蔡劍敏

“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。”這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的一個(gè)重要思想。從中不難看出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中既要關(guān)注學(xué)生的思維能力提升，更要落實(shí)好學(xué)生合情推理和演繹推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育，以此促進(jìn)學(xué)生分析問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題等方面能力的發(fā)展，進(jìn)而使學(xué)生的綜合能力全面提升。

在此結(jié)合《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)》的教學(xué)，簡(jiǎn)要談?wù)剬W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究等活動(dòng)中自主探究意識(shí)的運(yùn)用，以及在觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等探究過(guò)程中學(xué)生合情推理的生成，從而發(fā)展學(xué)生演繹推理的意識(shí)和能力。

一、引導(dǎo)探究，在歸納中合情推理

拉普拉斯說(shuō)：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?！蔽覀兩钪?，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)實(shí)踐過(guò)程，是學(xué)生自主探索、合作探究的歷程，也是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)、總結(jié)認(rèn)知的過(guò)程。因此，在教學(xué)中教師要緊緊扣住教材編排意圖，將學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想方法、思維水平等諸多方面進(jìn)行科學(xué)開(kāi)發(fā)，使得我們的教學(xué)活動(dòng)更有助于學(xué)生進(jìn)行探究，有利于他們觀察現(xiàn)象、分析規(guī)律，進(jìn)行合情推理，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)充滿靈氣，使得我們的數(shù)學(xué)教學(xué)充滿生機(jī)活力。

師：今天我們將進(jìn)行這一階段學(xué)習(xí)的練習(xí)，你認(rèn)為老師會(huì)出哪些習(xí)題來(lái)考你們？

生：肯定是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計(jì)算。

生：一定有兩位數(shù)乘兩位數(shù)的具體應(yīng)用問(wèn)題。

……

師：不錯(cuò)，那就請(qǐng)你們自己設(shè)計(jì)一組習(xí)題，考考大家吧！

生：豎式計(jì)算并驗(yàn)算，68×86，21×39。

生：小明一天讀書24頁(yè)，那么他10月份一共讀書多少頁(yè)？

……

師：今天的表現(xiàn)很不錯(cuò)，計(jì)算很仔細(xì)，分析問(wèn)題也很透徹。想不想再接再厲啊？

生：想！

師：其實(shí)很簡(jiǎn)單，也是豎式計(jì)算，不過(guò)請(qǐng)大家計(jì)算后再進(jìn)行一些思考和分析，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)？

豎式計(jì)算：68×43，86×34，96×23，69×32。

學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，并交流思考計(jì)算中隱含的特征與規(guī)律。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)，4個(gè)計(jì)算題分為2組，前2題的結(jié)果都是2924。后2題的結(jié)果都是2208。

生：每?jī)深}的結(jié)果是一樣的，但是好像沒(méi)有什么聯(lián)系。

生：不對(duì)！我們小組研究發(fā)現(xiàn)68×43，86×34這兩題有很奇特的地方，兩道題目中都有6、8、3、4這4個(gè)數(shù)字，排列不同，但乘積卻是相同的。

生：我們還發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)算式中第一個(gè)乘數(shù)中的兩個(gè)數(shù)字都是第二個(gè)乘數(shù)的2倍，6是3的2倍，8是4的2倍。

師：真了不起！這么隱秘的關(guān)系都能找到，你能按照這個(gè)規(guī)律，再出道習(xí)題試試嗎？

生：62×13，26×31它們的乘積都是806。

生：48×42，84×24的結(jié)果都是2016。

……

生：我們認(rèn)為具有這種特征的算式乘積是相等的。

師：真棒！我們把這樣有趣的兩位數(shù)稱之為對(duì)稱的數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)稱的數(shù)相乘，它們的乘積是相等的。

