陳家俊，徐華麗，魏 赟

1.皖西學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，安徽 六安 237012

2.同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804

3.嵌入式系統(tǒng)與服務(wù)計(jì)算教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（同濟(jì)大學(xué)），上海 201804

4.蘭州交通大學(xué) 鐵道技術(shù)學(xué)院，蘭州 730000

1 引言

粗糙集理論[1-2]是波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的一種處理不確定、不精確信息系統(tǒng)的新型數(shù)學(xué)工具，決策粗糙集模型[3]是針對(duì)經(jīng)典粗糙集模型在處理分類決策時(shí)缺乏容錯(cuò)能力和風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)敏感性等問題提出的一種概率型粗糙集拓展模型，是粗糙集理論的重要組成部分，近年來備受廣大學(xué)者關(guān)注。

對(duì)決策粗糙集的研究主要體現(xiàn)在兩方面：一方面為決策粗糙集模型及其拓展模型的研究，如基于風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)的決策粗糙集模型[4-6]、多用戶決策粗糙集模型[7]、三支決策和決策粗糙集融合模型[8]等。在決策粗糙集模型研究中，閾值的確定問題是其關(guān)鍵因素之一，其中基于代價(jià)損失的閾值求解方法得到廣泛關(guān)注。姚一豫等人[3,9]根據(jù)貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)決策理論，詳細(xì)分析了基于代價(jià)損失函數(shù)的閾值求解方法。決策粗糙集模型是基于單個(gè)代價(jià)損失矩陣構(gòu)建的，因此獲得的決策規(guī)則及決策代價(jià)存在局限性；文獻(xiàn)[4-6]從多代價(jià)損失角度出發(fā)，提出了多代價(jià)決策粗糙集概念，并研究了悲觀決策粗糙集和樂觀決策粗糙集模型。而實(shí)際生活中專家給定的代價(jià)損失矩陣主觀性較強(qiáng)，且每個(gè)專家在領(lǐng)域的認(rèn)可度差別較大，通過研究樂觀和悲觀代價(jià)決策粗糙集模型僅能預(yù)測(cè)最小和最大決策代價(jià)，不能滿足人們往往更希望獲得具有代表性的決策代價(jià)的需求。對(duì)決策粗糙集的另一研究主要體現(xiàn)在決策粗糙集的屬性約簡(jiǎn)、決策分類和規(guī)則獲取方法方面，其中決策粗糙集模型的相關(guān)性質(zhì)和屬性約簡(jiǎn)算法是重要的研究?jī)?nèi)容。文獻(xiàn)[10-14]分別從不同的角度研究了決策粗糙集屬性約簡(jiǎn)方法。以上無論對(duì)決策粗糙集模型還是對(duì)決策粗糙集知識(shí)獲取方法的研究，都是建立在單一不可分辨關(guān)系基礎(chǔ)上，而在實(shí)際決策問題分析中，往往需要從多粒度、多層次角度對(duì)目標(biāo)概念進(jìn)行分析和處理。Qian等人[15]首先將多粒度概念融入到粗糙集模型中，提出了多粒度粗糙集模型，在此基礎(chǔ)上，學(xué)者們紛紛提出了各種基于多粒度粗糙集模型的擴(kuò)展模型和相關(guān)算法[16-20]。而現(xiàn)有的多粒度粗糙集模型大都集中在以經(jīng)典粗糙集和變精度粗糙集模型為基礎(chǔ)的，對(duì)于多粒度決策粗糙集模型的研究較少。自2014年Qian等人[21]首先提出多粒度決策粗糙集模型基本框架以來，近兩年對(duì)多粒度決策粗糙集模型的研究屈指可數(shù)[22-25]，其中文獻(xiàn)[22]分析了不完備多粒度決策粗糙集模型，文獻(xiàn)[24]提出了基于覆蓋的多粒度決策粗糙集模型。而這些文獻(xiàn)僅針對(duì)多粒度決策粗糙集模型的構(gòu)建以及模型所具有的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究，對(duì)多粒度決策粗糙集模型中決策代價(jià)和多粒度在決策粗糙集模型中的應(yīng)用并沒有進(jìn)行深入的研究。

