■王佩其

現(xiàn)實(shí)中的許多運(yùn)動(dòng)變化都有著循環(huán)反復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象,這種變化規(guī)律稱(chēng)為周期性,三角函數(shù)就是刻畫(huà)這種變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。下面就讓我們一起來(lái)領(lǐng)略三角函數(shù)的魅力吧!

知識(shí)點(diǎn)1:同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要有:sin2α+cos2α=1(平方關(guān)系),=tanα(商關(guān)系,其中α≠kπ+,k∈Z)。誘導(dǎo)公式的變換規(guī)律可概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”。同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導(dǎo)公式主要應(yīng)用于三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明和三角恒等變換。

評(píng)注:化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求:項(xiàng)數(shù)最少,函數(shù)的種類(lèi)盡可能少;次數(shù)盡量低,盡可能使分母或根號(hào)內(nèi)不含三角函數(shù);能求值的求出其值。

知識(shí)點(diǎn)2:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像分別稱(chēng)為正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)。通過(guò)三角函數(shù)的圖像,很容易得到其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性。利用這些性質(zhì),可以求與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的周期、單調(diào)性、值域和最值等。利用單調(diào)性,還能比較函數(shù)值的大小。

評(píng)注:形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω＞0)的最小正周期T=,它們的單調(diào)區(qū)間可利用基本函數(shù)y=sinx(x∈R)和y=cosx(x∈R)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間列不等式求解得到。

知識(shí)點(diǎn)3:三角函數(shù)圖像的平移變換與伸縮變換

由y=sinx的圖像變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的圖像的兩種方法是先平移后伸縮和先伸縮后平移。根據(jù)三角函數(shù)的圖像,也可求出三角函數(shù)的解析式,求解析式的一般方法是待定系數(shù)法,即利用圖像上已知點(diǎn)的坐標(biāo),求出A,ω,φ,b,進(jìn)而得出三角函數(shù)的解析式。

評(píng)注:求解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí),要充分利用三角函數(shù)的基本性質(zhì),還要特別注意整體代換思想的運(yùn)用。

知識(shí)點(diǎn)4:三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型就是先把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括,再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題,從而得出關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述。

建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:①審題:認(rèn)真閱讀題意,審清題目條件,理解數(shù)量關(guān)系。②建模:分析題目變化趨勢(shì),選擇適當(dāng)函數(shù)模型。③求解:對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究,得到數(shù)學(xué)結(jié)論。④還原:把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解答。

例 4 如圖1所示,某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為曲線(xiàn)段OSM,該曲線(xiàn)段為函數(shù)y=Asinωx(A＞0,ω＞0),x∈[0,4]的圖像,且圖像的最高點(diǎn)為S(3,2),賽道的后一部分為折線(xiàn)段MNP。為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定∠MNP=120°。求A,ω的值及M,P兩點(diǎn)間的距離。

圖1

評(píng)注:本題屬于實(shí)際問(wèn)題中的三角函數(shù)模型,在分析、整理已知信息的基礎(chǔ)上,用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式。解題過(guò)程中,一方面要注意利用周期性及題中的條件,另一方面還要注意所求問(wèn)題的實(shí)際意義。