耿埡洲，孫蓓蓓

(東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 211189)

0 引言

動(dòng)力刀架是高檔數(shù)控機(jī)床的重要功能部件，其中齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是控制動(dòng)力刀具旋轉(zhuǎn)加工的核心傳動(dòng)裝置，齒輪系的傳動(dòng)誤差直接影響動(dòng)力刀架的動(dòng)力傳遞與分度定位，影響切削加工質(zhì)量與傳動(dòng)精度。同時(shí)，也是動(dòng)力刀架振動(dòng)與噪聲的重要激勵(lì)源之一[1-2]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)動(dòng)力刀架齒輪系傳動(dòng)誤差的研究很少，分析其傳動(dòng)誤差時(shí)未能同時(shí)考慮齒輪制造、安裝誤差和受載輪齒的彈性變形等因素的影響。對(duì)于齒輪傳動(dòng)誤差，Velex和Kahraman[3-4]研究了輪齒修形、安裝誤差、齒廓誤差等對(duì)傳動(dòng)誤差的影響，分析了輪齒載荷與傳動(dòng)誤差之間關(guān)系。A.Andersson[5]等通過數(shù)值仿真分析了不同轉(zhuǎn)速下由輪齒動(dòng)載荷引起的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差和接觸壓力變化。Zdenek[6]等從多體動(dòng)力學(xué)的角度對(duì)齒輪傳動(dòng)誤差進(jìn)行了預(yù)測(cè)。唐進(jìn)元[7]根據(jù)傳動(dòng)誤差定義，構(gòu)建了齒輪副傳動(dòng)誤差的概念模型和力學(xué)模型，并推導(dǎo)了傳動(dòng)誤差的計(jì)算公式。張靖[8]等建立了多平行軸齒輪系統(tǒng)多自由度集中參數(shù)模型，通過仿真獲得齒輪副嚙合的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。李忠[9]等根據(jù)齒輪的公差等級(jí)，應(yīng)用概率法對(duì)火炮方向機(jī)齒輪靜傳遞誤差進(jìn)行了計(jì)算，并用有限元法分析了動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差。

上述研究大多分析了傳動(dòng)誤差的影響因素及其關(guān)系，通過仿真與實(shí)驗(yàn)技術(shù)預(yù)測(cè)傳動(dòng)誤差，僅表現(xiàn)為輪齒某點(diǎn)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的時(shí)序變化，常用拉格朗日接觸算法求解齒面接觸問題，占用大量計(jì)算資源。對(duì)于動(dòng)力刀架齒輪系的傳動(dòng)誤差研究，本文綜合考慮齒輪制造與安裝過程中齒輪各項(xiàng)誤差的隨機(jī)性，應(yīng)用Monte-Carlo模擬試驗(yàn)法，計(jì)算了輪齒嚙合綜合誤差；根據(jù)嚙合剛度理論，提出了一種解析法與虛擬仿真技術(shù)相結(jié)合的方法，求解齒輪因受載變形產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差；采用基于罰函數(shù)的齒面摩擦非線性接觸的建模方法，在保證計(jì)算結(jié)果正確的前提下，有效地節(jié)省了計(jì)算資源。

1 動(dòng)力刀架齒輪系傳動(dòng)誤差

1.1 傳動(dòng)誤差產(chǎn)生機(jī)理與影響因素

傳動(dòng)誤差定義為主動(dòng)輪單向回轉(zhuǎn)時(shí)，從動(dòng)輪實(shí)際位置與理想位置的差距，理想位置是指主從動(dòng)輪均為理想漸開線齒形，無彈性變形時(shí)從動(dòng)輪所處位置。

由于齒輪制造誤差、裝配誤差及受載變形等因素的影響，傳動(dòng)誤差不可避免。齒輪制造時(shí)的幾何偏心、齒形誤差和齒厚偏差等誤差，表現(xiàn)為齒輪傳動(dòng)平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角誤差和軸向平面內(nèi)的齒向線誤差，通?？捎靡积X內(nèi)的轉(zhuǎn)角誤差和一周內(nèi)的轉(zhuǎn)角誤差綜合表示。裝配誤差是由齒輪實(shí)際回轉(zhuǎn)中心相對(duì)理論回轉(zhuǎn)中心的偏離引起，主要包括齒輪與軸的間隙、軸承與軸的徑向間隙及中心距偏差。齒輪制造誤差和安裝誤差引起的誤差稱為輪齒嚙合綜合誤差。在齒輪嚙合過程中，隨著傳動(dòng)齒輪和傳動(dòng)軸受負(fù)載轉(zhuǎn)矩的增大，傳動(dòng)軸和齒輪產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形，使齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角產(chǎn)生滯后，也會(huì)引起傳動(dòng)誤差，主要包括輪齒變形、輪體變形、傳動(dòng)軸變形及軸承變形等。

