鄭婷婷 楊旭升 張文安 俞立

目標(biāo)跟蹤在軍事國防、環(huán)境監(jiān)測、城市交通、家庭服務(wù)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.隨著微電子技術(shù)、通信技術(shù)的發(fā)展,無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(Wireless sensor networks,WSNs)在移動目標(biāo)跟蹤或定位中的應(yīng)用得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[1?5].WSNs利用大量分散節(jié)點(diǎn)對移動目標(biāo)進(jìn)行協(xié)同感知,并提供豐富的環(huán)境信息以及準(zhǔn)確的定位服務(wù).

在移動目標(biāo)的跟蹤過程中,通常采用無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman filter,UKF)方法[6?7]來處理系統(tǒng)中存在的非線性濾波問題.然而,由于UKF方法能擬合的階數(shù)十分有限,在濾波過程中會引入較大的線性化誤差,從而影響濾波器的性能.文獻(xiàn)[8]提出了迭代無跡卡爾曼濾波(Iterated UKF,IUKF)方法,其通過多次量測迭代可一定程度地減小線性化誤差以提高系統(tǒng)的濾波精度.此外,文獻(xiàn)[9]證明了迭代卡爾曼濾波(Iterated Kalmanfilter,IKF)方法中的量測迭代過程可看作是一種高斯–牛頓迭代過程,因此只有當(dāng)初始的狀態(tài)估計值足夠接近真實值時,才能保證濾波器全局收斂.為減少線性化誤差與數(shù)值計算誤差的影響,文獻(xiàn)[10]提出了一種漸進(jìn)高斯濾波(Progressive Gaussianfilter,PGF)方法,該方法根據(jù)貝葉斯法則構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)的同倫函數(shù),在量測更新過程中,漸進(jìn)地引入當(dāng)前觀測信息,進(jìn)而得到系統(tǒng)的后驗狀態(tài).進(jìn)一步,文獻(xiàn)[11]將文獻(xiàn)[10]提出的方法推廣至多維情況,采用混合Dirac模型對連續(xù)的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)進(jìn)行離散化.該方法無需假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)與量測間的聯(lián)合概率密度函數(shù)服從高斯分布,可取得比線性回歸卡爾曼濾波(Linear regression Kalman filter,LRKF)[12?13]方法精度更高的估計結(jié)果.然而,它的濾波性能取決于粒子數(shù)目,其時間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度都將隨粒子數(shù)目增加而增加.針對高斯濾波問題,通?？梢圆捎么_定性采樣的方式對其進(jìn)行近似,從而有效地減少系統(tǒng)的計算復(fù)雜度.這類濾波方法稱為高斯近似濾波(Gaussian approximate filter,GAF)方法,典型的有無跡卡爾曼濾波方法、容積卡爾曼濾波[14?15]方法等.在高斯?jié)u進(jìn)濾波框架下,文獻(xiàn)[16]提出了一種漸進(jìn)高斯近似濾波算法,其估計精度高于現(xiàn)有的IKF方法和GAF方法.盡管通過多次“量測迭代”可一定程度地減小線性化誤差與數(shù)值計算誤差的影響,但現(xiàn)有的方法并沒有充分考慮到線性化誤差或數(shù)值計算誤差的補(bǔ)償問題,易導(dǎo)致量測迭代的次數(shù)過多,進(jìn)而產(chǎn)生過自信的估計結(jié)果.

另一方面,傳感器的故障、失效等情況將引起量測信息缺失.特別地,WSNs環(huán)境下的目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)不可避免地存在時延、丟包等通信不確定性問題,這將加劇量測信息的不確定性.針對非線性的目標(biāo)跟蹤問題,某一采樣時刻的量測信息缺失將使得系統(tǒng)的線性化誤差與數(shù)值計算誤差增大,導(dǎo)致濾波器性能下降甚至濾波發(fā)散.文獻(xiàn)[17]對擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的局部收斂性進(jìn)行分析并給出濾波器漸進(jìn)收斂的充分條件,同時指出合理的量測噪聲協(xié)方差設(shè)計可擴(kuò)大其吸引域進(jìn)而有助于濾波器的收斂.進(jìn)一步,針對一般的離散時間系統(tǒng),文獻(xiàn)[18]由李雅普諾夫的遞減條件導(dǎo)出一個線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI),通過選取滿足LMI的過程噪聲協(xié)方差以確保濾波器的穩(wěn)定性.對一類僅狀態(tài)模型非線性的系統(tǒng),文獻(xiàn)[19]提出了一種改進(jìn)的UKF方法并證明其狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界,同時指出偏大的過程噪聲協(xié)方差有利于濾波器的穩(wěn)定.然而,在迭代卡爾曼濾波方法中,其量測迭代次數(shù)往往很難控制.特別地,過多的量測迭代次數(shù)反而破壞濾波器的穩(wěn)定性.因此,量測迭代過程中濾波器的穩(wěn)定性或收斂性問題有待進(jìn)一步地研究.