本文在對(duì)基于多重代價(jià)決策粗糙集模型和多粒度粗糙集模型的研究基礎(chǔ)上，為克服基于單代價(jià)損失矩陣構(gòu)建的模型存在的局限性，綜合考慮多重代價(jià)矩陣和多粒度思想，將權(quán)重均值代價(jià)策略引入決策粗糙集中，提出了一種權(quán)重多重代價(jià)的不完備多粒度決策粗糙集模型。在不完備信息系統(tǒng)中，分析了悲觀代價(jià)決策粗糙集、樂觀代價(jià)決策粗糙集和權(quán)重多重代價(jià)多粒度決策粗糙集模型，并給出了各決策代價(jià)的總代價(jià)計(jì)算公式。最后以權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集模型為例，討論了該模型下隨著粒度的變化其正域的變化情況，并給出了一種基于代價(jià)最小化的粒度約簡(jiǎn)方法。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 不完備信息系統(tǒng)與容差關(guān)系

若四元組S=(U,A,V,f)是一個(gè)信息系統(tǒng)，S包含一組非空的有限對(duì)象集合，U={x1,x2,…,xn}為論域；A=C∪D(C∩D=?)表示屬性的有限集合，C表示條件屬性集合，D表示決策屬性集合；，其中Va表示屬性a的值域；F為U×A→V的一個(gè)信息函數(shù)，表示為f(x,α)∈Va,?α∈A,x∈U；假設(shè)C包含m個(gè)條件屬性，用C={c1,c2,…,cm}表示，若存在任意ci∈C，x∈U，有f(x,ci)=*（*表示未知屬性值），則稱該信息系統(tǒng)為不完備決策信息系統(tǒng)。

若決策表S=(U,C∪D,V,f)為一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)，對(duì)于任意子集P?C，由P決定的U上的容差關(guān)系TP定義為TP={(x,y)∈U×U|?a∈P,f(x,a)=f(y,a)?f(x,a)=*?f(y,a)=*}。顯然TP滿足自反性和對(duì)稱性，而不一定滿足傳遞性。對(duì)于?x∈U,TP(x)={y∈U|(x,y)∈TP}稱為x的P容差類，TP(x)描述了與對(duì)象x在屬性集合P下的最大不可區(qū)分對(duì)象子集。對(duì)于任意子集X?U，則在屬性集P下X關(guān)于容差關(guān)系的下近似集和上近似集分別定義為:

2.2 決策粗糙集

若S=(U,C∪D,V,f)為一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)，假設(shè)Ω={θ1,θ2,…,θm}表示對(duì)象的m個(gè)狀態(tài)集，B={b1,b2,…,bt}表示t個(gè)可能的決策，對(duì)于任意x∈U，令Pr(θj|x)表示對(duì)象x具有狀態(tài)θj的條件概率，λ(bi|x)表示對(duì)象x在狀態(tài)θj下采取決策bi的風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)，則根據(jù)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策規(guī)則，對(duì)象x采取決策bi的期望風(fēng)險(xiǎn)可表示為：

根據(jù)Yao提出的決策理論粗糙集，設(shè)Ω={X,XL}表示對(duì)象的兩種狀態(tài)集，每種狀態(tài)對(duì)應(yīng)3種決策動(dòng)作，記為B={αP,αN,αB}，其中αP、αN、αB分別表示將對(duì)象x進(jìn)行分類決策的3種動(dòng)作行為，即確定將對(duì)象x分類到其正域中x∈POS(X)，分類到其負(fù)域x∈NEG(X)和分類到其邊界域x∈BND(X)中。當(dāng)已知一個(gè)對(duì)象x屬于某個(gè)狀態(tài)時(shí)，采取不同的動(dòng)作決策就會(huì)產(chǎn)生不同的損失。假設(shè)決策誤判代價(jià)矩陣已由領(lǐng)域?qū)＜医o出，如表1所示。

Table 1 Misclassification cost matrix表1 決策誤判代價(jià)矩陣

依據(jù)貝葉斯決策理論和決策誤判代價(jià)矩陣，已知對(duì)象x(x∈U)，P?C，TP(x)為對(duì)象x的P容差類，則對(duì)象x采取3種決策產(chǎn)生的期望損失可表示為：

其中，Pr(X|TP(x))和Pr(XL|TP(x))分別表示對(duì)象x屬于X和不屬于X的條件概率。

考慮實(shí)際應(yīng)用的合理情況，對(duì)于原本屬于X的對(duì)象，將其分類到X的正域，其損失小于等于將其分類到邊界域的損失，且兩者的損失均小于將其劃分到負(fù)域的損失；反之亦然。即損失函數(shù)滿足：λPP≤λBP＜λNP，λNN≤λBN＜λPN。