傳動(dòng)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如圖1所示，主從動(dòng)輪的基圓半徑分別為rp和rg，嚙合起止始點(diǎn)分別為S、E點(diǎn)，理想的漸開線齒輪在節(jié)點(diǎn)C處嚙合。齒輪嚙合綜合誤差和輪齒受載變形，使齒輪嚙合齒廓偏離理論的理想嚙合位置，破壞了漸開線齒輪的正確嚙合方式，實(shí)際的嚙合起始點(diǎn)為S′點(diǎn)，在嚙合線上偏移了一段距離SS′，這種偏移使齒輪瞬時(shí)傳動(dòng)比發(fā)生變化，從而產(chǎn)生傳動(dòng)誤差。齒輪嚙合過程中的位移型激勵(lì)，造成輪齒之間碰撞和沖擊，引起齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)，這就是齒輪嚙合的誤差激勵(lì)機(jī)理。

圖1 傳動(dòng)誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

此外，齒輪傳動(dòng)過程中齒面摩擦激勵(lì)造成齒面磨損、發(fā)熱、能量損耗，影響齒輪沿垂直嚙合線方向的平移振動(dòng)并制約齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，也是影響傳動(dòng)誤差的重要因素。在齒面存在輕微損傷或齒面潤(rùn)滑不良的情況下，齒面摩擦力甚至將成為主要的振動(dòng)源。

1.2 傳動(dòng)誤差計(jì)算模型

傳動(dòng)誤差通常作為一角值出現(xiàn)，在設(shè)計(jì)和分析中，考慮到部件的誤差來源時(shí)使用線值更方便，用齒輪嚙合作用線方向的位移來計(jì)算和分析傳動(dòng)誤差[10]，符號(hào)TE。輪齒在接觸點(diǎn)沿作用力方向的彈性變形包括輪轂扭轉(zhuǎn)、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形。對(duì)于單級(jí)齒輪副，若主動(dòng)輪Δt時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過角θp，在嚙合線上的位移為rpθp，則從動(dòng)輪在嚙合線上的位移是：

rgθg=rpθp-DBp-DHp+Ep+Eg-DBg-DHg

(1)

式中，θp、θg為主、從動(dòng)輪扭轉(zhuǎn)角位移；rp、rg為主、從動(dòng)輪基圓半徑；DBp、DBg分別表示兩輪齒彎曲變形量；DHp、DHg分別表示兩輪齒的接觸變形量；Ep、Eg分別表示兩齒輪的嚙合誤差(含制造和安裝誤差)，負(fù)偏差取負(fù)值，正偏差取正值。

因此，齒輪傳動(dòng)誤差表示為：

TE=rpθp-rgθg

(2)

令δ=DBp+DHp+DBg+DHg，表示齒輪沿嚙合線的受載變形量，令E=Ep+Eg，表示輪齒的嚙合綜合誤差，則：

TE=E-δ

(3)

1.3 齒輪各項(xiàng)誤差計(jì)算

1) 齒輪制造誤差

(4)

式中：θ為齒輪相位角；z為齒數(shù)。

2) 齒輪裝配誤差

齒輪的裝配誤差E″主要由齒輪孔與軸之間的間隙e1、齒輪安裝處軸頸跳動(dòng)公差e2、軸承的徑向跳動(dòng)e3組成，計(jì)算公式為：

(5)

式中：θi為間隙相位角，均服從0,2π間的均勻分布。

因此，由齒輪制造誤差和裝配誤差引起的輪齒嚙合綜合誤差Ei表示為：

(6)

3) 輪齒變形誤差

動(dòng)力刀架齒輪系傳動(dòng)軸和軸承剛度遠(yuǎn)大于輪齒剛度，因此齒輪的扭轉(zhuǎn)變形主要表現(xiàn)為輪轂扭轉(zhuǎn)、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形。為便于分析輪齒扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差，將變形量用在分度圓上的扭轉(zhuǎn)變形角來描述。根據(jù)扭轉(zhuǎn)嚙合剛度理論[11]，定義扭轉(zhuǎn)剛度ke為齒輪受載轉(zhuǎn)矩和輪體受載扭轉(zhuǎn)角的比值?？紤]到齒輪從單齒過渡到雙齒時(shí)，齒輪的變形會(huì)逐漸變小，引入齒輪重合度系數(shù)εα，則齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角位移δ為：

