官瑞楊 魏新勞 王永紅 陳慶國

摘 要：提出一種用于計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積的方法：用有限元法計(jì)算自感，將漏感從仿真所得自感中扣除，再結(jié)合主電感理論公式反推出氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)。分析了電感參數(shù)及ANSYS計(jì)算原理；結(jié)合對比文獻(xiàn)論證了本方法的優(yōu)越性；實(shí)驗(yàn)和仿真驗(yàn)證了該方法的正確性；定性分析氣隙邊緣效應(yīng)的影響因素。研究結(jié)果表明：主要影響因素依次為氣隙長度、鐵心截面積、鐵心相對磁導(dǎo)率，且氣隙長度起主導(dǎo)作用；氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與氣隙長度呈正比，與鐵心截面積和相對磁導(dǎo)率呈反比。本方法有效避免了漏電感的影響，所得結(jié)論可為鐵心電抗器的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：鐵心電抗器；邊緣效應(yīng)；氣隙；等效導(dǎo)磁面積；電感

中圖分類號：TM 47

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1007-449X（2018）04-0081-08

Abstract：A method is proposed for calculating air-gap equivalent cross-sectional area.The finite element method was used to calculate the self-inductance，and the leakage-inductance was deducted from the self-inductance simulated.With the main-inductance′ formula， it deduced the air-gap equivalent cross-sectional area coefficient′s expression. Different kinds of inductances and ANSYS calculation theory were analysed. This method′s superiority was demonstrated by comparing with the reference. Experiments and simulations confirm the correctness. Qualitative analysis of influence factors of air-gap edge effect was made. Research results showed that main influence factors include air-gap， iron′s cross-sectional area and iron′s relative permeability. The air-gap plays a leader role. The relationship between air-gap equivalent cross-sectional area coefficient and air-gap is a proportional function， while the relationship is an inverse proportional function with iron′s cross-sectional area or iron′s relative permeability. This method can avoid the leakage-inductance′s influence and the results provide some references for designing iron-core reactor.

Keywords：iron-core reactor； edge effect； air-gap； equivalent cross-sectional area； inductance

0 引 言

鐵心電抗器是電力系統(tǒng)中很重要的電氣設(shè)備之一，在補(bǔ)償無功功率、提高電能質(zhì)量、抑制短路電流等方面具有廣泛應(yīng)用[1-3]。因此，為了滿足不同場合的需求，必須設(shè)計(jì)具有特定電感值（無功功率）的電抗器。鐵心電抗器電感值設(shè)計(jì)越精確，其運(yùn)行效果越好，越能滿足電力系統(tǒng)的需求，進(jìn)而提高電網(wǎng)運(yùn)行穩(wěn)定性。

然而，在鐵心電抗器的設(shè)計(jì)計(jì)算中，電感值受氣隙邊緣效應(yīng)的影響很大，微小的氣隙變化很可能造成電感值很大偏差[4]。原因在于：當(dāng)磁通流經(jīng)鐵心中的氣隙時發(fā)生“衍射”現(xiàn)象，即磁力線有發(fā)散的趨勢，造成氣隙等效導(dǎo)磁面積（磁通截面積）擴(kuò)大化。具體擴(kuò)大的程度與氣隙長度、鐵心直徑等因素密切相關(guān)。因此可以說，能否正確、可靠地計(jì)算出鐵心電抗器氣隙等效導(dǎo)磁面積直接影響到電感值的計(jì)算精確度。

由于目前沒有完備的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可供參考，在鐵心電抗器的生產(chǎn)過程中需要反復(fù)調(diào)整氣隙的大小才能得到滿意的電感值。關(guān)于氣隙等效導(dǎo)磁面積計(jì)算的文獻(xiàn)也很少：以往的經(jīng)驗(yàn)公式是基于氣隙處半圓形的簡化磁路，氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)約在1.1～1.3之間[5]，該經(jīng)驗(yàn)公式只能粗略估算、具有較大誤差；文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]在理論上以求解電磁方程的方法計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)，可為鐵心電抗器的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，然而其求解模型具有特定約束條件，應(yīng)用于實(shí)際鐵心電抗器生產(chǎn)中難免產(chǎn)生偏差。文獻(xiàn)[8]計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積時所用電感值包含了漏電感，因此計(jì)算精度不高。

