李 軒,方錦江，單桂曄,b，高志華,b

(東北師范大學(xué)a.物理學(xué)院;b.物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(東北師范大學(xué)),吉林 長(zhǎng)春 130024)

聲速測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的基本題目，對(duì)學(xué)生深入理解振動(dòng)疊加和駐波的相關(guān)理論知識(shí)以及聲音傳播的衰減現(xiàn)象有著重要作用． 駐波法和相位比較法是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量聲速的常用方法[1]. 駐波法是利用聲波在發(fā)射器和接收器之間形成駐波，首先測(cè)量相鄰波腹的間距得到波長(zhǎng)，進(jìn)而結(jié)合信號(hào)頻率得到聲速；相位比較法則將接收器的接收信號(hào)視為行波，利用聲波相位隨傳播距離而滯后現(xiàn)象，通過比較接收器接收信號(hào)和發(fā)射器的發(fā)射信號(hào)的相位，測(cè)量出接收器接收信號(hào)的相位變化2π時(shí)移動(dòng)的距離得到波長(zhǎng)，進(jìn)而得到聲速． 目前，關(guān)于駐波法測(cè)量聲速存在的問題已有較多研究，如：由于聲波在傳輸過程中存在衰減使得接收器的接收信號(hào)振幅極大值隨著收、發(fā)換能器間距增大而變小，且最小值不為零[2-4]；由于聲波在收、發(fā)換能器間發(fā)生多次反射使得接收到的信號(hào)振幅極大值產(chǎn)生強(qiáng)弱交替分布的現(xiàn)象[5-6]；另外，研究還發(fā)現(xiàn)接收器接收到的信號(hào)為聲壓信號(hào)而不是振動(dòng)信號(hào)[7]． 由于相位比較法利用兩路信號(hào)同相或反相時(shí)李薩如圖形合成一條直線段，通常被認(rèn)為該方法測(cè)量聲速更加準(zhǔn)確[3-4]，目前對(duì)于相位比較法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)存在的問題研究較少． 實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，得到的李薩如圖形變化規(guī)律與理論預(yù)期并不一致，尤其當(dāng)收、發(fā)換能器間距較小時(shí)，兩信號(hào)合成的直線段在一個(gè)象限內(nèi)會(huì)連續(xù)多次出現(xiàn)． 這對(duì)判斷兩信號(hào)的同相和反相狀態(tài)造成嚴(yán)重影響，使得聲速測(cè)量誤差較大． 本文通過理論計(jì)算研究了聲波的傳輸衰減、換能器表面反射系數(shù)以及聲波在收、發(fā)換能器之間往復(fù)反射次數(shù)對(duì)聲速測(cè)量的影響．

1 相位比較法測(cè)量聲速原理

利用相位比較法測(cè)量聲速裝置如圖1所示．將信號(hào)發(fā)生器的信號(hào)分別輸入示波器X輸入端和發(fā)射換能器，當(dāng)信號(hào)頻率達(dá)到超聲換能器共振頻率時(shí)，換能器輻射聲波最強(qiáng)． 接收器接收超聲波聲壓信號(hào)并將其轉(zhuǎn)換為電信號(hào)輸入示波器的Y通道，在示波器中可以觀察到兩信號(hào)合成的李薩如圖形，由于兩信號(hào)頻率相同，因而李薩如圖形為橢圓． 通過改變接收器的位置可改變接收器信號(hào)的相位，從而得到不同的李薩如圖形． 理論上，當(dāng)兩信號(hào)的相位差為2kπ時(shí)(同相)，合振動(dòng)軌跡在一、三象限形成一條直線，當(dāng)兩信號(hào)的相位差為(2k+1)π時(shí)(反相)，合振動(dòng)軌跡為二、四象限的一條直線，其中k為整數(shù)，連續(xù)2次同相或反相對(duì)應(yīng)接收器的移動(dòng)距離為1個(gè)波長(zhǎng)λ．

圖1 相位比較法測(cè)量聲速原理圖

n=0,1,2,…

(1)

n=0,1,2,…

(2)

