■吳燕鳳

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)解題的精髓,屬于思維的范疇,同學(xué)們要能夠領(lǐng)會(huì)并學(xué)會(huì)運(yùn)用。掌握數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于數(shù)學(xué)解題大有益處。

一、函數(shù)與方程思想

例1 求函數(shù)y=cos2x+sinx(|x |≤)的最大值與最小值。

評(píng)析:在解答此類試題時(shí),要能夠建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決。

二、數(shù)形結(jié)合思想

例 2 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的部分圖像如圖1所示,若 x1,x2∈ (-),且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=( )。

圖1

三、分類討論思想

例 3 已知函數(shù)y=-sin2x+asinx-的最大值為2,則a的值為____。

評(píng)析:分類討論的基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題,通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)對(duì)原問題的解決。本題中sinx∈[-1,1],需要分三種情況討論求解,即

四、等價(jià)與轉(zhuǎn)化思想

解:(法1)利用“切化弦”求解。

因?yàn)閠anα=2,所以sinα=2cosα。又

(法2)利用“弦化切”求解。

例 5 已知tanα=2,求下列各式的值。

(3)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α。

解:(1)注意所求式的分子、分母均為關(guān)于sinα,cosα的一次齊次式,可將分子、分母同除以cosα(cosα≠0),然后代入tanα=2即可。原式

(2)所求式的分子、分母同除以cos2α(cosα≠0),可得原式

(3)注意到所求式為sinα,cosα的二次齊次式,不妨把其看成分式,將分母變?yōu)閟in2α+cos2α,即可順利求解。

評(píng)析:轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí),采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決問題的一種方法。利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正余弦互化,利用=tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化。