一、選擇題

1.已知事件A,B,且則A,B之間的關(guān)系一定是( )。

A.兩個(gè)任意事件

B.互斥事件

C.非互斥事件

D.對立事件

2.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球,那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是( )。

A.“至少有1個(gè)黑球”與“都是黑球”

B.“至少有1個(gè)黑球”與“都是紅球”

C.“至少有1個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”

D.“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”

4.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件產(chǎn)品是正品(甲級)的概率為( )。

A.0.95 B.0.97

C.0.92 D.0.08

5.容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如表1所示,則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)上的概率為( )。

表1

A.0.35 B.0.45

C.0.55 D.0.65

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧,有人送來米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為( )。

A.134石 B.169石

C.338石 D.1365石

7.從某校高二年級的所有學(xué)生中,隨機(jī)抽取20人,測得他們的身高(單位：cm)分別為：162,153,148,154,165,168,172,171, 173,150,151,152,160,165,164,179,149, 158,159,175。

根據(jù)樣本頻率分布估計(jì)總體分布的原理,在該校高二年級的所有學(xué)生中任抽1人,估計(jì)該生的身高在155.5～170.5cm之間的概率約為( )。

8.若隨機(jī)事件A,B互斥,事件A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

9.擲一個(gè)骸子的試驗(yàn),事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”,事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)”,則在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為( )。

10.如圖1所示,A是圓O上一定點(diǎn),在圓O上其他位置任取一點(diǎn)A',連接A A',得到一條弦,則此弦的長度小于或等于半徑長度的概率為( )。

圖1

11.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“l(fā) o g0.5(4x-3)≥0”發(fā)生的概率為( )。

12.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字,若連續(xù)兩次拋擲這個(gè)玩具,則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是( )。

13.從集合A={-3,-2,-1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k,從集合B={-2,1,2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線y=k x+b不經(jīng)過第四象限的概率為( )。

14.已知集合A={1,2},B={1,2,3},分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b,確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(2≤n≤5, n∈N),若事件Cn發(fā)生的概率最大,則n的所有可能值為( )。

A.3 B.4

C.2和5 D.3和4

15.某公司有一批專業(yè)技術(shù)人員,其中年齡在35～50歲的本科生和研究生分別有30人和20人,現(xiàn)用分層抽樣法在35～50歲年齡段的專業(yè)技術(shù)人員中抽取一個(gè)容量為5的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任意抽取3人,則至少有1人為研究生的概率為( )。

16.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件,設(shè)事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為( )。

A.0.7 B.0.65

C.0.35 D.0.3

17.在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是的事件是( )。

A.至多有1張移動卡

B.恰有1張移動卡

C.都不是移動卡

D.至少有1張移動卡

18.圖2所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個(gè)數(shù)字,那么概率為被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是( )。

圖2

19.如圖3,大正方形的面積是34,四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形,直角三角形的較短邊長為3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵,則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為( )。

圖3

20.有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱,點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心,在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為( )。的概率,p2為事件

21.在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件的概率,則( )。

22.在區(qū)間[-π,π]內(nèi)隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b,則函數(shù)f(x)=x2+2a x-b2+ π2有零點(diǎn)的概率為( )。

二、填空題

23.給出下列三個(gè)命題：

①有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品;

②做7次拋硬幣的試驗(yàn),結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此正面出現(xiàn)的概率是

③隨隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為____。

24.某城市2016年的空氣質(zhì)量狀況如表2所示。

表2

其中污染指數(shù)T≤50時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);50＜T≤100時(shí),空氣質(zhì)量為良;100＜T≤150時(shí),空氣質(zhì)量為輕微污染。該城市2016年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為____。

25.從2名男生和2名女生中任意選擇2人在星期六、星期日參加某公益活動,每天1人,則星期六安排1名男生、星期日安排1名女生的概率為____。

26.口袋內(nèi)裝有一些除顏色不同之外其他均相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若紅球有21個(gè),則黑球的個(gè)數(shù)為____。

27.已知某臺紡紗機(jī)在1h內(nèi)發(fā)生0次,1次,2次斷頭的概率分別是0.8,0.12,0.05,則這臺紡紗機(jī)在1h內(nèi)斷頭不超過2次的概率和斷頭超過2次的概率分別為____,____。

28.如圖4,在長方體A B C D-A1B1C1D1中,有一動點(diǎn)在此長方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動,則此動點(diǎn)在三棱錐A-A1B D內(nèi)的概率為____。

