)間的組成

不難發(fā)現(xiàn)，隨著體系規(guī)模的增大，若采用原始建模方法則初始化步驟會(huì)占據(jù)大部分的運(yùn)行時(shí)間。加之系統(tǒng)演化過(guò)程可以很方便地并行加速，初始化步驟的運(yùn)行時(shí)間在總運(yùn)行時(shí)間當(dāng)中占據(jù)的比例有可能會(huì)更大。因而對(duì)于采用原始方法建模的大規(guī)模PMLM系統(tǒng)，初始化步驟嚴(yán)重拖累了整個(gè)計(jì)算機(jī)模擬過(guò)程的運(yùn)行時(shí)間，成為用計(jì)算機(jī)模擬大規(guī)模PMLM系統(tǒng)的技術(shù)瓶頸。應(yīng)用DCNNs方法進(jìn)行建模則只需占用幾乎可以忽略不計(jì)的運(yùn)行時(shí)間來(lái)完成初始化，為更大規(guī)模PMLM系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬創(chuàng)造了條件。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了一種適用于PMLM系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)建模的優(yōu)化方法。將分治思想與近鄰搜索策略相結(jié)合，提出的基于分治策略的近鄰搜索方法能將計(jì)算機(jī)建模PMLM系統(tǒng)的時(shí)間復(fù)雜度由O(N2)降低至O(N)。對(duì)PMLM系統(tǒng)氣液相變過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬，驗(yàn)證了該方法在不影響物理結(jié)果的前提下的高效性。本文提出的優(yōu)化方法突破了計(jì)算機(jī)模擬大規(guī)模PMLM系統(tǒng)的一個(gè)技術(shù)瓶頸。

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