馬澤涵

摘要：同行之間的價格競爭是提高雙方產(chǎn)品競爭力和銷量的推動因素。在本文中介紹了兩個競爭者關系中一方的降價方案。本模型考慮的是商家利潤最大值，問題的核心是求解利潤的最大值，應用到了導數(shù)等于0的數(shù)學意義，也利用到了經(jīng)濟學中銷售價格和銷量的線性關系和邊際利潤等相關知識點。定價方案也可以另外一個方面考慮，即不考慮最大利潤，考慮產(chǎn)品的最大銷量，可以省去求利潤函數(shù)的步驟，直接對銷量進行求解，同樣也能確定當商家追求最大銷量時的手機的價格。

關鍵詞：價格競爭 邊際利潤 導函數(shù)

隨著第三次工業(yè)革命的進行，我國的科技飛速發(fā)展，在很多領域已經(jīng)改變了之前落后的處境，甚至在部分領域超越了很多發(fā)達國家，這是值得我們驕傲的事情。尤其是手機制造領域，但是在光鮮亮麗的背后，各個手機廠家也在不斷地進行著較量，這種較量不僅在技術層面上，也在銷售策略上。一個手機廠商的成功與否不僅與手機廠商的科技能力的強弱有關，同時也與這個廠商的營銷策略有關。

假設，在同一銷售市場中，有兩家手機廠商都在銷售自家的手機。你是其中一個手機廠商的銷售部門經(jīng)理，為了讓自己的手機銷量最好或讓自己獲得最大的利潤，請你設計一種合理的降價方案。

首先假設各個手機廠商的元器件采購廠商和機器組裝廠商相同，即同等配置的手機的成本是相同的。為了使價格模型更加便于求解，在這個方案中，我們只考慮同等競品的價格定位，即同等配置手機的價格定位。假設降價前，兩個手機廠家的日銷售量（單位：個）是固定不變的，降價前后的手機成本價格和正常銷售價格也是不變的（單位：元，個），且自家手機的利潤只受對方手機的價格影響，不受其他因素的影響。

影響降價策略的主要因素為自家手機的降價幅度、對方手機的降價幅度和兩手機廠商的價格差。

接下來定義將要用到的符號：

P：手機的官方銷售價格（元，個），即雙方降價之前的價格；L：降價之前，己方手機的日銷量（個，日）；W：手機的成本價格（元，個）；x：降價后己方手機的銷售價格（元，個）；y：降價后對方手機的銷售價格（元，個）；對方手機的降價幅度：P-y；己方手機的降價幅度：P-x；雙方手機價格之差：y-x。

在經(jīng)濟學中，價格與銷量關系通常認為是線性關系，因此上文提到的對方手機的降價幅度（P-y）、己方手機的降價幅度（P-x）和雙方手機價格之差（y-x）為線性關系，且設各自的影響因子分別為a、b、c?？梢缘贸鱿率剑?/p>

Q=L-a（P-y）+b（P-z）+c（y-z）

其中，Q為降價之后己方手機的日銷量，那么當天的手機利潤函數(shù)可以表示為：

R（x，y）=（x-W）Q

建立模型的前提是對方先降價，己方再根據(jù)對方的降價的幅度對己方手機的價格做調(diào)整，即y是常數(shù)。求當日手機的最大利潤，就是求利潤函數(shù)R（x，y）最大值點，對函數(shù)求x的偏導數(shù)，可以得到：

解上邊偏導方程，可以得出：

邊際利潤：由銷售產(chǎn)品所增加的1單位商品帶來的純利潤。

到此為止，我們的定價方案已經(jīng)初步形成，接下來要做的就是驗證定價方案的可行性。

根據(jù)查閱資料得到的一組數(shù)據(jù)，我們假設：L=2000，P=4，W=3。如果取y=3.9，則：

通過邊際利潤，可以知道其意義是當x增加一個單位（△x=1）

上邊我們也曾提到參數(shù)a、b、c的值比較難估計?，F(xiàn)在我們來討論a、b、c的取值問題。

一般地，可在y取不同值時（雖然取值不同，但是每一次取值后都是固定的），對x取不同值，可以得到銷量值Q，然后利用回歸分析的方法得到影響因子a、b、c的數(shù)值。但是這是不現(xiàn)實的，因為在現(xiàn)實生活中，各個廠商對手機的定價是經(jīng)常根據(jù)市場進行調(diào)整的。

最常用的方法是，按照給定的數(shù)據(jù)給出a、b、c的數(shù)量級，從而得到估計值。

為了求參數(shù)的值，假設a=b=1000，c=4000，可以得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)經(jīng)驗，選定3.8及一組{x，Q}，如：

{3.78，2050），{3.75，2100}，{3.9，1900}，

{3.60，2300），{3.55，2400}，{4.0，2000}。

用線性回歸方法我們得出：

Q=-1410.38x-7390.99

解得：

a=1252.65-c，b=1410.28-c

現(xiàn)在?。?/p>

c=252

可以得：

a=1000.65，b=1158

影響因子的取值到此討論結束。接下來對整個建模和解模型的過程進行分析總結。

本模型的核心是求解利潤R（x，y）的最大值，應用到了導數(shù)等于0的數(shù)學意義，也利用到了經(jīng)濟學中銷售價格和銷量的線性關系和邊際利潤等相關知識點。本模型也可以另外一個方面考慮，即不考慮自方的最大利潤，考慮的是最大銷量，我們可以省去求利潤函數(shù)R的步驟，直接對銷量Q進行求解，同樣也能確定當商家追求最大銷量時的手機的價格。

建模的初衷包含了盡量簡化模型以便于求解模型，因此在模型假設時，假設商家的手機的日銷售量不受價格的影響，同一區(qū)域內(nèi)只存在兩個競爭者，真實地情況是，價格是會影響到銷量的，同時行業(yè)競爭不僅僅是兩家的競爭。為了提高模型的可用性，我們也可以將競爭商家提高到三個甚至更多，但是這會增加模型的復雜程度和求解難度。我們可以假定手機的售價和銷量之間存在一定的關系，即L（x），表示的意思是日銷量是x的函數(shù)，帶入模型即可。