本文考慮一類WSNs環(huán)境中存在量測信息缺失的目標(biāo)跟蹤問題,提出了一種高斯?jié)u進(jìn)框架下的目標(biāo)跟蹤方法.本文的主要工作在于:1)為避免錯誤的量測信息對系統(tǒng)的不利影響,通過假設(shè)檢驗[20?21]對量測信息進(jìn)行有效地篩選;2)分析了高斯?jié)u進(jìn)濾波框架中的漸進(jìn)過程,采用MPUKF方法以處理由量測信息缺失引起的線性化誤差、數(shù)值計算誤差增大的問題;3)通過對MPUKF方法的穩(wěn)定性分析,證明其漸進(jìn)過程中的狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界.仿真結(jié)果表明,相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法具有更好的跟蹤性能.

1 問題描述

考慮一類WSNs環(huán)境下的多傳感器協(xié)同目標(biāo)跟蹤問題.如圖1所示,將WSNs應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng),一方面可使得多個傳感器協(xié)同工作,彌補(bǔ)了單個傳感器感知范圍有限的缺點(diǎn),另一方面也帶來了多個傳感器覆蓋范圍切換的問題.如圖2所示,在目標(biāo)跟蹤過程中,可能會存在傳感器間的相互干擾以及故障等問題.同時,由于WSNs的引入還帶來了時延、丟包等通信不確定性問題.如圖3所示,無論是網(wǎng)絡(luò)還是傳感器節(jié)點(diǎn)自身所引起的量測不確定性問題,都可能使系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差增大,從而加劇線性化誤差.特別地,當(dāng)線性化誤差超過濾波器承受范圍時,將導(dǎo)致濾波器性能下降甚至濾波發(fā)散.

圖1 多傳感器目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of multi-sensor target tracking systems

圖2 多傳感器融合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of multiple sensor fusion systems

圖3 量測信息缺失對線性化誤差的影響Fig.3 Linearization error caused by measurement loss

假設(shè)移動目標(biāo)的運(yùn)動學(xué)模型可以描述如下:

假設(shè)WSNs中有N個無線傳感器節(jié)點(diǎn),其觀測模型可描述為

其中,表示k時刻傳感器節(jié)點(diǎn)i的量測值,即其與移動目標(biāo)間的距離值.xi為傳感器節(jié)點(diǎn)i的位置坐標(biāo),分別為其在x軸與y軸上的坐標(biāo)值.量測噪聲的均值為零,協(xié)方差為,并且與過程噪聲wk無關(guān).為干擾信號,用于表示移動目標(biāo)超出傳感器節(jié)點(diǎn)感知范圍以及傳感器故障等情況.α表示發(fā)生故障的概率,β表示發(fā)生量測信息丟失的概率,其服從0?1伯努利分布,和.

注1.在實際應(yīng)用中,傳感器的感知范圍往往有限,如超聲波傳感器、激光傳感器等.若移動目標(biāo)超出傳感器節(jié)點(diǎn)的感知范圍,傳感器節(jié)點(diǎn)將可能返回?zé)o效的量測數(shù)據(jù).另一方面,WSNs帶來的時延、丟包等通信不確定性問題易導(dǎo)致量測信息的缺失.為此,在觀測模型中引入隨機(jī)變量β、α來描述可能存在的量測信息錯誤、失效以及缺失等情況.

2 MPUKF濾波算法

2.1 高斯?jié)u進(jìn)濾波方法

在目標(biāo)跟蹤過程中,考慮存在傳感器故障或相互干擾等情況,采用假設(shè)檢驗剔除錯誤的量測信息以提高濾波器的穩(wěn)定性.記量測新息序列為

其相應(yīng)的協(xié)方差為

并定義馬氏距離的平方γk為

根據(jù)新息序列ek的高斯性,馬氏距離的平方γk服從相應(yīng)維度的卡方分布,即

其中,Pr(·)表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率,α為顯著性水平,為1?α的置信界.當(dāng)零假設(shè)被拒絕或新息序列落在1?α置信界外時,則認(rèn)為發(fā)生傳感器故障等情況.