其中，A0為信號(hào)最初振幅，λ為聲波波長(zhǎng)，ω為角頻率. 聲場(chǎng)中各處的振動(dòng)為

(3)

根據(jù)聲學(xué)理論可得到各處的聲壓波動(dòng)方程為[8]

(4)

其中ks為空氣的絕熱體變彈性模量． 李薩如圖形的軌跡為

(5)

2 計(jì)算結(jié)果與分析

相位比較法測(cè)量聲速,發(fā)射器和接收器信號(hào)合成的李薩如圖形為橢圓． 當(dāng)兩信號(hào)的相位差為kπ(同相或反相),橢圓的短半軸為0；當(dāng)兩信號(hào)相位差為(2k+1)π/2時(shí)，橢圓的短半軸最大，式中k取整數(shù)． 隨著兩信號(hào)的相位差變化橢圓短半軸經(jīng)歷極大-極小-極大的周期性變化． 為了清楚地描述李薩如圖形隨接收器位置的變化的周期性，采用橢圓短半軸描述兩信號(hào)的相位差變化的周期性, 圖2為兩信號(hào)振幅相同時(shí)橢圓短半軸與兩信號(hào)相位差數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中,圖2(a)為合成橢圓的短半軸隨接收器位置變化曲線，當(dāng)短半軸為0時(shí)，對(duì)應(yīng)兩信號(hào)同相[圖2(b)]或反相[圖2(c)]; 當(dāng)短半軸取值極大時(shí)，對(duì)應(yīng)兩信號(hào)相位差為π/2的奇數(shù)倍圖2(d)． 圖2中收、發(fā)換能器間距采用實(shí)際距離除以波長(zhǎng)表示，即D/λ．

圖2 橢圓短半軸與相位差對(duì)應(yīng)關(guān)系

2.1 接收器接收的聲壓信號(hào)模擬分析

超聲聲速儀的發(fā)射器和接收器由壓電陶瓷制作而成. 發(fā)射器利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，壓電陶瓷環(huán)片在交變電壓作用下，發(fā)生縱向機(jī)械振動(dòng)，在空氣中激發(fā)超聲波，把電信號(hào)轉(zhuǎn)變成聲信號(hào). 接收器利用的是壓電材料的壓電效應(yīng)，空氣振動(dòng)使壓電陶瓷環(huán)片發(fā)生機(jī)械形變，從而產(chǎn)生電場(chǎng)，把聲信號(hào)轉(zhuǎn)變成電信號(hào). 由于學(xué)生對(duì)超聲換能器比較陌生，對(duì)聲換能器的接收信號(hào)也缺乏了解，很多學(xué)生誤認(rèn)為超聲聲速儀的接收器接收到的空氣分子的振動(dòng)信號(hào)． 當(dāng)不考慮換能器轉(zhuǎn)換信號(hào)所造成的延遲，根據(jù)式(4)可知，聲壓信號(hào)比振動(dòng)信號(hào)的相位滯后π/2, 為了直觀地表明這種差異，模擬了無傳輸衰減的聲波振動(dòng)信號(hào)、有傳輸衰減振動(dòng)信號(hào)和有傳輸衰減聲壓信號(hào)分別相對(duì)于發(fā)射信號(hào)的相位差隨收、發(fā)換能器間距增加的變化規(guī)律，衰減系數(shù)取為α=0.02 dB/mm[6]，信號(hào)頻率設(shè)為40 kHz，結(jié)果如圖3所示． 可見，傳輸衰減不能改變信號(hào)的振動(dòng)周期，雖然接收器處的聲壓信號(hào)和空氣分子振動(dòng)信號(hào)存在相位差，但兩信號(hào)的周期性完全相同，因而利用聲壓信號(hào)測(cè)量聲速是合理的．

圖3 聲壓信號(hào)與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)信號(hào)對(duì)李薩如圖形影響