本文提出一種用于計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積的方法：運(yùn)用ANSYS軟件仿真計(jì)算鐵心電抗器的電感參數(shù)，依據(jù)電力變壓器漏電感的理論計(jì)算公式，將漏電感從仿真所得的自感中扣除，避免了漏電感對計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積的影響，再結(jié)合主電感計(jì)算公式，反推計(jì)算出氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)。通過與參考文獻(xiàn)的對比，論證了本文計(jì)算方法的優(yōu)越性；利用ANSYS軟件對三維電磁場仿真模型局部變化的敏感性，得出氣隙等效導(dǎo)磁面積的影響因素：氣隙長度、鐵心截面積和鐵心相對磁導(dǎo)率，并作定性分析。仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的數(shù)據(jù)相吻合，證實(shí)仿真模型及方法的正確性。鑒于目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元數(shù)值計(jì)算的方法完全可以模擬真實(shí)情況下鐵心電抗器的工作狀態(tài)，筆者認(rèn)為本文結(jié)果具有較好的實(shí)際性，可為鐵心電抗器的設(shè)計(jì)提供一定參考依據(jù)。

1 計(jì)算方法

1.1 電感參數(shù)

電感是鐵心電抗器的主要電氣參數(shù)之一，電感參數(shù)的定義根據(jù)其交流磁通形成的閉合回路不同而對應(yīng)不同的電感名稱（主電感和漏電感）。對于單線圈鐵心電抗器而言，線圈產(chǎn)生的交流磁通分為兩部分：一部分是通過鐵心磁路（由鐵心及氣隙組成）中的磁通，該部分為線圈產(chǎn)生磁通的主要部分，稱為主磁通，它對應(yīng)的電感叫主電感；另一小部分磁通經(jīng)過線圈外的非鐵磁性材料閉合，稱為漏磁通，它對應(yīng)的電感叫漏電感。把主電感與漏電感之和稱為線圈的自感。

實(shí)驗(yàn)樣機(jī)是一臺干式鐵心電抗器，采用雙線圈的形式，兩個線圈同向串聯(lián)（互相增磁）。除了具有上述兩種電感之外，兩個線圈之間還有互感（如果看成一個線圈，互感包含于自感當(dāng)中）。圖1為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，圖2為雙線圈鐵心電抗器磁通分布示意。

從圖2的磁通分布可以看出：受氣隙邊緣效應(yīng)影響，主磁通在氣隙處發(fā)生了“衍射”現(xiàn)象，該處存在氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大的問題；而漏磁通并不經(jīng)過該氣隙，因此不涉及氣隙等效導(dǎo)磁面積計(jì)算的問題，需要將漏電感排除。氣隙等效導(dǎo)磁面積的計(jì)算僅與主電感值有關(guān)。

雙線圈同向串聯(lián)時，鐵心電抗器的主電感公式為

從式（4）可以看出：在結(jié)構(gòu)參數(shù)已知的情況下，如果能夠準(zhǔn)確計(jì)算出電抗器的總電感L和漏電感Lσ，則可以反推出氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)。在本文中，電抗器的總電感L采用電磁場數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算，而線圈漏電感Lσ的計(jì)算則采用電力變壓器設(shè)計(jì)的理論公式計(jì)算[9-13]。還可以看出：鐵心電抗器氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)計(jì)算式是一個隨多元參數(shù)變化的函數(shù)，例如受氣隙長度lq、鐵心截面積S0、鐵磁材料相對磁導(dǎo)率μr等參數(shù)的影響。

