何東山

（咸陽師范學院 物理與電子工程學院，陜西 咸陽 712000）

在固體物理學中，馬德隆常數(shù)是描述晶體結構的一個重要特征參數(shù)，通過馬德隆常數(shù)便可以計算出晶體的庫侖結合能。NaCl晶體一個原包的平均庫侖結合能可以表示為[1]

其中求和部分是取決于晶體結構的無量綱負值，將其記作-α，其中α被稱作馬德隆常數(shù)，其表達式為

根據(jù)式(2)便可以計算出馬德隆常數(shù)，但是對于三維情況，上述級數(shù)收斂很慢。本文通過對一維和二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計算分析，給出了減小計算量和加快收斂速度的方法，并計算了三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。

1 一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計算

1.1定義算法

一維NaCl晶體是指Na+離子和Cl-離子在一條直線上等間距排列，其馬德隆常數(shù)為

式（3）的嚴格結果為2ln2[2]，如圖1所示，虛線表示α1隨計算項數(shù)N增加時的變化規(guī)律，實線表示α1的準確值。根據(jù)式(3)，用Mathematica軟件給出了α1(N )的圖形，從圖（1）中可以看出隨著求和項數(shù)N增加時，α1在準確值上下擺動，且擺動幅度大致相同，項數(shù)N越大時擺動幅度越小，最終趨于準確值。

圖1 定義法計算一維NaCl晶體馬德隆常數(shù)

1.2改進算法

從圖1中可以看出當項數(shù)N增加1時，結合能增加一個Na+離子或Cl-離子，因此馬德隆常數(shù)在準確值兩側擺動，如果將公式修正為

圖2修正算法計算與定義算法對比

則收斂速度會大大加快。如圖2所示，虛線表定義法得到的馬德隆常數(shù)α1收斂情況，實線表示修正算法給出的馬德隆常數(shù)α1'收斂情況。圖中給出了修正算法計算與定義算法對比，可以看出修正算法的收斂速度遠大于定義算法。根據(jù)對稱性n取正值部分的求和與n取負值的求和部分相等，因此在式(4)中，將求和取為從1到N，將求和的計算量減小為式(3)的一半，這在一維情況下不是很明顯，對于三維情況，可以減小很大計算量。

2 三維NaCl晶體馬德隆常數(shù)的計算

根據(jù)定義二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)α2為

根據(jù)對稱性，以參考離子為原點，則四個象限對原點的貢獻相同，二維馬德隆常數(shù)應為四個象限的貢獻加上兩個坐標軸上的貢獻（即一維馬德隆常數(shù)α1），因此式（5）可以重新寫為

式(5)中求和為4N2項，而式(6)中求和約為N2項。根據(jù)定義三維NaCl晶體馬德隆常數(shù)α3為

同理根據(jù)對稱性將上式寫為

通過計算發(fā)現(xiàn)二維、三維馬德隆常數(shù)與一維類似，隨著項數(shù)的變化，其值在準確值兩側擺動，因此將公式修正為

若利用式(7)和(9)計算三維馬德隆常數(shù)則求和項共2×(2 N)2=16N3項，同理利用晶體的對稱性可以將計算量減小在N很大時式(11)的求和項數(shù)約為N3項，相比定義法，式(11)大大減小了計算量，并加快了收斂速度。如圖3所示，虛線表示定義法得到的三維馬德隆常數(shù)a3，實線表示修正算法給出的三維馬德隆常數(shù)a3'，修正算法更快的趨于穩(wěn)定值，可見修正算法加快了計算的收斂速度。

圖3修正算法計算與定義算法對比

3計算結果與分析

利用Mathematica軟件，計算了一維至三維的馬德隆常數(shù)，見表1。

表1不同維度NaCl晶體馬德龍常數(shù)計算結果

從計算結果可以看出，NaCl晶體各個維度的馬德隆常數(shù)都隨著項數(shù)n的增加而增加，項數(shù)n很大時馬德隆常數(shù)增加的速度減慢，最終趨于一穩(wěn)定值。項數(shù)n越大計算得到的精度越高，因此表1中當項數(shù)n增加到400時增加了結過的有效位數(shù)。但是計算過程中發(fā)現(xiàn)隨著項數(shù)n的增加，計算機每次計算所花的時間迅速增加，為了節(jié)省計算時間，本文中計算到項數(shù)n=400為止。作為比較表1中列出了其他文獻給出的各個維度的馬德隆常數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn)本文計算結果與其他文獻計算結果吻合。三個維度的比較表明，隨著維數(shù)的增加馬德隆常數(shù)也增加，這驗證了離子晶體馬德隆常數(shù)隨著晶體配位數(shù)的增加而增大的性質[5-6],本文計算了簡單晶的馬德隆常數(shù)，對于復雜晶體通常計算方法更加復雜[7-10]。

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