2.2 信號(hào)往復(fù)傳播疊加次數(shù)對(duì)李薩如圖形的影響

利用相位比較法測(cè)量聲波波長(zhǎng)時(shí)，示波器X輸入信號(hào)為發(fā)射器的輸入信號(hào)x(0,t)，Y輸入為接收器的聲壓信號(hào)，由于聲波的傳輸衰減，接收器的聲壓信號(hào)p(x,t)的振幅隨著接收器與發(fā)射器的距離增大而逐漸減小. 若保持示波器信號(hào)各通道的衰減不變，則兩信號(hào)同相和反相時(shí)觀察到直線段隨著收、發(fā)換能器間距增大，長(zhǎng)度將逐漸減小，與水平軸夾角逐漸減小，這些不會(huì)引起測(cè)量誤差． 然而，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，接收器和發(fā)射器間距在λ內(nèi)出現(xiàn)的同相和反相的次數(shù)之和多于2，如圖4所示，其中圖4(a)～(e)為同相，圖4(f)～(i)為反相． 在接收器移動(dòng)1個(gè)波長(zhǎng)李薩如圖形接近直線的情況出現(xiàn)9次，這與理論分析矛盾，分析造成這一現(xiàn)象的原因，可使學(xué)生避免實(shí)驗(yàn)測(cè)量出現(xiàn)錯(cuò)誤，加深學(xué)生對(duì)波的疊加規(guī)律的理解.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

(i) (j)圖4 相位比較法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

根據(jù)式(3)～(4)可知，當(dāng)n取不同值時(shí)，聲壓信號(hào)是由振幅不同的正弦和余弦函數(shù)相加得到，其合成的李薩如圖形隨接收器位置移動(dòng)變化復(fù)雜. 不同往復(fù)疊加次數(shù)n的取值對(duì)合成李薩如圖形的影響如圖5所示. 圖5中列出n=0,n=1和n=7時(shí)橢圓短半軸隨收、發(fā)換能器間距增加的變化情況． 傳輸衰減系數(shù)取為20 dB/m，反射系數(shù)取0.8.

圖5 反射次數(shù)對(duì)李薩如圖形的影響

比較圖5中3條曲線可知，當(dāng)接收器位置一定，隨著n增加，合成橢圓的短半軸極大值逐漸增大，這是由于信號(hào)往返次數(shù)越多，到達(dá)接收器的能量越大，而往返次數(shù)越少，到達(dá)接收器的信號(hào)能量越少． 另外，當(dāng)計(jì)入的往返次數(shù)足夠多時(shí)(N=7)，在收、發(fā)換能器間距較小時(shí)(小于λ/2)，橢圓短半軸的數(shù)值在極小值附近出現(xiàn)多次反復(fù)，與圖4所示現(xiàn)象相一致. 隨著收、發(fā)換能器間距增大，這種現(xiàn)象逐漸減弱消失． 可見，由于聲波信號(hào)在收、發(fā)換能器間多次往返，使得合成的李薩如圖形變化復(fù)雜，反射次數(shù)越多對(duì)實(shí)驗(yàn)影響越大． 因此，利用相位比較法測(cè)量聲速時(shí)，可采取措施減少聲波在收、發(fā)換能器間反射次數(shù)，測(cè)量時(shí)避開收、發(fā)換能器間距較小的位置．

2.3 換能器表面反射系數(shù)對(duì)李薩如圖形的影響

由于超聲換能器的制作材料、使用狀況不同，表面的清潔和光滑程度存在差異，因而對(duì)聲波的反射系數(shù)不同． 反射系數(shù)決定了信號(hào)多次往復(fù)疊加的能量大小，因而影響李薩如圖形形狀． 圖6列出了換能器反射系數(shù)分別為0.6，0.8和1.0時(shí)，橢圓短半軸隨收、發(fā)換能器間距的變化，圖中α=20 dB/m,n=7．