(7)

式中：Δyi為分度圓處扭轉(zhuǎn)變形量；ke為扭轉(zhuǎn)嚙合剛度。

1.4 多級(jí)齒輪傳動(dòng)誤差的計(jì)算

1) 單個(gè)齒輪

齒輪Zi的傳動(dòng)誤差為Δi，則傳動(dòng)誤差角度值為：

(8)

式中：di為齒輪Zi的分度圓直徑。

2) 單級(jí)齒輪副

一對(duì)齒輪副的誤差由主動(dòng)輪Zi和從動(dòng)輪Zj的傳動(dòng)誤差合成。以齒輪Zj為讀數(shù)，則一對(duì)嚙合齒輪副的單向傳動(dòng)誤差φi為：

(9)

式中：Δi為齒輪Zi的傳動(dòng)誤差；Δj為齒輪Zj的傳動(dòng)誤差；dj為齒輪Zj的分度圓直徑。

3) 多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

對(duì)于一個(gè)n級(jí)傳動(dòng)的齒輪系統(tǒng)，將各級(jí)齒輪副的傳動(dòng)誤差，通過傳動(dòng)比等效轉(zhuǎn)化到輸出齒輪上。以最后一個(gè)齒輪為讀數(shù)，齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)誤差角度值φn′為：

(10)

式中：ik為第K對(duì)齒輪副傳動(dòng)比，即ik=dk+1/dk。

1.5 動(dòng)力刀架齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

本文研究的動(dòng)力刀架為一種新型全功能動(dòng)力刀架，中心高為100mm。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，刀具最高轉(zhuǎn)速為4 000r/min，分度精度±4″，重復(fù)定位精度±1.6″。動(dòng)力刀架結(jié)構(gòu)如圖2所示，刀架自帶伺服電機(jī)，從系統(tǒng)接入信號(hào)即可運(yùn)行，不需由機(jī)床的伺服系統(tǒng)分配動(dòng)力。該齒輪系屬于高速輕載系統(tǒng)，采用三級(jí)齒輪傳動(dòng)，如圖3所示。動(dòng)力刀具的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由獨(dú)立電機(jī)驅(qū)動(dòng)，動(dòng)力刀具經(jīng)過電機(jī)齒輪，小過渡齒輪、大過渡齒輪、驅(qū)動(dòng)齒輪，在離合器作用下，刀座與驅(qū)動(dòng)齒輪內(nèi)孔的一字槽相結(jié)合，刀具旋轉(zhuǎn)加工零件。

1—刀座；2—VDI刀盤；3—傳動(dòng)箱蓋板；4—端齒盤； 5—齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)；6—離合器；7—箱體；8—傳動(dòng)箱底板；9—?jiǎng)恿﹄姍C(jī)圖2 動(dòng)力刀架主要結(jié)構(gòu)爆炸圖

1—電機(jī)齒輪；2—小過渡齒輪；3—大過渡齒輪；4—驅(qū)動(dòng)齒輪圖3 動(dòng)力刀架齒輪系結(jié)構(gòu)圖

該多級(jí)平行軸齒輪傳動(dòng)裝置結(jié)構(gòu)扁平、緊湊，傳動(dòng)比準(zhǔn)確、功率恒定。其中小過渡齒輪和大過渡齒輪為惰齒輪，其材料性能與加工精度具有較高要求，保持了精確的運(yùn)動(dòng)配合與動(dòng)力傳遞，具有其他傳動(dòng)裝置不可替代的優(yōu)勢(shì)。研究其傳動(dòng)誤差對(duì)分析動(dòng)力刀架齒輪系的傳動(dòng)特性，提高傳動(dòng)精度，保證加工質(zhì)量具有重要的意義。

2 輪齒嚙合誤差的Monte-Carlo模擬

本節(jié)采用Monte-Carlo模擬試驗(yàn)法，從齒輪制造與安裝產(chǎn)生的各項(xiàng)誤差分析，按齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各項(xiàng)誤差的概率分布函數(shù)，對(duì)齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)模擬，在一定置信度下，確定齒輪傳動(dòng)誤差的大小，為齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)精度的分析與設(shè)計(jì)提供一定的理論與方法。

結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)法計(jì)算傳動(dòng)誤差，首先作如下假設(shè)：