用于計(jì)算漏電感的理論公式如下：

式中：ρ為洛氏系數(shù)；AQ為漏磁通等效導(dǎo)磁面積；HL為線圈高度；BH為線圈厚度；RW為線圈外半徑；RN為線圈內(nèi)半徑；AZ為鐵心有效截面積；kdp為疊片系數(shù)；DW為線圈外半徑；D為鐵心直徑。

1.2 ANSYS計(jì)算電感

有限元法從Maxwell電磁場方程出發(fā)，構(gòu)建鐵心電抗器三維仿真模型[14-17]，并結(jié)合以下假設(shè)條件：

1）求解模型內(nèi)電磁場屬于似穩(wěn)場且當(dāng)做恒定磁場；

2）鐵心材料為均勻、線性、各向同性媒質(zhì)；

向量磁位A滿足的邊值方程為：

式中：向量磁位A=[Ax，Ay，Az]T；Ω為整個求解域；傳導(dǎo)電流密度J=[Jx，Jy，Jz]T；S1為模擬無窮遠(yuǎn)邊界；S2為鐵心材料與空氣材料的銜接面；K為銜接面面電流密度；μ為磁導(dǎo)率。

再根據(jù)條件變分原理，把式（6）轉(zhuǎn)化為等價的條件變分方程，然后把求解域剖分為有限個單元，利用插值函數(shù)將條件變分方程離散化，得出一組以節(jié)點(diǎn)向量磁位為變量的代數(shù)方程組并結(jié)合相應(yīng)的邊界條件進(jìn)行求解。

ANSYS軟件在求解鐵心電抗器的自感時，是從能量角度進(jìn)行分析，磁場能量與電感值滿足關(guān)系式：

式中：Wm為整個計(jì)算場域中的磁場能（算出的電感值L為電抗器的總電感）；I為線圈所加激勵電流有效值。由于已經(jīng)假設(shè)為均勻、線性媒質(zhì)，磁場能量Wm又可表示為：

式中：B為對應(yīng)媒質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，其值為向量磁位的旋度；H為磁場強(qiáng)度；V為對應(yīng)媒質(zhì)區(qū)域的體積。

考慮到有限元方法的離散化，式（8）的磁場能量應(yīng)該為鐵心材料及非鐵磁性材料中各個剖分單元的磁場能量和（離散積分）?？杀硎緸?/p>

式中：Bi為剖分單元內(nèi)的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度，dvi為剖分單元的體積，μri為dvi內(nèi)對應(yīng)材料的相對磁導(dǎo)率；

2 樣機(jī)仿真

為驗(yàn)證本文仿真模型及計(jì)算方法的正確性，以圖1中的實(shí)際干式鐵心電抗器為例，用仿真計(jì)算的電感值與實(shí)際測量值相對比。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)具體結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

單元類型選為solid117單元（棱邊單元法），鐵心材料相對磁導(dǎo)率設(shè)定為2 000，線圈和空氣模型的相對磁導(dǎo)率設(shè)為1，采用稀疏矩陣求解器，運(yùn)用LMATRIX宏命令即可求得電抗器的電感值。圖3為該電抗器三維仿真模型單元剖分圖。圖4給出了磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量圖。

從圖4可以看出：磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況與基本理論相一致，鐵心中的磁感應(yīng)強(qiáng)度明顯高于外圍空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度，同時可清晰看出鐵心回路中氣隙處發(fā)生了磁通的衍射現(xiàn)象。表2給出了實(shí)驗(yàn)測量的電感值與仿真計(jì)算電感值。電感測量設(shè)備選為日本HIOKI公司生產(chǎn)的3532-50 LCR測試儀，它是一個頻率在42 Hz～5 MHz之間，可同時測量L、C、R的高精度測試設(shè)備。

綜上分析，可以充分證明仿真模型及計(jì)算方法的正確性和可行性。

3 優(yōu)越性及應(yīng)用場合

為說明所得數(shù)據(jù)的參考價值及計(jì)算方法的優(yōu)越性，下面與文獻(xiàn)[6]進(jìn)行對比分析。文獻(xiàn)[6]從基本理論的角度求解電磁方程來計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)，并給出了部分?jǐn)?shù)據(jù)。