根據(jù)Yao三支決策語義規(guī)則可知1≥α≥β≥0。對(duì)于給定的不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，由決策屬性D導(dǎo)出的劃分πD={D1,D2,…,Dm}，對(duì)?x∈U，則容差決策粗糙集模型下(α,β)- 正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可分別表示如下：

其中Pr(Dmax(TP(x))|TP(x))=表示對(duì)象被劃分到具有最大概率的決策類。

2.3 多粒度粗糙集

定義1給定一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,

C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm}，對(duì)于

?X?U，則X關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am的樂觀多粒度粗糙集的下、上近似集可分別定義為：

其中～X為X的補(bǔ)集。二元組稱為集合X的樂觀多粒度粗糙集。

定義2給定一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm}，對(duì)于?X?U，則X關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am的悲觀多粒度粗糙集的下、上近似集可分別定義為：

3 多重代價(jià)決策粗糙集

由2.2節(jié)可以看出，決策粗糙集是基于單個(gè)決策誤判代價(jià)矩陣構(gòu)建的，且誤判代價(jià)矩陣通常是由領(lǐng)域?qū)＜医o定，因而獲得的決策規(guī)則及決策代價(jià)存在局限性。文獻(xiàn)[5-6]對(duì)多重代價(jià)決策粗糙集進(jìn)行了討論，構(gòu)建了樂觀代價(jià)決策粗糙集和悲觀代價(jià)決策粗糙集。

設(shè)M1,M2,…,Mm為m個(gè)不同的決策誤判代價(jià)矩陣，則第i(i=1,2…,m)個(gè)決策誤判代價(jià)矩陣如表2所示。由m個(gè)決策誤判代價(jià)矩陣，對(duì)應(yīng)得到m個(gè)(α,β)閾值，考慮m個(gè)閾值中最小值和最大值的情況，根據(jù)第i個(gè)決策誤判代價(jià)矩陣和式（2），可計(jì)算得到第i個(gè)閾值 (αi,βi)為：

Table 2 i-th cost matrix表2 第i個(gè)代價(jià)矩陣

根據(jù)閾值 (αi,βi)和2.2節(jié)中的決策規(guī)則（P）、（B）和（N），可分別得到基于容差關(guān)系的樂觀代價(jià)決策規(guī)則和悲觀代價(jià)決策規(guī)則。

樂觀代價(jià)決策規(guī)則表示為：

悲觀代價(jià)決策規(guī)則表示為：

若令Pr(Dmax(TP(x))|TP(x))=l，則基于樂觀代價(jià)決策粗糙集的總體決策代價(jià)可定義為：

基于悲觀代價(jià)決策粗糙集的總體決策代價(jià)可定義為：

通過研究樂觀和悲觀代價(jià)決策粗糙集來判定決策規(guī)則，能預(yù)測(cè)整個(gè)信息系統(tǒng)的最小和最大總體決策代價(jià)。但在實(shí)際生活中專家給定的誤判代價(jià)矩陣主觀性較強(qiáng)，且每個(gè)專家在領(lǐng)域的認(rèn)可度差別較大，而在智能決策信息系統(tǒng)的研究過程中，人們往往希望獲得的決策誤判代價(jià)更具有代表性和一般性準(zhǔn)則，以提高決策規(guī)則的可信度。因此，本文將權(quán)重均值代價(jià)策略引入決策粗糙集中，提出一種基于權(quán)重多重代價(jià)的決策粗糙集模型。

定義3（代價(jià)認(rèn)可度）設(shè)M1,M2,…,Mm為m個(gè)不同專家給出的決策誤判代價(jià)矩陣，假設(shè)第i個(gè)代價(jià)矩陣如表2所示。令φij=[φi1,φi2,…,φin]代表領(lǐng)域用戶對(duì)第i個(gè)專家的n個(gè)認(rèn)可度評(píng)價(jià)，則每個(gè)代價(jià)矩陣的認(rèn)可度可通過專家的認(rèn)可度來描述。m個(gè)決策誤判代價(jià)認(rèn)可度可用矩陣描述如下：

