劉世杰， 郭成成， 王穗輝， 童小華

(1.同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092;2.同濟大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室， 上海 200092)

古塔是具有歷史價值、藝術(shù)價值和人文價值的國家文物，是國家不可再生的文化資源.現(xiàn)存的古塔對研究我國古代建筑史、宗教史和地方史具有重要的意義.但由于歷史、地質(zhì)、戰(zhàn)爭等原因，使得古塔傾斜、損壞的現(xiàn)象十分普遍，所謂“十塔九歪”.因此只有對古塔質(zhì)量建立科學(xué)的評價體系，進行及時的保護和修繕，才能延長古塔壽命，繼續(xù)發(fā)揮其獨特的價值[1].

在古塔保護、維修的過程中，首先應(yīng)該對古塔的傾斜變形進行評估.傳統(tǒng)的古塔傾斜測量方法首先在古塔周圍建立局部平面坐標系，在塔底進行測量得到塔底多邊形，采用多邊形擬合或?qū)蔷€相交的方法確定底部幾何中心，再將測量得到的塔頂三維坐標投影到底部，計算出投影點與底部中心的距離，根據(jù)此距離與塔高的比值計算傾斜程度[2].傳統(tǒng)方法僅用塔底幾何中心和塔頂?shù)倪B線來表征古塔姿態(tài)，并未反映出古塔的分層變形情況.劉琦等[3]提出將古塔每層的8個觀測點投影到水平面上，然后應(yīng)用最小二乘技術(shù)進行圓擬合獲取每層中心，但在實際的測量中，塔身及塔體棱角多會受到破壞而模糊，難以對棱角點進行準確觀測.周千[4]提出把到各層觀測點距離平方和最小的點作為各層中心點，進而對中心點擬合空間軸線，其方法對觀測點的質(zhì)量有較高要求且難以確定實際塔體測量點.Tang等[5]通過測量點擬合表征古塔的正交橫截面，將橫截面交線作為塔體空間軸線，進而計算整體傾斜程度.

本文提出了一種新的古塔變形觀測與計算方法，對古塔的姿態(tài)進行全面客觀的描述.使用全站儀對古塔墻面進行點位觀測，獲取墻面觀測點位的三維坐標數(shù)據(jù)，通過多層中軸點擬合計算古塔傾斜和扭曲變形.基于本文提出的方法，以安徽省安慶市的振風(fēng)塔為例，進行了數(shù)據(jù)采集和變形分析，驗證了方法的有效性.

1 實驗對象和測量數(shù)據(jù)

實驗對象為安徽省安慶市的振風(fēng)塔，坐落在長江之畔，建于公元1570年，至今已有400多年歷史，享有“萬里長江第一塔”、“過了安慶不說塔”的美譽，是七層八角樓閣式建筑，如圖1所示.

圖1 振風(fēng)塔Fig.1 Zhenfeng Pagoda

首先在振風(fēng)塔四周建立了包含15條測邊的閉合導(dǎo)線網(wǎng)進行控制測量，建立獨立坐標系，選取某一地面控制點為原點，以南北方向的兩個控制點所在直線向北為x軸方向，與這兩點所在直線垂線往東向為y軸方向.然后在布設(shè)的導(dǎo)線控制網(wǎng)中，將全站儀架設(shè)在觀測條件良好的控制點上對古塔各層的每一墻面觀測均勻分布的5～6個點位以進行平面擬合，并測量了塔尖三維坐標，墻面平整度較差時需增加觀測點數(shù)量以減小表面方程表征墻面的誤差.部分觀測數(shù)據(jù)如表1所示.為了便于點位觀測數(shù)據(jù)管理，對觀測點位進行了編號，其中觀測點編號的首位表示對應(yīng)的古塔墻面序號，中間位表示塔層，末位表示相應(yīng)塔層墻面的觀測點號.如表1中872號觀測點，表示古塔第7層第8面的2號觀測點.

表1 全站儀部分觀測數(shù)據(jù)Tab.1 Part of the observed data of total station

振風(fēng)塔各層墻面測量點位分布如圖2所示.

圖2 振風(fēng)塔墻面觀測點分布Fig.2 Distribution of measurement pointson Zhenfeng Pagoda

2 多層中軸點擬合變形檢測方法

本文提出的基于多層中軸點擬合的古塔變形檢測流程如圖3所示，包括平面擬合與棱線確定、各層棱角點和中軸點坐標計算、變形參數(shù)計算等步驟.