首先以文獻(xiàn)[6]中給出的一組數(shù)據(jù)為例，與本文計(jì)算方法做對比。表3列出了以鐵心直徑為300 mm，氣隙長度為50 mm，線圈匝數(shù)為186匝的鐵心電抗器分別采用兩種方法得到的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)及電感參數(shù)。

從上表可以看出文獻(xiàn)[6]給出的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)存在一定偏差，導(dǎo)致設(shè)計(jì)計(jì)算的電感值也有偏差。為了說明數(shù)據(jù)的普遍性，文獻(xiàn)[5]對文獻(xiàn)[6]的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)的表達(dá)式：

式中，各個符號的意義均與上文相同。于是可以計(jì)算出鐵心直徑為110 mm，氣隙長度從1 mm到50 mm時氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)，見表4。圖5給出了用兩種方法所得氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)的曲線。

從上圖可以看出：當(dāng)氣隙小于10 mm時，文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù)與本文計(jì)算方法得出的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)基本一致；隨著氣隙的增大，文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù)偏差逐漸增大。由于本文計(jì)算的數(shù)據(jù)已經(jīng)用于設(shè)計(jì)實(shí)際樣機(jī)，并且得到了實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果和仿真的證實(shí)，可以充分說明本文方法與其他理論計(jì)算方法相比具有優(yōu)越性。

構(gòu)建類似文獻(xiàn)[6]中鐵心電抗器三維模型，即：①具有多個鐵心餅和氣隙串聯(lián)；②鐵心餅為圓形；③鐵心直徑為150 mm，氣隙長度為20 mm，鐵心餅為50 mm。為避免上端餅和下端餅處的誤差，在模型的上、下端餅串聯(lián)一個很小的氣隙（計(jì)算磁阻可忽略）。三維剖分模型如圖6和圖7所示，

仿真計(jì)算出的總電感為39.238 mH；采用式（5）計(jì)算的漏電感值為6.147 6 mH；主電感值為33.090 4 mH，代入到公式：

這樣計(jì)算出來的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)k為4.346 6，而文獻(xiàn)[7]中給出的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)為1.344。原因在于：按照式（11）計(jì)算出的氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)k對應(yīng)的氣隙長度不是lq，而應(yīng)該是nlq，所以本文方法的適用場合與其他文獻(xiàn)方法不同，本文方法適用場合為：

1）構(gòu)建的鐵心電抗器模型中僅需有一個氣隙；

2）鐵心截面為圓形或矩形；

3）同時適用于計(jì)算大氣隙和小氣隙；

文獻(xiàn)[6]適用場合為：

1）無窮多個鐵心餅與氣隙串聯(lián)，且僅適用中間段的氣隙（局限性：實(shí)際鐵心電抗器鐵心餅個數(shù)很少）；

2）鐵心截面為圓形（局限性：實(shí)際鐵心截面為多級梯形或者為矩形）；

3）計(jì)算模型氣隙處磁力線只在相鄰鐵心餅之間跨越（局限性：過于簡單化與理想化，仿真結(jié)果可以看出磁力線不僅僅只在相鄰的鐵心餅之間跨越）；

4）氣隙的磁位分布用二次函數(shù)假設(shè)逼近。

即使本文方法構(gòu)建的鐵心電抗器模型中僅需有一個氣隙。但本文方法計(jì)算所得的k依然可以用于設(shè)計(jì)具有多個氣隙和鐵心餅串聯(lián)的場合，這一點(diǎn)可以得到仿真的證實(shí)，下面結(jié)合一個例子說明。本文方法計(jì)算出氣隙長度為10 mm，鐵心截面積為5 024 mm×mm（對應(yīng)鐵心直徑80 mm）時，氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)為2.126 7。將該系數(shù)用于設(shè)計(jì)具有兩個氣隙的鐵心電抗器所得結(jié)果見表5。