“所有聰明才智的獲得，往往是通過(guò)猜想游戲。當(dāng)面臨新情況時(shí)，我們就從某個(gè)猜想開(kāi)始”，波利亞的名言揭示了學(xué)生獲取知識(shí)不是簡(jiǎn)單的接受，而是一種探索后的提煉，是一種思考后的升華。案例中，教師通過(guò)復(fù)習(xí)鞏固，再引導(dǎo)學(xué)生用豎式計(jì)算，這個(gè)過(guò)程看似沒(méi)有挑戰(zhàn)性，但其中教師布置的練中想、練中思的要求，勢(shì)必讓計(jì)算練習(xí)帶有更多的使命。學(xué)生一邊做，一邊思考，一邊探索，然后在分析交流等系列活動(dòng)中步步推進(jìn)，逐步分析出每一個(gè)乘法算式中數(shù)字之家的內(nèi)在規(guī)律，使隱含在算式中的對(duì)稱關(guān)系凸顯出來(lái)，也為學(xué)生的總結(jié)推理提供了最為翔實(shí)的積累，使得推理過(guò)程變得水到渠成，也使得學(xué)生的判斷意識(shí)、合情推理意識(shí)得到有效發(fā)展。

二、鼓勵(lì)質(zhì)疑，在疑慮中歸納推理

“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)，不疑則不進(jìn)?！睆闹胁浑y看出，如要學(xué)習(xí)有進(jìn)步，就得讓疑問(wèn)伴隨始終。是的，如果在教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生總能提出疑問(wèn)或質(zhì)疑，那么他的思考才會(huì)有進(jìn)步、有價(jià)值，否則就是鸚鵡學(xué)舌了。合情推理是一種直覺(jué)，是從已有的事實(shí)、現(xiàn)象中產(chǎn)生經(jīng)驗(yàn)或感悟，它們都是膚淺的，這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑，通過(guò)思考和推理達(dá)到剖析本質(zhì)、把握真理的目的。

師：剛才大家的研究很有成果，那這樣的結(jié)論是不是具有更多的實(shí)用性呢？想不想再去試試？

豎式計(jì)算：96×23，69×32，39×62，93×26。

生：計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，每一組中2題的結(jié)果一樣。

生：每組的積是相等的，但是它們不像剛才的那樣是2倍關(guān)系，9、6、2、3中9是3的3倍，6是2的3倍。

生：是的！我們研究的39×62，93×26，9是6的1倍半，3是2的1倍半，也和我們前面的2倍關(guān)系不一樣。

生：老師，我們小組研究認(rèn)為，不一定是2倍的關(guān)系，像3倍、4倍這樣也可以，恐怕只要是倍數(shù)的都可以采用對(duì)稱的方式，它們的乘積都是相等的。

師：是這樣嗎？按照自己的猜想出一組題目，算一算。

生：可以的，36×42=1512，24×63=1512。

生：像84×12=1008，48×21=1008。

生：我們認(rèn)為，對(duì)稱的兩位數(shù)應(yīng)該是倍數(shù)關(guān)系，這樣它們的乘積是相等的。

師：這個(gè)結(jié)論是不是具有普遍性呢？小組中再研究一番吧！

生：我們剛才研究的都是倍數(shù)關(guān)系，那么像這樣的可以嗎？36×52，63×25。

生：計(jì)算后發(fā)現(xiàn)不可以。

學(xué)習(xí)是什么？是一種經(jīng)驗(yàn)的不斷升華，是思維不斷沖擊的凝練，更是一種深層次的推理。案例中教師不唯學(xué)生的獲得而淺嘗輒止，而是利用更多的習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生去探究，在分析辯駁中再度推理，進(jìn)而獲得更廣泛的認(rèn)可，獲得更清晰的感悟，為知識(shí)的提煉提供更翔實(shí)的積累。讓學(xué)生推理出2倍關(guān)系，引導(dǎo)猜想3倍、4倍、甚至是1倍半等各類關(guān)系，使得學(xué)習(xí)不斷拓展，不斷延伸。同時(shí)，利用學(xué)生的猜想，用錯(cuò)例辯駁推理，不僅鞏固了既有的學(xué)習(xí)成果，也打消了學(xué)生隨意創(chuàng)造的念頭，更能培養(yǎng)學(xué)生大膽探究、勇于質(zhì)疑的意識(shí)，使邏輯思維能力的培養(yǎng)與辯證思維的啟蒙教育和諧統(tǒng)一。

