羅招賢，　邵　雷，　虞文鵬

(1.江西經(jīng)濟管理干部學(xué)院,南昌　330088;　2.西安衛(wèi)星測控中心,西安　710043)

0　引言

利用天基預(yù)警衛(wèi)星跟蹤空間目標[1-6]的研究有很多，大致可以分為兩類：一類是基于彈道模板的跟蹤，在跟蹤前就已經(jīng)獲取彈道導(dǎo)彈的先驗信息，憑借單顆衛(wèi)星就能實現(xiàn)對彈道目標的跟蹤；另一類是基于運動學(xué)的跟蹤，在無先驗信息的條件下，根據(jù)彈道目標的運動特性建立符合該特性的運動方程，并通過觀測值實

時更新目標狀態(tài)?；趶椀滥０宓姆椒ㄐ枰嫶蟮膹椀缹?dǎo)彈數(shù)據(jù)庫以及較為精準的匹配算法作為支撐，而彈道導(dǎo)彈作為戰(zhàn)略層次的武器，向來是各國重點保護對象，想要獲取一個較為完備的彈道導(dǎo)彈數(shù)據(jù)庫極其困難，在現(xiàn)實中不具備可操作性，因此本文采用基于運動學(xué)的跟蹤方法。

由于衛(wèi)星采取無源探測方式，只能得到目標的角度信息，而無法獲得距離信息，可觀測性較弱，基于運動學(xué)的跟蹤方法需要雙星協(xié)同探測才能確定目標的三維空間位置。在雙星協(xié)同探測對多目標跟蹤[7-10]的過程中，目標航跡交叉會對跟蹤產(chǎn)生較大的影響，使得跟蹤發(fā)生異?，F(xiàn)象。針對此問題，本文提出基于二元多項式思想的量測方程構(gòu)造方法設(shè)計了BPGM-SME算法。在濾波算法方面，傳統(tǒng)的非線性濾波算法[11-12]包括無跡卡爾曼濾波(UKF)算法[13-16]和粒子濾波(PF)算法[17]，PF算法的缺點在于運算時間較長，無法滿足預(yù)警衛(wèi)星的實時性要求，UKF算法的運算實時性較好，但是由于預(yù)警衛(wèi)星的觀測性較弱，存在跟蹤精度低和收斂性差的問題，針對此問題，本文提出了基于迭代思想的UKF算法。

1　雙星可觀測性分析

天基紅外預(yù)警系統(tǒng)采用無源探測，至少同時需要兩顆衛(wèi)星才能求解目標的三維空間位置。雙星觀測幾何如圖1所示。

圖1　雙星觀測幾何Fig.1　Double satellite observation geometry

假設(shè)地心直角坐標系中衛(wèi)星s1，s2的位置分別為rs1=(xs1,ys1,zs1)T和rs2=(xs2,ys2,zs2)T，設(shè)目標T在地心直角坐標系中的位置為rc=(xc,yc,zc)T。列寫直線對稱式方程為

(1)

其中，es1=(ex1,ey1,ez1)T和es2=(ex2,ey2,ez2)T分別為衛(wèi)星對目標的單位視線向量。

將式(1)整理成矩陣形式，有

(2)

可簡寫為

F4×3rc,3×1=b3×1。

(3)

由式(3)可知，用4個方程求解3個參數(shù)，利用雙星可對目標三維空間定位。

2　狀態(tài)方程及觀測方程

2.1　狀態(tài)方程

本文在彈道導(dǎo)彈主動段模型中采用重力轉(zhuǎn)彎模型近似導(dǎo)彈運動。假設(shè)在地心直角坐標系中，導(dǎo)彈的位置矢量為rc，速度矢量為vc，建立運動方程，有

(4)

式中:‖·‖為矢量長度;αt為推力與空氣阻力合力產(chǎn)生的加速度;μ為地球引力常數(shù)。

建立重力轉(zhuǎn)彎運動模型，有

(5)

式中，βt為相對質(zhì)量損耗率。

對于主動段的彈道導(dǎo)彈，有狀態(tài)方程

(6)

