王雅君

（中國電子科技集團公司第二十研究所 西安 710068）

0 引言

無人機導引律是描述攻擊型無人機在攔截目標時應(yīng)遵循的質(zhì)心運動規(guī)律。要對大機動目標實施成功攔截，除了需要提高無人機自身的機動能力，也對導引律提出了更高的要求。

Brierley和Longchamp[1]在1990年時最先將變結(jié)構(gòu)控制的思想引入空-空導彈制導律的設(shè)計中，所得的制導律對于運動模型的不確定性、目標機動等具有較強魯棒性。周荻等人[2-3]針對線性時變系統(tǒng)設(shè)計了一種自適應(yīng)滑模趨近律，據(jù)此設(shè)計的制導律有較高的命中精度。作者還將很難精確測得的目標機動加速度視為外界干擾，并證明了在干擾項有界的條件下，自適應(yīng)滑模制導律對外界干擾和自身的參數(shù)攝動有不變性。徐世許和馬建敏[4]引入了終端滑模面，即在滑模面中加入非線性項，既能保證系統(tǒng)軌跡較快地到達滑模面，又能使滑動模態(tài)以較快的速度收斂到平衡點。

滑模變結(jié)構(gòu)導引律的設(shè)計中，切換面的選擇至關(guān)重要。線性切換面只能保證系統(tǒng)狀態(tài)漸進收斂，而無法在有限時間內(nèi)使其嚴格收斂到零。為此，本文采用終端滑模面來設(shè)計控制律，即通過在切換面方程中引入非線性項，在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)對期望值的完全跟蹤。

1 運動模型的建立

圖 1所示為縱向平面內(nèi)的無人機-目標相對運動關(guān)系，模型建立在極坐標系中，將無人機和目標都視為質(zhì)點，不考慮其姿態(tài)控制問題，也不考慮自動駕駛儀的動態(tài)延遲問題。

圖1 二維無人機-目標相對運動關(guān)系

圖1中，無人機和目標分別位于M和T處，它們之間的距離為r，二者連線MT就是視線（LOS，Line of sight），視線與參考方向的夾角q即為視線角，也叫做攻擊角。θm和θt分別是無人機和目標的速度矢量與視線的夾角，即前置角。

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，可以建立如下的相對運動方程組：

對式（1）中的兩式分別求導，并令

可以看出，分別為無人機和目標的機動加速度在視線法向的分量。uq即為無人機控制律，是施加在無人機上的指令加速度。而由于目標機動通常無法精確獲知，因此在實際設(shè)計過程中常將ωq作為一個有界的外部干擾來考慮。

對式（1）求導并將式（2）代入，化簡可得用視線角速度表示的相對運動方程

2 非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定

系統(tǒng)的有限時間收斂指的是系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)到達平衡點，使系統(tǒng)在有限時間內(nèi)穩(wěn)定。設(shè)非線性系統(tǒng)有一個位于原點的 Lyapunov意義下穩(wěn)定的平衡點，即

引理1[6]對于式（4）表示的非線性控制系統(tǒng)，若存在定義于的鄰域上的光滑函數(shù)V（x），并且存在實數(shù)使得上正定，且在上半負定，則以式（9）表示的系統(tǒng)在x=0處有限時間穩(wěn)定，系統(tǒng)的停息時間與初始狀態(tài)x0有關(guān)，有

其中，若則該系統(tǒng)在x=0處全局有限時間穩(wěn)定。

3 非奇異快速終端滑模算法

快速終端滑?？梢杂梢韵碌囊浑A微分方程表示：

其中，α＞0，β＞0，0＜γ＜1。可以看出，當系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時，αx起主要作用，使狀態(tài)軌跡快速向平衡點運動；而當系統(tǒng)狀態(tài)運動到平衡點附近時，起主要作用的一項變?yōu)橄到y(tǒng)狀態(tài)依然能夠快速收斂。因此，快速終端滑模可以使系統(tǒng)狀態(tài)在整個運動過程中都保持較高的收斂速度，從而確保了系統(tǒng)優(yōu)良的動態(tài)性能。