圖4

29.在區(qū)間[0,1]上任取兩個(gè)數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x2+a x+b2無零點(diǎn)的概率為____。

30.如圖5所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組各4名同學(xué)在某次考試中的數(shù)學(xué)成績,乙組記錄中有一個(gè)數(shù)字模糊,無法確認(rèn),在圖中用m表示。假設(shè)數(shù)字具有隨機(jī)性,則乙組平均成績超過甲組平均成績的概率為____。

圖5

31.已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員3次投籃恰有2次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表3次投籃的結(jié)果。

經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989。

據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動員3次投籃恰有2次命中的概率為____。

32.一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為____。

33.小波通過做游戲的方式來確定周末活動,他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn),若此點(diǎn)到圓心的距離大于,則周末去看電影;若此點(diǎn)到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書。則小波周末不在家看書的概率為____。

三、解答題

35.在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球,球上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5。甲先從箱子中摸出一個(gè)小球,記下球上所標(biāo)數(shù)字后,再將該小球放回箱子中搖勻后,乙從該箱子中摸出一個(gè)小球。

(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率。

(2)若規(guī)定：兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝。這樣的規(guī)定公平嗎?

36.現(xiàn)有8個(gè)質(zhì)量和外形都一樣的球,其中A1,A2,A3為紅球的編號,B1,B2,B3為黃球的編號,C1,C2為藍(lán)球的編號,從三種顏色的球中分別選出一個(gè)球,放到一個(gè)盒子內(nèi)。

(1)求紅球A1被選中的概率。

(2)求黃球B1和藍(lán)球C1不全被選中的概率。

37.長時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康,某校為了解A,B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長,分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長作為樣本繪制成莖葉圖,如圖6所示(圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字)。

圖6

(1)你能否估計(jì)哪個(gè)班級平均每周上網(wǎng)時(shí)間較長?

(2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a,從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b,求a＞b的概率。

38.某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣方法,對投保車輛進(jìn)行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付金額(單位：元)統(tǒng)計(jì)如表3所示。

表3

(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率。

(2)在樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車輛中新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率。

39.設(shè)甲,乙,丙三個(gè)乒乓球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為27,9,18?，F(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會中抽取6名運(yùn)動員組隊(duì)參加比賽。

(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員的人數(shù)。

(2)將抽取的6名運(yùn)動員進(jìn)行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6?，F(xiàn)從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽。

①用所給編號列出所有可能的結(jié)果。

②設(shè)A為事件“編號為A5和A6的2名運(yùn)動員中至少有1人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率。

40.某出租車公司響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召,已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運(yùn)營車輛。目前我國主流純電動汽車按續(xù)駛里程R(單位：k m)分為3類,即A類：80≤R＜150,B類：150≤R＜250,C類：R≥250。該公司對這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表4所示。

表4

(1)從這140輛汽車中任取1輛,求該車行駛總里程超過10萬千米的概率。

(2)公司為了解這些車的工作狀況,決定抽取14輛車進(jìn)行車況分析,按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣,設(shè)從C類車中抽取了n輛車。

①求n的值。

②如果從這n輛車中隨機(jī)選取2輛車,求恰有1輛車行駛總里程超過10萬千米的概率。

41.甲打靶射擊,有4發(fā)子彈,其中有1發(fā)是“空彈”。

(1)求“空彈”出現(xiàn)在第一槍的概率。

(2)求“空彈”出現(xiàn)在前三槍的概率。

(3)如果把“空彈”換成實(shí)彈,甲前三槍在靶上留下三個(gè)分別相距3,4,5的彈孔P,Q,R,第四槍瞄準(zhǔn)了三角形P Q R射擊,第四個(gè)彈孔落在三角形P Q R內(nèi),求第四個(gè)彈孔與前三個(gè)彈孔的距離都超過1的概率(忽略彈孔大小)。

42.某校從參加高三年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(成績均為整數(shù)且滿分為100分),數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下：

[40,50),2;[50,60),3;[60,70),14; [70,80),15;[80,90),12;[90,100],4。

(1)請把給出的樣本頻率分布表(如表5)中的空格都填上。

(2)估計(jì)成績在85分以上學(xué)生的比例。

(3)為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績,學(xué)校決定成立“二幫一”小組,即從成績在[90,100]中選兩位同學(xué),共同幫助成績在[40,50)中的某一位同學(xué)。已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分,乙同學(xué)的成績?yōu)?5分,求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率。

表5