圖3 基于多層中軸點擬合的古塔變形檢測流程圖Fig.3 Flowchart of pagoda deformation estimationbased on multilayer central points’ fitting

2.1 平面擬合與棱線確定

整體最小二乘平差(TLS)方法在參數(shù)求解中同時考慮系數(shù)矩陣和觀測向量存在的誤差.TLS是以系數(shù)矩陣和觀測向量的殘差改正數(shù)的F范數(shù)極小為約束準則，求解未知參數(shù).考慮到系數(shù)矩陣包含隨機誤差，整體最小二乘平差方法在擬合精度上要優(yōu)于普通最小二乘法[6-8].其估計準則如下：

(1)

對全站儀測量數(shù)據(jù)進行處理.分別對每一層每一面的平面方程進行擬合，由于系數(shù)矩陣由觀測值構(gòu)成，存在測量誤差，故在求解平面方程系數(shù)的最優(yōu)估值時采用整體最小二乘平差方法.得到各面的平面方程后，將相鄰墻面平面方程聯(lián)立得到對應(yīng)塔層的棱線方程，如式2所示.

(2)

式中：(a1,b1,c1)、(a2,b2,c2)分別為兩平面的法向量.則相應(yīng)的棱線方程為

(3)

通過棱線方程確定的不同高度處的棱角點坐標決定著后續(xù)傾斜計算的精度.這里對x關(guān)于z的棱線方程進行微分，分析平面系數(shù)誤差與棱角點坐標誤差的關(guān)系.

x=(b1-b2)g+(c1b2-b1c2)zg

計算x關(guān)于平面方程系數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如下：

(4)

(5)

同理可得x、y關(guān)于a2、b2、c2的導(dǎo)數(shù)，則有如下關(guān)系式：

(6)

將古塔墻面擬合系數(shù)代入式(6)計算導(dǎo)數(shù)值，可發(fā)現(xiàn)在高程值確定的條件下，棱角點坐標對平面擬合系數(shù)的變化較為敏感，因此須保證墻面觀測點的精度.通過平面擬合殘差檢測粗差點(偏離擬合平面三倍中誤差)并剔除，以提高古塔墻面擬合的精度，從而保證棱線和棱角點精度.

2.2 各層棱角點和中軸點坐標計算

得到各層相鄰墻面棱線方程后，給定高程值即可得到對應(yīng)高程面的棱角點坐標.實驗中選取了各層所有觀測點的高程均值作為相應(yīng)塔層棱角點計算的高程值，然后對每層的8個棱角點坐標進行圓或橢圓擬合，計算各層中軸點.

圓曲線方程如下：

(7)

式中：(xi,yi)為棱角點坐標；(x,y)為待求中心點坐標；R為半徑.

古塔發(fā)生傾斜變形后，同一高程上的各個棱角點會因變形而構(gòu)成一個橢圓，橢圓曲線方程如下：

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+1=0

(8)

式中：A、B、C、D、E為系數(shù).

橢圓中心坐標為

(9)

圓或橢圓平差擬合過程中系數(shù)矩陣包含了坐標測量誤差項和常數(shù)項，故采用混合最小二乘法進行參數(shù)求解，其求解原則是系數(shù)矩陣的誤差項和整體殘差的F范數(shù)最小,如下式所示：

(10)

式中：A2為設(shè)計矩陣誤差項；y為觀測量.

2.3 古塔變形參數(shù)計算

得到古塔各層中軸點坐標后，對表征古塔整體傾斜度的中心軸線進行整體最小二乘擬合[9-10]，并計算古塔變形參數(shù)來評估古塔變形狀態(tài).古塔變形參數(shù)包括古塔傾斜度、偏移量、各層傾斜度以及扭曲度等.傾斜度用古塔各層中心擬合軸線與豎直方向的夾角來表示.偏移量定義為塔尖偏離塔底中心的距離，可以分解為東西和南北兩個方向偏移分量.為了細致描述古塔變形，可以計算古塔的各層傾斜度，即每一層的幾何中心與底部中心連線向量與豎直向量的夾角.古塔的各層為多邊形結(jié)構(gòu)，通過計算各層棱角點構(gòu)成的多邊形之間的旋轉(zhuǎn)角度得到古塔相鄰層之間的扭曲度，進而對其扭曲狀態(tài)進行詳細評估.

3 結(jié)果與分析

基于古塔各層墻面觀測點擬合空間平面，在平面擬合計算過程中，檢測到第7層第8面中存在一個粗差觀測值，導(dǎo)致該平面擬合誤差較大，最大距離達200 mm，經(jīng)剔除后，平面擬合誤差在5 mm以內(nèi).所有有效觀測點到相應(yīng)擬合平面的距離分布，如圖4所示.由圖4可以看出，大部分點到平面的距離在1 mm以內(nèi)，3 mm以內(nèi)的觀測點占90%，所有有效觀測點到相應(yīng)擬合平面的最大距離不超過6 mm.