1) 齒輪各項(xiàng)誤差都是連續(xù)型隨機(jī)變量。

2) 各項(xiàng)誤差的分布都是相互獨(dú)立的。

2.1 隨機(jī)變量的分布參數(shù)

均服從瑞利分布，兩者相互獨(dú)立，其概率分布函數(shù)FX、抽樣公式X分別：

(11)

(12)

式中：R為服從0,1均勻分布的隨機(jī)變量；η為分布參數(shù)。

(13)

(14)

2) 齒輪相位角θ和間隙相位角θi

均服從0,2π間的均勻分布，概率密度函數(shù)和抽樣公式分別為：

(15)

X=2πR

(16)

3) 裝配誤差中各間隙ei

均服從正態(tài)分布，抽樣公式和分布參數(shù)分別為：

(17)

(18)

式中：μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2 動(dòng)力刀架齒輪嚙合誤差計(jì)算

本例分析的某型號(hào)動(dòng)力刀架齒輪系統(tǒng)，其齒輪最大負(fù)載轉(zhuǎn)矩T=40N·m，齒輪采用40Cr，密度為7.87×103kg/m3，彈性模量為2.11×105MPa，泊松比0.28，各級(jí)齒輪副重合度系數(shù)分別為：1.67、1.80、1.76。該型號(hào)齒輪制造商提供的齒輪公差參數(shù)如表1所示。

表1 各齒輪主要參數(shù)

結(jié)合各隨機(jī)變量的抽樣函數(shù)和分布，本文采用Monte-Carlo法進(jìn)行了10 000次的隨機(jī)抽樣，通過Matlab產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，根據(jù)各項(xiàng)誤差對(duì)系統(tǒng)傳動(dòng)精度的影響關(guān)系，對(duì)齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)模擬，在一定置信度下，可得該動(dòng)力刀架齒輪系各齒輪副輪齒嚙合誤差如表2所示，動(dòng)力刀架齒輪系統(tǒng)最大輪齒嚙合誤差為±6.245 6′。

該型號(hào)動(dòng)力刀架齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差概率分布如圖4所示。應(yīng)用K-S檢驗(yàn)法對(duì)其正態(tài)性檢驗(yàn)，結(jié)果表明齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差服從于正態(tài)分布，均值為0.025，方差為3.755 5。

圖4 多級(jí)齒輪系總靜態(tài)誤差

3 考慮非線性摩擦接觸的動(dòng)力刀架齒輪系傳動(dòng)誤差仿真

本節(jié)結(jié)合有限元法與解析法，選取某工況下齒輪的扭轉(zhuǎn)變形量作為考量指標(biāo)，分析動(dòng)力刀架齒輪系因受載變形產(chǎn)生的傳動(dòng)誤差。應(yīng)用SolidWorks建立各級(jí)齒輪副三維模型，HyperMesh進(jìn)行網(wǎng)格劃分，ABAQUS求解接觸非線性問題。

3.1 有限元建模與假設(shè)

為提高網(wǎng)格質(zhì)量，刪除模型的螺栓孔、倒角等小特征，建立各級(jí)齒輪副三維模型，并作如下假設(shè)：

1) 不考慮軸承的安裝誤差及剛度的影響；

2) 假定齒輪內(nèi)孔的軸向位置在嚙合過程中始終固定不變。

所建立的齒輪接觸模型，齒部為關(guān)鍵部位，網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)分析結(jié)果影響較大，網(wǎng)格采用C3D8I單元，并對(duì)輪齒局部細(xì)化[12]。為實(shí)現(xiàn)齒輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)，在主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的旋轉(zhuǎn)中心分別建立質(zhì)量無窮小(如m=1e-9kg)的集中質(zhì)量點(diǎn)，將集中質(zhì)量點(diǎn)與齒輪的內(nèi)孔面通過BEAM梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)傂择詈?，最終的有限元模型如圖5所示。

圖5 齒輪副有限元模型

3.2 接觸對(duì)定義

本文分析齒輪的齒面接觸屬于強(qiáng)非線性問題，每一對(duì)接觸中的力學(xué)特性參數(shù)是十分重要的數(shù)據(jù)，在ABAQUS中的接觸設(shè)置中，對(duì)所有可能接觸的齒面之間設(shè)置面-面接觸對(duì)。