若當(dāng)前時刻的量測信息缺失或錯誤信息被拒絕,濾波器僅能根據(jù)先驗信息對移動目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行估計.在下一個估計周期,二次預(yù)測將可能導(dǎo)致系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差增大,即.進(jìn)一步,對量測值進(jìn)行泰勒展開,即

不難發(fā)現(xiàn),多次迭代預(yù)測易引起線性化誤差的增大.同樣地,如圖4所示,這將導(dǎo)致系統(tǒng)的先驗概率密度函數(shù)更加偏離似然函數(shù),使其重合部分變小.特別地,若量測噪聲協(xié)方差較小,會進(jìn)一步地減少其重合部分.這樣,僅有少量的采樣粒子對積分過程有作用[10?11],使系統(tǒng)的數(shù)值計算誤差增大.為此,引入高斯?jié)u進(jìn)濾波結(jié)構(gòu)來有效地增加“重合部分”,從而減小數(shù)值積分過程中的計算誤差.

根據(jù)貝葉斯法則,系統(tǒng)狀態(tài)的后驗分布可表示為:

圖4 似然函數(shù)與先驗概率密度函數(shù)示意圖Fig.4 Diagram of likelihood function and prior probability density function

引入漸進(jìn)參數(shù)λ,由上式構(gòu)造如下的同倫函數(shù):

當(dāng)λ從0到1連續(xù)變化時,同倫函數(shù)定義了從先驗分布(λ=0)到后驗分布(λ=1)變化過程中的概率分布.其漸進(jìn)過程又可表示成

其中,?=1/N,經(jīng)過N次迭代之后,最終得到系統(tǒng)的后驗概率分布.如圖5所示,系統(tǒng)通過同倫函數(shù)遞推的方式,可漸進(jìn)地引入量測信息對先驗概率密度函數(shù)進(jìn)行修正,有效地利用中間后驗概率密度函數(shù),從而抑制數(shù)值計算誤差的增大.

圖5 同倫函數(shù)遞推過程示意圖Fig.5 The homotopy function recursive process diagram

2.2 MPUKF方法設(shè)計

MPUKF方法主要由假設(shè)檢驗與系統(tǒng)狀態(tài)迭代更新兩個部分組成.在狀態(tài)迭代更新過程中,系統(tǒng)漸進(jìn)地引入量測信息對當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行修正,即通過多次量測迭代得到對應(yīng)時刻的后驗狀態(tài).為減少迭代過程中的計算量,假設(shè)系統(tǒng)的先驗概率密度函數(shù)與似然函數(shù)服從高斯分布,進(jìn)而根據(jù)貝葉斯法則推導(dǎo)出其后驗概率密度函數(shù)服從高斯分布.類似地,在系統(tǒng)量測漸進(jìn)過程中,同樣假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)與量測間的聯(lián)合概率密度函數(shù)服從高斯分布,得到λ+?時刻的聯(lián)合高斯分布為

其中,

選取迭代步長?=1/N,用i+1與i分別表示λ+?與λ,并通過狀態(tài)迭代更新得到對應(yīng)時刻的后驗狀態(tài).

然而,系統(tǒng)中增大的線性化誤差與數(shù)值計算誤差將引起量測信息的“可信度”降低.特別地,當(dāng)量測噪聲協(xié)方差較小時,線性化誤差與數(shù)值計算誤差更易破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而產(chǎn)生不相容[22?23]的估計結(jié)果.因此,為防止出現(xiàn)過估計的情況,引入判定條件

算法1.MPUKF算法

注2.為了便于非線性卡爾曼濾波器的實現(xiàn),通常假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測誤差正交于量測噪聲,即E.類似地,在MPUKF方法的漸進(jìn)過程中,同樣認(rèn)為系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差正交于量測噪聲,即.

注3.在非線性濾波過程中,線性化誤差通常是不可避免的.過程噪聲大小、采樣間隔以及非線性強(qiáng)度都將影響線性化誤差的大小.特別地,當(dāng)某一時刻的量測信息缺失時(可看作采樣間隔增大),將可能造成線性化誤差的增大.MPUKF方法可有效地減小線性化誤差,同時提高系統(tǒng)對不同線性化誤差的自適應(yīng)能力,進(jìn)而改善濾波器性能.此外,該方法同樣適用于其他因素引起的線性化誤差過大而導(dǎo)致濾波器性能下降的情況.