下面分析快速終端滑模的有限時間收斂性。對于式（5），選取 Lyapunov函數(shù)對其求導，并將式（5）代入，有

即是半負定的。令引理1中的常數(shù)則狀態(tài)軌跡從任意初始狀態(tài)出發(fā)，收斂至平衡點所需的時間滿足

其中，x0為系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)。

形如式（5）的快速終端滑模雖然能夠迅速收斂，但會產(chǎn)生奇異問題，這是由于終端滑模函數(shù)中的非線性項在求一階導后產(chǎn)生了負指數(shù)項，因此，可以通過合理選擇非線性項來避免奇異問題。非奇異的快速終端滑模函數(shù)表達式如下所示：

式中，

文獻 7詳細地給出了式（8）所示系統(tǒng)的有限時間收斂性證明，但收斂用時的表達式和證明過程過于復雜，不便于實用，在后文中用到相關(guān)結(jié)論時，會根據(jù)具體的導引律，推導出更為簡便的表達形式，因此將其證明過程略去。

4 攻擊角可控導引律設(shè)計

將前文建立的相對運動模型式（3）結(jié)合圖 1中的相對運動關(guān)系，可知無人機的指令加速度是施加在速度法向上的，因此控制量前需要加上一個方向余弦系數(shù)，式（3）變?yōu)?/p>

用qd來表示期望的攻擊角（qd為一定值），選擇視線角與期望攻擊角之間的偏差和視線角速率作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，即令可得

需要特別指出的是，快速終端滑模算法也可以用作趨近律設(shè)計。由于奇異問題是由指數(shù)函數(shù)求導產(chǎn)生的負指數(shù)項導致的，而式（5）不含有負指數(shù)項，因此不會產(chǎn)生奇異問題。

根據(jù)非奇異快速終端滑模算法式（8），設(shè)計滑模切換面如下：

其中該切換面具有與式（5）完全相同的形式，因此是全局快速收斂的，并且能夠避免產(chǎn)生奇異問題。

根據(jù)快速終端滑模算法式（6），設(shè)計趨近律如下：

其中，α＞0，β＞0，0＜γ＜1。根據(jù)式（11）及式（12），有ss’≤ 0，因此滑模切換面滿足到達條件，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能夠在有限時間內(nèi)到達切換面。

對式（11）求導并與式（12）聯(lián)立，將式（10）代入，ωq視為干擾項，可以解出控制律

即為帶攻擊角約束的有限時間收斂非奇異快速終端滑模導引律。

5 有限時間收斂性分析

滑?？刂葡到y(tǒng)的狀態(tài)變量要經(jīng)歷兩個運動階段：趨近運動階段和滑模運動階段。下面首先分析趨近運動階段的收斂特性。

選取 Lyapunov函數(shù)為V=s2，求導，并將導引律u代入其中，得到

至此，將按照目標是否機動（即ωq項是否為零），分兩種情況分別加以討論。

（1）目標不機動，對應(yīng)于即目標靜止或進行勻速直線運動：

此時直接應(yīng)用引理 1，令其中c=2β，則狀態(tài)軌跡從任意初始狀態(tài)出發(fā)，運動到切換面所需的時間滿足

（2）目標機動，即

此時，式（14）可以改寫成以下形式：

在x2≠0時，只要調(diào)節(jié)趨近律參數(shù)，保證s 2的系數(shù)為負，那么式（16）與情況（1）具有相同的形式，從而保證其有限時間收斂的性質(zhì)，直到s 2的系數(shù)變?yōu)檎?。若以f表示目標機動加速度ωq的上界，則系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能夠在有限時間內(nèi)運動到切換面s=0兩側(cè)的小區(qū)域內(nèi)：

對于x2=0的情況，由于系統(tǒng)此時尚處于到達運動階段，因此系統(tǒng)狀態(tài)不可能位于區(qū)域|s|≤Δ內(nèi)，因此有x˙2≠0，這說明x2=0不是系統(tǒng)在到達運動階段的吸引子。綜上，在目標進行機動時，系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)運動到區(qū)域|s|≤Δ以內(nèi)。

通過以上的分析可知，滑模導引律式（13）滿足切換面的到達條件，不論目標是否機動，制導系統(tǒng)狀態(tài)變量均能夠在有限時間以內(nèi)從任意初始狀態(tài)運動到切換面或其小領(lǐng)域內(nèi)。下面分析第二階段——滑模運動階段的收斂情況。