在實(shí)際應(yīng)用中，可通過計(jì)算每位專家n個(gè)認(rèn)可度評(píng)價(jià)的平均值作為該專家的認(rèn)可度，則第i個(gè)專家的代價(jià)認(rèn)可度權(quán)重定義為：

ωi值越大，說明該領(lǐng)域?qū)＜以陬I(lǐng)域用戶中的認(rèn)可度評(píng)價(jià)越高，其給出的決策代價(jià)矩陣可信度越高，因此對(duì)應(yīng)的決策代價(jià)矩陣權(quán)重越大。記m個(gè)代價(jià)矩陣的認(rèn)可度權(quán)重為：

根據(jù)式（3）和式（4），可計(jì)算得到基于權(quán)重多代價(jià)的閾值 (α′,β′),其值分別為：

則基于權(quán)重多重代價(jià)的容差決策粗糙集模型正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可表示為：

則基于權(quán)重多重代價(jià)決策粗糙集的總體決策代價(jià)可定義為：

4 基于權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集

4.1 權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集

給定不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇{TA1,TA2,…,TAm}稱為m粒度空間結(jié)構(gòu)。假設(shè)在每個(gè)粒度結(jié)構(gòu)下，其狀態(tài)集均用Ω={X,XL}表示，對(duì)應(yīng)的決策動(dòng)作集A={αP,αN,αB}，其決策誤判代價(jià)矩陣由m個(gè)不同的專家給出，其權(quán)重記為φ=，假設(shè)在每個(gè)粒度結(jié)構(gòu)下，決策代價(jià)矩陣相同，則任意對(duì)象x執(zhí)行決策αP、αN、αB的期望損失可表示為：

根據(jù)三支決策原則和悲觀多粒度粗糙集，執(zhí)行決策αP、αN、αB的期望損失可表示為：

其中∨表示取Pr(X|TAk(x)),k=1,2,…,m中的最大值。

根據(jù)三支決策原則和樂觀多粒度粗糙集，執(zhí)行決策αP、αN、αB的期望損失可表示為:

其中∧表示取Pr(X|TAk(x)),k=1,2,…,m中的最小值。

下面將針對(duì)基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集模型進(jìn)行分析。由前面描述可知，Pr(X|TAk(x))+Pr(XL|TAk(x))=1，則執(zhí)行決策αP、αN、αB的期望損失可表示為：

根據(jù)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策規(guī)則可得：

根據(jù)規(guī)則（PIPI）和式（5）得到：

根據(jù)規(guī)則（PINI）和式（6）得到:

根據(jù)規(guī)則（PIBI）和式（7）得到：

則1≥α′≥β′≥0，得到基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集下的正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可表示為：

用相同的分析方法，可以得到權(quán)重多重代價(jià)的樂觀多粒度決策粗糙集下的正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可表示為：

定義4給定一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm}，對(duì)于?X?U，則X關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集下的正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域定義為：

基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集X的上、下近似集可定義為：

定義5給定一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm}，對(duì)于?X?U，則X關(guān)于屬性子集A1,A2,…,Am基于權(quán)重多重代價(jià)的樂觀多粒度決策粗糙集下的正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域定義為：

基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集X的上、下近似集可定義為：

4.2 基于權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集模型相關(guān)性質(zhì)與決策代價(jià)

根據(jù)權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集模型和樂觀多粒度決策粗糙集模型的上、下近似集定義，當(dāng)α′=1，β′=0時(shí)，可以得到：

當(dāng)m=1時(shí)，可以得到：

顯然，悲觀多粒度決策粗糙集當(dāng)α′=1，β′=0時(shí)即為多粒度粗糙集；當(dāng)m=1時(shí)即為決策粗糙集。

定理1設(shè)S=(U,C∪D,V,f)是一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集族，P:2U→[0,1]是定義在冪集2U上的概念函數(shù)，對(duì)任意1≥α′≥β′≥0和X?U,有以下性質(zhì)成立：

以上性質(zhì)根據(jù)定義4和定義5很容易證明。

定義6給定一個(gè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)1,A2,…,Am為條件屬性C的m個(gè)屬性子集，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm}，由決策屬性D導(dǎo)出的劃分πD={D1,D2,…,Dm}，對(duì)?x∈U，基于權(quán)重多重代價(jià)悲觀多粒度決策粗糙集下的(α′,β′)-正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可表示為：