3.3 邊界條件與載荷步

根據(jù)本模型特點(diǎn)，將齒輪嚙合過程設(shè)置為2個(gè)載荷步：第1個(gè)載荷步用來加快計(jì)算的收斂速度，實(shí)現(xiàn)2個(gè)齒輪的壓緊，固定主動(dòng)輪，賦予從動(dòng)輪負(fù)載轉(zhuǎn)矩；第2個(gè)載荷步用來仿真齒輪的嚙合過程[13]，在ABAQUS中賦予主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速、從動(dòng)輪負(fù)載轉(zhuǎn)矩，分析類型為瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析。

3.4 非線性摩擦接觸的求解

本文建立的考慮齒面摩擦的齒輪副非線性模型，接觸屬于粘結(jié)-滑移的接觸，用拉格朗日摩擦公式需要應(yīng)用附加變量計(jì)算每一個(gè)接觸單元的節(jié)點(diǎn)，消耗較多計(jì)算機(jī)資源。而罰函數(shù)方法允許接觸表面發(fā)生較小“彈性滑動(dòng)”，并為滑動(dòng)表面給定一個(gè)初始剛度值(稱為罰剛度)，該“彈性滑動(dòng)”的數(shù)值與單元特征值相比是一個(gè)較小的量。經(jīng)試算罰函數(shù)算法也適用于本文，比拉格朗日算法節(jié)省很多的計(jì)算機(jī)資源，因此本文使用罰摩擦公式求解齒輪的接觸問題，在ABAQUS接觸算法中選擇penalty，設(shè)置摩擦系數(shù)0.1。

提交模型進(jìn)行考慮摩擦接觸的非線性仿真計(jì)算。

3.5 仿真結(jié)果分析

動(dòng)力刀架齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪副某工況下，齒輪嚙合應(yīng)力分析云圖如圖6和圖7所示，位移變形分析云圖如圖8所示。提取各齒輪在負(fù)載轉(zhuǎn)矩作用下分度圓處的變形位移，沿齒寬方向，等距離選取10個(gè)齒輪分度圓處點(diǎn)的變形位移，并求其平均值，再由式(7)得各齒輪變形角位移，進(jìn)而由式(9)和式(10)求得各級(jí)齒輪副的傳動(dòng)誤差和齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差，結(jié)果如表4所示。

圖6 齒輪副嚙合應(yīng)力圖

圖7 輪齒局部應(yīng)力圖

圖8 輪齒局部變形云圖

項(xiàng)目齒輪副1-2齒輪副2-3齒輪副3-4Gear1Gear2Gear2Gear3Gear3Gear4位移值/μm7．48532．63245．31831．36255．73072．0410角度值/分0．550180．138960．260460．0183270．0788340．14239齒輪副誤差/分0．533960．089860．54219齒輪系統(tǒng)誤差/分1．7416

因此，該動(dòng)力刀架齒輪系統(tǒng)受載變形誤差為1.741 6′，輪齒嚙合誤差為±6.245 6′，則該動(dòng)力刀架齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的最大傳動(dòng)誤差為：

TE=E-δ=±6.245 6′-1.741 6′=7.987 2′

4 結(jié)語

1) 分析了動(dòng)力刀架齒輪系傳動(dòng)誤差影響因素主要包括：齒輪嚙合綜合誤差和輪齒受載變形，建立了齒輪傳動(dòng)誤差計(jì)算模型，推導(dǎo)了多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差計(jì)算公式。

2) 基于齒輪各項(xiàng)誤差的概率分布，采用Monte-Carlo法對(duì)動(dòng)力刀架齒輪系的嚙合綜合誤差統(tǒng)計(jì)模擬，在一定置信度下，確定動(dòng)力刀架齒輪系最大嚙合綜合誤差為±6.245 6′，通過K-S檢驗(yàn)法，證明齒輪系統(tǒng)嚙合綜合誤差服從于正態(tài)分布。

3) 建立了考慮齒面摩擦的動(dòng)力刀架齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性有限元模型，通過虛擬仿真技術(shù)分析齒輪受載變形，得出輪齒受載變形誤差為1.741 6′，進(jìn)而得到動(dòng)力刀架齒輪系最大傳動(dòng)誤差為7.987 2′。

4) 提出了一種將有限元法與解析法結(jié)合的求解輪齒變形誤差的方法，為分析齒輪傳動(dòng)誤差提供了一種思路。提出用罰函數(shù)法求解齒輪非線性接觸問題，有效節(jié)省了計(jì)算機(jī)資源，得到了較好的結(jié)果，為齒輪嚙合的非線性建模提供了重要的參考。

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