三、比較歸納，在梳理中完善推理

演繹推理是由一般到特殊的思維方法，是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過(guò)程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的合情推理，進(jìn)而獲得相應(yīng)的證明思路、數(shù)學(xué)結(jié)論，從而加速認(rèn)知的有效建構(gòu)。同時(shí)，還要在教學(xué)中學(xué)會(huì)追問(wèn)，不斷敲打?qū)W生的思維，讓他們?cè)谌舾蓚€(gè)“為什么”中學(xué)會(huì)比較、學(xué)會(huì)梳理，最終促使學(xué)生學(xué)會(huì)在思辨中綜合、在探究處完善，養(yǎng)成“言而有據(jù)”的習(xí)慣，不斷提高學(xué)生的推理能力。

師：學(xué)習(xí)到現(xiàn)在，大家是不是有這樣的疑惑，為什么老師寫一個(gè)算式都符合我們的猜想，而你們自己卻不能百分之百寫出來(lái)呢？這些算式中到底還隱藏著怎樣的奧秘呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，還得從我們研究的算式入手，請(qǐng)大家再深入研究每一組算式的規(guī)律。

生：我們剛才不是都說(shuō)了嗎，就是每一個(gè)數(shù)字之間都是一定的倍數(shù)關(guān)系。

生：老師，我感覺(jué)十位上的數(shù)字乘另一個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字乘積相等。

生：是??！個(gè)位上好像也一樣。

師：是嗎！在看看算式，我們?cè)撛鯓油晟七@個(gè)結(jié)論呢？

生：兩位數(shù)乘兩位數(shù)，如果十位上的數(shù)字乘積等于個(gè)位上的數(shù)字乘積，它們就是對(duì)稱的兩位數(shù)，兩個(gè)“對(duì)稱”算式的積相等。

師：想一想這個(gè)同學(xué)的結(jié)論，再去舉例子驗(yàn)證一下！

……

師：今天學(xué)習(xí)這么有趣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)，我想告訴大家的是：每一種現(xiàn)象背后的結(jié)論是正確的還是錯(cuò)誤的已經(jīng)不重要了。你們知道重要的是什么嗎？

生：結(jié)論是不太重要，關(guān)鍵是我們要學(xué)會(huì)分析與思考。

生：是的，我們可以做出很多的猜想與推理，一定要學(xué)會(huì)舉例驗(yàn)證，更要學(xué)會(huì)與同學(xué)集體研究，集思廣益，讓我們的猜想更加合理，更加有道理。

師：是??！結(jié)論不是根本的目標(biāo)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就得學(xué)會(huì)研究，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)合作，更要學(xué)會(huì)合情推理，讓自己變得更聰明。我想，同學(xué)們可能會(huì)有這樣的聯(lián)想，兩位數(shù)乘法中存在著這樣的“對(duì)稱現(xiàn)象”，三位數(shù)、四位數(shù)乘法中是不是也有這樣的現(xiàn)象呢？加法呢？請(qǐng)同學(xué)們帶著疑問(wèn)走出今天的課堂。

上述的三則片段也許就是學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)寫照吧！從中我們應(yīng)深深體會(huì)到，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶有很多的合情推理，關(guān)鍵是我們的教師能否精準(zhǔn)掌控、靈動(dòng)引導(dǎo)，使學(xué)生充滿興趣地去探究，充滿活力地去思考。我希望，我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師要學(xué)會(huì)等待，善于引領(lǐng)，更應(yīng)學(xué)會(huì)科學(xué)地激勵(lì)學(xué)生去探索、去思考，從而讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)閃爍著智慧的光輝。

作者單位浙江省溫嶺市城西小學(xué)