式中：x=[x,y,z,vx,vy,vz,αt,βt]T為狀態(tài)向量，x,y,z分別表示地心直角坐標系中目標的坐標位置,vx,vy,vz為目標速度在地心直角坐標系各軸上的坐標分量,αt為軸向加速度；函數(shù)f[·]表示目標所采用的運動模型；w(t)表示建模的補償誤差。

2.2　觀測方程

設(shè)u1,v1為目標在某顆衛(wèi)星像平面坐標上的坐標，則有觀測向量z1=[u1,v1]T為

(7)

式中：h為常系數(shù)；ψ1為觀測角；ε1為方向夾角；g為重力加速度；a1為加速度；rc，rs1為觀測位置矢量。

u2，v2為目標在另一顆衛(wèi)星像平面坐標上的坐標，則有觀測向量z2=[u2,v2]T為

(8)

z=[u1,v1,u2,v2]T為觀測向量，有

z(t)=h1[x(t)]+v(t)

(9)

式中：h1[·]為映射函數(shù)；v(t)是觀測誤差。

3　算法設(shè)計

3.1　基于二元多項式思想的SME

3.1.1新量測方程

SME是基于多項式的思想得到的，以一維空間Kamen乘積和形式SME為例，新量測方程為

(10)

式中，xi為第i(i=1，2，…，N)個目標的位置在x軸上的坐標值，i=1,…,N。

構(gòu)造因式pi=s+xi得量測方程，有

(11)

式中，ai集合為Kamen乘積和形式SME即多項式系數(shù)。

進一步將SME方法推廣到二維空間，以二維Kamen乘積和形式SME為例，有

(12)

式中，xi，yi(i=1，2，…，N)分別是第i個目標的位置在x軸、y軸上的坐標值。

在二維空間中，同時跟蹤兩個目標，對兩個目標的量測量為z1=[x1,y1]T，z2=[x2,y2]T，有Kamen乘積和形式SME，為

(13)

為進一步消除量測過程中的“鬼點”，提出基于多項式分解的改進方法。構(gòu)造因式

qi=s+txi+yi

(14)

式中，xi，yi分別表示第i個目標的位置在x軸、y軸上的坐標值。有多項式

(15)

新量測集即為多項式系數(shù)bij所組成的集合，當N=2時，新量測可以表示為

(16)

當新量測集已知時，得到x軸和y軸的觀測集分別為{x1,x2}和{y1,y2}。假定此時，依然存在“鬼點”，則有

(17)

式(17)表明，當x1=x2或y1=y2時，會發(fā)生坐標間不明確關(guān)系。一旦x1=x2或y1=y2，集合{(x1,y1),(x2,y2)}與{(x1,y2),(x2,y1)}并沒有區(qū)別。由此可見，算法在改進后，“鬼點”現(xiàn)象得到有效抑制。

3.1.2觀測誤差協(xié)方差陣

假設(shè)在一維空間含誤差的原始量測值為

zi=xi+ui

(18)

式中：xi為真實值；ui為觀測誤差。

經(jīng)過hi對稱變換后的新量測誤差vi展開如下

vi=hi[(z1(k),z2(k),…，zN(k))-hi(x1(k),x2(k),…，xN(k))]=

(19)

設(shè)在新量測方程中，觀測誤差向量為V=[v1,…,vn]T，n為新量測方程個數(shù)，新觀測誤差協(xié)方差陣可以通過R=E[VVT]求得。

定理1假設(shè)u=[u1,…,um]T～N(μ,Σ)，Σ為m×m的半正定矩陣，對于非負整數(shù)s1,…,sm，有

(20)

針對新觀測方程，將零均值高斯白噪聲設(shè)為在初始時刻的觀測向量誤差u=[ux1,ux2,uy1,uy2]T，并且該誤差滿足獨立同分布，則

(21)

R=E[VVT]=σ2H(x1,x2,y1,y2)H(x1,x2,y1,y2)T+
diag(0,0,σ4,σ4,2σ4)

(22)

式中，H(x1,x2,y1,y2)是h(x1,x2,y1,y2)的Jacob陣。

由式(21)、式(22)可以看出，利用泰勒展開公式求解觀測誤差協(xié)方差陣的過程較為復(fù)雜，一旦量測方程的表達式發(fā)生變化，相應(yīng)的誤差協(xié)方差陣也需要作出調(diào)整。