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本節(jié)將通過李雅普諾夫方法對漸進(jìn)量測更新過程中的穩(wěn)定性問題進(jìn)行分析.在這之前，首先介紹一些重要的變量和等式.將進(jìn)行泰勒展開,根據(jù)UT變換并結(jié)合文獻(xiàn)[6]中的式(69)～(78)可得

記第i次量測迭代后的狀態(tài)估計誤差為

并由式(3)可得

下面將通過定理1證明量測漸進(jìn)過程中的估計誤差有界.

定理1.若存在實數(shù),使未知的對角矩陣滿足

同時滿足條件(20),則系統(tǒng)的狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界.

證明.選取李雅普諾夫函數(shù)為

同時,由條件(20)可有

整理上式可得

進(jìn)而有

由文獻(xiàn)[24]中的定理2可知

并結(jié)合式(30)有

進(jìn)一步,整理上式有

以此類推,最終可得

由式(27)可知

因此,在線性化誤差有界的情況下,條件(20)可保證李雅普諾夫函數(shù)單調(diào)遞減,使得狀態(tài)估計誤差在均方意義下有界,從而證明了漸進(jìn)量測更新過程的穩(wěn)定.

3 仿真結(jié)果與分析

為驗證MPUKF方法的合理性與有效性,本文通過一個目標(biāo)跟蹤的仿真實例,在由3個測距傳感器組成的WSNs環(huán)境中,對比IUKF,PUKF以及MPUKF方法的濾波效果.考慮在目標(biāo)跟蹤過程中可能存在傳感器故障、失效以及相互干擾等情況,采用如式(2)的觀測模型并假設(shè)移動目標(biāo)的運(yùn)動學(xué)模型如下

其中,系統(tǒng)的周期采樣時間?t=1s,過程噪聲wk與量測噪聲vk對應(yīng)的協(xié)方差分別為Qk=0.0012I4×4,Rk=2×10?3I3×3. 設(shè)初始真實狀態(tài)向量及其初始誤差協(xié)方差.同時,狀態(tài)估計的初始值根據(jù)隨機(jī)選取并取發(fā)生故障的概率Pr{α=1}=0.1和發(fā)生量測信息丟失的概率Pr{β=0}=0.2.

為便于仿真結(jié)果分析與比較,定義位置與速度的誤差指標(biāo)(Logarithmic mean square erros,LMSEs)為:

其中,M為仿真次數(shù),xk和yk分別為移動目標(biāo)在x軸和y軸上的真實值,k|k和k|k為對應(yīng)的估計值.

圖6、圖7分別給出IUKF,PUKF與MPUKF方法的MC仿真LMSEpos與LMSEvel的誤差分布曲線.顯而易見,MPUKF方法的跟蹤精度高于IUKF,PUKF方法.在目標(biāo)移動的過程中,增大的估計誤差會引入較大的線性化誤差,從而導(dǎo)致濾波器的性能下降.相比于IUKF方法與PUKF方法,MPUKF方法能夠很好地處理線性化誤差、數(shù)值計算誤差增大的問題.因此,隨仿真步數(shù)的增加,MPUKF方法的性能明顯優(yōu)于IUKF方法與PUKF方法.

進(jìn)一步,表1給出了各個濾波器對應(yīng)的LMSEs均值,其中MPUKF方法的LMSEs均值最小.此外,將上述算例中的IUKF、PUKF以及MPUKF方法的執(zhí)行時間進(jìn)行對比.由表2可知,在相同的迭代次數(shù)下,MPUKF方法的耗時明顯小于IUKF方法與PUKF方法,具有更高的計算效率.

表1 各濾波器LMSEpos與LMSEvel的均值Table1 Mean of LMSEposand LMSEvel

圖6 各濾波器MC仿真LMSEpos的誤差分布曲線Fig.6 LMSEposdistribution from Monte Carlo runs

圖7 各濾波器MC仿真LMSEvel的誤差分布曲線Fig.7 LMSEveldistribution from Monte Carlo runs

表2 各濾波器平均執(zhí)行時間Table 2 Average running time

4 結(jié)論

本文提出了一種高斯?jié)u進(jìn)濾波框架下的目標(biāo)跟蹤方法.該方法通過假設(shè)檢驗對量測信息進(jìn)行篩選,避免錯誤的量測信息對系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響.采用MPUKF方法可有效地減小線性化誤差與數(shù)值計算誤差,同時提高系統(tǒng)對不同線性化誤差的自適應(yīng)能力.另外,通過對濾波器穩(wěn)定性的分析,證明了在線性化誤差有界的情況下,MPUKF方法可保證漸進(jìn)過程中的狀態(tài)估計誤差有界.