系統(tǒng)狀態(tài)進入?yún)^(qū)域|s|≤Δ后，系統(tǒng)開始滑動模態(tài)運動，此時假設(shè)s=τ，其中|τ|≤Δ。將其代入切換面式（11），可改寫為以下形式：

它與切換面式（12）具有相同的結(jié)構(gòu)，這說明系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將一直收斂，直到條件不再滿足，因此x2能在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)域同理，視線角偏差x1能夠在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)域

綜上所述，以式（13）所示的形式設(shè)計導引律，能夠保證：對于勻速直線運動或靜止目標，制導系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠在有限時間內(nèi)運動到切換面上，進入切換面后，視線角偏差θ和視線角速度也能夠在有限時間內(nèi)收斂到零，全程不會發(fā)生奇異問題；

對機動目標，制導系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠在有限時間內(nèi)運動到切換面的鄰域|s|≤Δ內(nèi)，進入切換面后，θ和也能夠在有限時間內(nèi)分別收斂到區(qū)域|s| ≤|Δθ|和|s| ≤ |Δq|內(nèi)，全程不會發(fā)生奇異問題。

6 仿真分析

將式（13）所示的導引律記為 NFSMG，本節(jié)將其與普通的滑模制導律（記為SMG1）分別仿真并對比試驗結(jié)果。后者采用線性滑模面及自適應(yīng)趨近律。仿真的初始條件如下：

（1）無人機初始位置為（0km，0km），初始航向角 90°，飛行速度 800m/s；目標初始位置為（12km，5km），初始航向角 120°，飛行速度 500m/s；

（2）NFSMG 仿真參數(shù)：k1= 1，k2= 2，a1= 2，a2= 1.5，α= 750，β= 750，γ= 0.5；

（3）目標進行正弦機動，機動加速度為對于無人機的制導系統(tǒng)，目標的機動情況是未知的，將其視作外界擾動。

兩種導引律對機動目標的攔截情況如圖2所示。

表1中列出了目標進行未知機動時兩種導引律在不同期望攻擊角下的脫靶量和攔截用時。

表1 目標機動時不同期望攻擊角下的脫靶量和攔截用時比較

可以看出，NFSMG的脫靶量和攔截時間都明顯小于SMG1，說明在對機動目標的攔截上，本文提出的NFSMG相較于傳統(tǒng)的滑模制導律，具有更高的命中精度、更短的打擊時間和更少的燃料消耗。這一優(yōu)勢也能從攔截軌跡上直觀地體現(xiàn)出來。

圖3所示為30°期望攻擊角下兩種導引律需用過載的變化情況對比。

圖3 需用過載的變化情況

從圖3中可以看出，NFSMG的需用過載在開始時刻和命中點附近出現(xiàn)了峰值，達到了可用過載的極限，這是由于在這兩個區(qū)間無人機導引律需要進行大幅度的轉(zhuǎn)向。而SMG1的需用過載曲線不僅在大部分時間都達到了可用過載的最大值，而且有很多個突變點，這說明指令加速度的方向在頻繁地改變。因此NFSMG在末制導階段所需的燃料量遠小于SMG1的量。

從以上兩個場景的仿真中可以看出，本章提出的NFSMG導引律在攔截用時、命中精度、收斂速度、燃料消耗等各項指標上，都擁有優(yōu)良的性能，尤其在對機動目標的攔截方面，優(yōu)勢更加突出。

7 總結(jié)

本文應(yīng)用快速終端滑模算法，設(shè)計了一種能夠快速收斂且不會發(fā)生奇異問題的滑模制導律，在攔截機動目標時視線角偏差和視線角速率都能夠在有限時間內(nèi)收斂到零附近的小鄰域。仿真結(jié)果說明該導引律擁有優(yōu)越的動態(tài)性能，滿足攻擊角約束的條件，并且航跡平直，能量消耗較少。后續(xù)的研究可以考慮對無人機自動駕駛儀的動態(tài)延遲進行補償，并將質(zhì)點導引律擴展到三維空間。

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