由圖6中可知，隨換能器表面反射系數(shù)增大，接收器接收信號(hào)能量增強(qiáng)，橢圓短半軸極大值逐漸增大，這有利于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)；對(duì)于不同換能器表面反射系數(shù)，橢圓短半軸極大值出現(xiàn)的位置相同；當(dāng)收、發(fā)換能器間距較小(小于λ)時(shí)，換能器表面反射系數(shù)越大，接收器信號(hào)與發(fā)射信號(hào)同相或反相狀態(tài)連續(xù)出現(xiàn)的現(xiàn)象越明顯，且維持的空間范圍也越大，隨收、發(fā)換能器間距增大該現(xiàn)象逐漸消失． 可見，換能器表面反射系數(shù)大使得李薩如圖形變得復(fù)雜，不利于實(shí)驗(yàn)測(cè)量，為避免同相和反相狀態(tài)連續(xù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，可采取措施適當(dāng)減小換能器表面的反射系數(shù)，使其既能有效反射聲波又能避免此現(xiàn)象的影響，另外，避開收、發(fā)換能器間距較小的區(qū)域進(jìn)行測(cè)量也是有效方法．

圖6 反射系數(shù)對(duì)李薩如圖形的影響

2.4 聲波傳輸衰減對(duì)李薩如圖形的影響

聲波在介質(zhì)中的傳輸衰減包括介質(zhì)的吸收衰減和由于聲波發(fā)射產(chǎn)生的幾何衰減，實(shí)驗(yàn)中由于收、發(fā)換能器間距較小，且兩換能器采用正對(duì)的方式，因此，可忽略聲波的幾何衰減． 空氣吸收衰減系數(shù)越大，接收器接收的疊加聲波信號(hào)幅值越小，在相同的收、發(fā)換能器間距上，反射次數(shù)越多幅值越小，合成的直線段長(zhǎng)度極大值和傾角隨著收、發(fā)換能器間距改變而改變． 圖7列出了當(dāng)α分別取1,10,20 dB/m時(shí)合成橢圓短半軸隨收、發(fā)換能器間距的變化情況． 為方便比較，將10 dB/m 和20 dB/m曲線做了向上平移．此處β=0.8，n=7．

圖7 反射系數(shù)對(duì)李薩如圖形的影響

由圖7可以看出，當(dāng)聲波傳輸衰減系數(shù)較小(1 dB/m)時(shí)，兩信號(hào)同相或近同相和反相或近反相連續(xù)出現(xiàn)的現(xiàn)象更明顯，且保持的空間范圍更大，這對(duì)會(huì)造成學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的誤判. 當(dāng)接收器位置一定時(shí)，聲波傳輸衰減系數(shù)越大，合成橢圓短半軸極大值越小，李薩如圖形越小，因此不利于實(shí)驗(yàn)信號(hào)觀測(cè)，通過調(diào)節(jié)示波器的信號(hào)衰減倍數(shù)，可使圖形變大利于觀測(cè)． 隨著收、發(fā)換能器間距增加，上述現(xiàn)象逐漸消失，但是由于聲波信號(hào)衰減，李薩如圖形會(huì)變小，也不利于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)． 可見，聲波傳輸衰減有利于降低連續(xù)出現(xiàn)的同相和反相現(xiàn)象，但也會(huì)造成李薩如圖形變小不利于觀測(cè)． 為了獲得適合實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的李薩如圖形，一方面應(yīng)適當(dāng)選擇對(duì)超聲吸收不太強(qiáng)的介質(zhì)，另一方面，避開收、發(fā)換能器間距較小的區(qū)域進(jìn)行觀測(cè)．

3 結(jié) 論

通過計(jì)算發(fā)射器、接收器信號(hào)合成的橢圓短半軸，研究了造成相位比較法測(cè)量聲速實(shí)驗(yàn)中，連續(xù)多次出現(xiàn)同相或近同相和反相或近反相現(xiàn)象． 研究表明:收、發(fā)換能器之間的往返疊加次數(shù)越多、聲波在換能器表面的反射系數(shù)越大和傳輸衰減越小，在收、發(fā)換能器間距約小，該現(xiàn)象越明顯，反之越弱． 研究還表明:各因素不影響合成信號(hào)的同相和反相出現(xiàn)的周期性． 另外，理論計(jì)算證明了利用超聲換能器接收聲壓信號(hào)進(jìn)行相位比較法測(cè)量聲速的合理性．

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