圖4 墻面觀測點到擬合平面距離分布圖Fig.4 Distribution of distance betweenobservation points and fitting plane

在求解各層相鄰墻面棱線方程的基礎(chǔ)上，將高程值帶入解算棱角點坐標，進而計算得到古塔各層中軸點坐標，如表2所示.表2列出了基于圓擬合和橢圓擬合的結(jié)果及均方根誤差，可以看出，兩種擬合方法得到的各層中心坐標幾乎一致.均方根誤差顯示橢圓擬合精度高于圓擬合精度，這也符合古塔在發(fā)生傾斜時，等高程的各角點的分布更接近橢圓曲線.

表2 各層中心坐標及擬合誤差Tab.2 Center coordinates of each layer and standard deviation of fitting

利用中軸點及塔尖點坐標進行整體最小二乘擬合得到古塔中心軸線為

各層中軸點、塔尖點及擬合空間軸線如圖5所示.

擬合中心空間軸線向量為(0.000 6，0.000 4,1.000 0)，計算其傾斜角為2′28.74″，傾斜率約為1/1 400，此為振風(fēng)塔的整體傾斜度.由于軸線擬合的平差特性，可能會使得計算出的傾斜度偏小.利用傳統(tǒng)的塔頂、塔底中心的水平投影偏移與塔高的比值來計算整體傾斜度，其結(jié)果為7′30.2″，傾斜率約為1/460.通過第1層中軸點和塔尖坐標計算古塔偏移量，南北方向為0.037 m，東西方向為0.121 m，整體向東北方向傾斜.由于塔尖單點測量的不準確性和塔尖結(jié)構(gòu)的晃動，塔尖所反映的變形往往誤差較大.古塔各層傾斜度及扭曲度計算結(jié)果如表3所示.

變形計算結(jié)果顯示，古塔傾斜量很小，說明基礎(chǔ)及塔體依然穩(wěn)固.古塔各層傾斜程度并不完全一致，其中第1層到第3層的傾斜度相對較大，達16′，傾斜率約為1/210.其原因有待后續(xù)進一步觀測確定.如果后續(xù)觀測呈現(xiàn)一樣的傾斜特征，則可能該傾斜特征在該塔建造之時即存在，即在建造完第3層發(fā)現(xiàn)相對傾斜后對上層予以糾正，從而呈現(xiàn)計算得出的傾斜分布.此外，扭曲度結(jié)果顯示，相鄰塔層多邊形結(jié)構(gòu)的扭曲程度不大，均在8′以內(nèi).目前對古塔傾斜的允許值還未建立相應(yīng)的標準，應(yīng)定期對古塔進行傾斜測量，在古塔周圍環(huán)境發(fā)生較大變化時應(yīng)當增加觀測頻率，通過古塔觀測的序列數(shù)據(jù)來分析變形趨勢及制訂相應(yīng)的保護措施.

圖5 多層中軸點分布及空間軸線擬合示意圖Fig.5 Distribution of multilayer centralpoints and spatial axis fitting表3 古塔各層傾斜度及扭曲度Tab.3 Inclination and twist of each layer of pagoda

塔層傾斜度相鄰塔層扭曲度129'40.76″121'5.36″1316'5.16″237'59.68″146'44.22″347'28.77″154'18.4″455'41.06″165'11.6″567'23.70″173'5.17″675'1.34″

4 結(jié)語

為了精確檢測古塔變形，本文利用全站儀對古塔的每一層每一面進行點位測量，保證每一面都有足夠數(shù)量均勻分布的測量點以擬合平面方程，然后擬合計算各層中軸點坐標，進而計算古塔的傾斜量、偏移量、各層傾斜度和扭曲度等變形參數(shù)，并通過振風(fēng)塔變形檢測實驗驗證了本文方法的有效性.相比傳統(tǒng)方法僅用塔底幾何中心和塔頂?shù)倪B線來表征古塔傾斜變形，通過多層中軸點計算及古塔空間軸線擬合，獲取了更加詳盡的古塔變形數(shù)據(jù)及規(guī)律，為其進一步的修繕和維護提供了更詳細的依據(jù).因此，本文方法對于古塔等建筑物變形檢測工程實踐具有一定的指導(dǎo)和參考借鑒作用.

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