4 影響因素

4.1 氣隙長度

利用控制變量法和ANSYS軟件對仿真模型結(jié)構(gòu)變化的敏感性，仿真計(jì)算出大量數(shù)據(jù)（電感值），并結(jié)合公式（4）研究氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與氣隙長度的關(guān)系。從公式（4）可以看出：氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與氣隙長度lq呈正比關(guān)系。該關(guān)系可以在圖8中得到進(jìn)一步證實(shí)。

圖8給出了鐵心截面積分別為5 024 mm2、6 358 mm2、7 850 mm2和9 498 mm2時的4條曲線（對應(yīng)鐵心直徑從80 mm到110 mm），每條曲線趨勢基本為正比例關(guān)系；且鐵心截面積越大時，曲線斜率越小。這一點(diǎn)可以理解為：鐵心截面積大時，鐵心有足夠的空間可供磁通流過，邊緣效應(yīng)小。

4.2 鐵心截面積

把公式（4）整理成氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與鐵心截面積的關(guān)系式：

可以看出：氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與鐵心截面積呈反比關(guān)系，如圖9所示。

上圖給出了氣隙長度分別為5 mm、10 mm和15 mm時，氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)隨鐵心截面積的增大而減小；這三條曲線中，氣隙長度大的曲線位于上方。這一點(diǎn)可以理解為：氣隙長度起主導(dǎo)作用，氣隙越大，邊緣效應(yīng)越大。

4.3 鐵心相對磁導(dǎo)率

由式（4）分母最后一項(xiàng)可知，當(dāng)認(rèn)為鐵心相對磁導(dǎo)率為無窮大或者鐵心磁路等效長度lt很?。╨t遠(yuǎn)小于μr）時，可以忽略鐵心材料的磁阻，此時氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)與鐵心相對磁導(dǎo)率無關(guān)。然而，在實(shí)際工作的設(shè)備中，鐵心磁路長度lt為一定值，或者鐵心出現(xiàn)飽和時相對磁導(dǎo)率不是無窮大值，這時就不能忽略鐵心相對磁導(dǎo)率對氣隙等效導(dǎo)磁面積的影響，如圖10所示。

圖10給出鐵心直徑為80 mm、氣隙長度為1 mm時，氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)隨鐵心相對磁導(dǎo)率增大而減小，該曲線陡度也不斷減小逐漸趨于穩(wěn)定。這一點(diǎn)可以理解為：鐵心相對磁導(dǎo)率很大時，對磁力線的“吸引”很強(qiáng)，邊緣效應(yīng)??；當(dāng)鐵心飽和或者趨于飽和時，鐵心相對磁導(dǎo)率減小，邊緣效應(yīng)增強(qiáng)。還可以看出：即使鐵心相對磁導(dǎo)率變化范圍很大（從1 000到10 000），氣隙等效導(dǎo)磁面積擴(kuò)大系數(shù)的變化范圍卻很?。◤?.362 8到1.156 2）。這可以認(rèn)為：相比于其他影響因素而言，鐵心相對磁導(dǎo)率不是主要影響因素。

4.4 綜合因素

為更形象描述各種因素對氣隙等效導(dǎo)磁面積的綜合影響，本文給出了k的三維曲面圖，如圖11所示。鐵心電抗器電感值的三維曲面圖，如圖12所示。

5 結(jié) 論

本文所提出用于計(jì)算氣隙等效導(dǎo)磁面積的方法可有效避免漏電感的影響，提高了計(jì)算精確度；該方法的正確性得到了實(shí)驗(yàn)和仿真的證實(shí)；氣隙邊緣效應(yīng)的主要影響因素依次為：氣隙長度、鐵心截面積和鐵心相對磁導(dǎo)率，影響程度：氣隙長度>鐵心截面積>鐵心相對磁導(dǎo)率；k與lq呈正比關(guān)系，k與S0和μr呈反比關(guān)系。

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（編輯：劉素菊）