3.2　基于迭代思想的UKF算法

濾波算法是跟蹤過程中的重要環(huán)節(jié)，經(jīng)典算法有UKF和PF。其中，UKF算法運算時間適中，跟蹤精度較高且應(yīng)用較廣,但是在應(yīng)用過程中也存在一些問題，比如，跟蹤時有時存在收斂性不佳的缺點，表現(xiàn)為跟蹤誤差忽高忽低。為改善UKF算法收斂性，同時提高跟蹤精度，本文提出基于迭代思想的UKF算法，其迭代步驟如下所述。

2) 令j=1，重新生成Sigma點

(23)

式中，λ為采樣間隔系數(shù)。

3) 預(yù)測新狀態(tài)與協(xié)方差陣

(24)

(25)

4) 預(yù)測觀測值

(26)

(27)

5) 計算協(xié)方差矩陣和增益矩陣

(28)

(29)

(30)

6) 更新狀態(tài)和協(xié)方差陣

(31)

(32)

(33)

Pk+1|k+1=Pk+1|k+1,j。

(34)

4　仿真分析

在星下點為-30°E，30°E分別布置一顆GEO衛(wèi)星，命名為GEO1和GEO2，兩顆預(yù)警衛(wèi)星對共同覆蓋區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的目標進行監(jiān)視與跟蹤，兩個目標信息如表1所示。

表1　目標的發(fā)射參數(shù)

在兩顆預(yù)警衛(wèi)星的像平面上分別采用BPGM-SME算法進行跟蹤，估計效果如圖2所示。

圖2　衛(wèi)星像平面上估計效果圖Fig.2　Satellite estimation on the plane of the rendering

由圖2可以看出，在兩顆預(yù)警衛(wèi)星的像平面上兩個目標的臨近程度雖然有所差別，但采用BPGM-SME算法都能得到較好的跟蹤效果。統(tǒng)計跟蹤誤差如圖3所示。

圖3　跟蹤誤差圖Fig.3　The tracking errors

從圖3可看出，兩顆衛(wèi)星對同一個目標的跟蹤誤差有所不同，這是由目標與衛(wèi)星的幾何關(guān)系決定的，在GEO1像平面上，目標1的跟蹤誤差比目標2要小，但在GEO2像平面上，對目標2的跟蹤效果比目標1要更好一些。根據(jù)前文設(shè)計的跟蹤流程，將數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)前置于像平面，因此，在像平面跟蹤完畢后，各個目標在像平面上的位置就已經(jīng)確定，而且可以用估計值代替觀測值，從而轉(zhuǎn)化為雙星協(xié)同探測下的單目標跟蹤。根據(jù)雙星協(xié)同探測的跟蹤流程，對兩個目標的三維空間狀態(tài)進行跟蹤，目標真實位置以及跟蹤結(jié)果如圖4所示。

圖4　目標真實值與估計值Fig.4　The real value and estimated value of targets

分別采用UKF和迭代UKF(IUKF)進行跟蹤，跟蹤誤差如圖5所示。

圖5　各算法跟蹤誤差Fig.5　Tracking errors of different algorithms

從圖4和圖5可看出，基于雙星探測的跟蹤方法能夠較為穩(wěn)定地跟蹤兩個目標，并且兩種濾波算法的跟蹤精度都比較高，相比而言IUKF算法的收斂性更突出一些，因此，整體的跟蹤精度也更高。

5　結(jié)論

本文為了解決雙星協(xié)同探測對多目標跟蹤的過程中目標航跡交叉和濾波算法的跟蹤收斂性差問題，提出了基于二元多項式SME算法和迭代UKF濾波算法，仿真結(jié)果表明：

1) 當像平面觀測過程中存在多目標航跡交叉時，采用BPGM-SME算法可以取得較好的跟蹤效果；

2) 采用BPGM-SME算法對目標的跟蹤過程中，跟蹤效果好壞與目標和衛(wèi)星間的幾何關(guān)系有關(guān)；

3) 相比于傳統(tǒng)的UKF算法，采用迭代UKF算法對目標進行跟蹤時，在保證實時性的前提下，能夠取得更好的收斂性效果和跟蹤精度，能夠滿足預(yù)警衛(wèi)星跟蹤目標的實時性和精確性要求。

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