表示在所有滿足條件的決策類中，對(duì)象x被劃分到最大可能性的決策類中，則基于權(quán)重多重代價(jià)悲觀多粒度決策粗糙集的總體決策代價(jià)可表示為：

基于權(quán)重多重代價(jià)樂觀多粒度決策粗糙集下的(α′,β′)-正區(qū)域、邊界域和負(fù)區(qū)域的決策規(guī)則可表示為：

則總體決策代價(jià)可表示為：

5 粒度約簡(jiǎn)方法

屬性約簡(jiǎn)是決策粗糙集理論研究的一個(gè)重要內(nèi)容。在多粒度環(huán)境下的目標(biāo)決策中，通過粒度約簡(jiǎn)去除那些冗余的知識(shí)粒度也是多粒度粗糙集模型中的關(guān)鍵問題。本文將多粒度思想和決策粗糙集模型結(jié)合，構(gòu)建了基于權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集模型，其本質(zhì)上仍然具有決策粗糙集模型的性質(zhì)。文獻(xiàn)[11-14]從不同角度給出了一系列的決策粗糙集的屬性約簡(jiǎn)方法。文獻(xiàn)[12]對(duì)決策粗糙集的屬性約簡(jiǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行了研究，即決策單調(diào)性準(zhǔn)則、一般性準(zhǔn)則和代價(jià)準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[14]討論了幾種與正域相關(guān)的決策粗糙集屬性約簡(jiǎn)定義，提出一種保正域不變的決策粗糙集屬性約簡(jiǎn)。下面以基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集為例，分析其正域隨粒度的變化情況，并提出一種基于最小代價(jià)的粒度約簡(jiǎn)方法。

定理2設(shè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,f)，令A(yù)={A1,A2,…,Am}為條件屬性C的m個(gè)屬性子集族，(α′,β′)為滿足條件的一對(duì)閾值，給定A′?A,X∈U/D，則不成立。

證明若證明不成立，只需找到任意對(duì)象x∈AP,α′i(X)滿足即可。令粒度空間A′誘導(dǎo)的最大值，最小值，假設(shè)Ai∈A′且滿足Pr(X|TAi(x))=,則，即若，則滿足m≥α′。根據(jù)公式：

由定理2可知，基于權(quán)重多重代價(jià)的悲觀多粒度決策粗糙集中，其正域并不隨粒度的變化而單調(diào)性變化，因此采用正域不變的方法對(duì)粒度約簡(jiǎn)在理論性和可解釋性上有一定的困難。根據(jù)定義6中基于權(quán)重多重代價(jià)多粒度決策粗糙集的總體決策代價(jià)的計(jì)算方法，本文以基于權(quán)重多重代價(jià)悲觀多粒度決策粗糙集為例，提出一種基于代價(jià)最小的粒度約簡(jiǎn)定義。

定義7設(shè)不完備決策信息系統(tǒng)S=(U,C∪D,V,F)，令A(yù)={A1,A2,…,Am}為條件屬性C的m個(gè)粒度空間集合，其誘導(dǎo)的容差關(guān)系簇為{TA1,TA2,…,TAm},知識(shí)粒度集A′?A是關(guān)于權(quán)重多重代價(jià)悲觀多粒度決策粗糙集模型中的一個(gè)粒度約簡(jiǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足：

6 結(jié)束語

決策粗糙集模型是根據(jù)Bayes風(fēng)險(xiǎn)決策理論，通過分析各種決策的風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)，從而找出最小風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)的決策；多粒度粗糙集模型是從多粒度、多層次角度對(duì)決策問題進(jìn)行分析。本文將決策粗糙集和多粒度粗糙集進(jìn)行有效結(jié)合，在分析多重代價(jià)決策粗糙集模型和多粒度粗糙集模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于權(quán)重多重代價(jià)的多粒度決策粗糙集模型，該模型拓寬了決策粗糙集模型的應(yīng)用領(lǐng)域；同時(shí)，在不完備信息系統(tǒng)中，分析了悲觀代價(jià)決策粗糙集、樂觀代價(jià)決策粗糙集和權(quán)重多重代價(jià)多粒度決策粗糙集模型的決策規(guī)則和決策風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)，并給出了一種基于代價(jià)最小化的粒度約簡(jiǎn)方法，為多粒度粗糙集模型的粒度約簡(jiǎn)問題提出了一個(gè)新思路。

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