楊楚怡 管明峰

摘 要：本文通過討論均值不等式的一般形式，對調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間的關(guān)系及其應(yīng)用條件、注意事項進(jìn)行了分析，以解決實際生活、生產(chǎn)中對這幾種平均數(shù)的誤用問題，具有一定意義。

關(guān)鍵詞：均值不等式；調(diào)和平均數(shù)；幾何平均數(shù)；算術(shù)平均數(shù)

中圖分類號：O212文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式非常重要，它在高考數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)的頻率也特別高，故高中數(shù)學(xué)老師在講解這個知識點的時候都會花費大量力氣。但是，在高中階段學(xué)習(xí)均值不等式更多地是通過變換技巧來應(yīng)付考試。因此，對于均值不等式的學(xué)習(xí)，還需要我們拓展研究它的一些具體應(yīng)用。高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式的形式為

2 算術(shù)平均數(shù)的選擇

在社會經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)中，當(dāng)總體單位總量一定時，且總體標(biāo)志值總量是由總體中各單位標(biāo)志值求和而得，則計算平均指標(biāo)使用算術(shù)平均數(shù)。

例1：設(shè)某工廠有4個車間生產(chǎn)同一型號產(chǎn)品，八月份的產(chǎn)量分別為80臺、76臺、68臺和84臺，問八月份這四個車間的平均產(chǎn)量是多少？

分析：總體單位總量（車間總數(shù)）為4個，各單位標(biāo)志值（每車間生產(chǎn)臺數(shù)）分別為80臺、76臺、68臺和84臺，總體標(biāo)志值總量（總臺數(shù)）為308臺，故八月份這四個車間的平均產(chǎn)量為：

平均產(chǎn)量=3084=77（臺）

3 幾何平均數(shù)的選擇

在社會經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)中，當(dāng)討論的總比率或總速度是由各項變量值的連乘積獲得的時候，要計算對應(yīng)的平均速率或平均速度，應(yīng)使用幾何平均數(shù)來求。

例2：某瓷器生產(chǎn)廠在備好料泥以后，要依次經(jīng)過成型車間、刻繪車間、施釉車間和燒制車間的處理，最終才能生產(chǎn)出精美的瓷器，某一月份這四個車間的生產(chǎn)合格率分別為98%、95%、99%和90%，求這一月份這四個車間的平均合格率？

分析：由于這四個車間生產(chǎn)是四道工序，是對同一對象進(jìn)行處理，前一車間合格品是后一車間加工對象，四個車間的總合格率是每個車間合格率的連乘積。在這里，要使用幾何平均數(shù)處理平均合格率問題，也即：

除了例2中討論的情況外，一般在描述事物前后單位時間內(nèi)的連續(xù)增長變化的環(huán)比情況時，處理平均數(shù)問題也要使用幾何平均數(shù)。比如，經(jīng)濟(jì)逐年環(huán)比增長、人口逐年環(huán)比增長、復(fù)利計息問題[2]等。

4 調(diào)和平均數(shù)的選擇

從實際應(yīng)用的角度看，調(diào)和平均數(shù)可由算術(shù)平均數(shù)變形得到，是由掌握不同資料對同一問題以兩種形式加以解決。故實際應(yīng)用中，能使用調(diào)和平均數(shù)的地方，也常可用算術(shù)平均數(shù)來解決。

例3：有三種款式的書簽標(biāo)價分別為0.1元/張、0.2元/張和0.5元/張，小明買下三款書簽分別花費1元錢，求小明買的書簽每張平均價格是多少？

分析：直接使用調(diào)和平均數(shù)來求，可得

對于調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系問題，也存在不同看法，如有的學(xué)者認(rèn)為從平均數(shù)的數(shù)理意義上理解，調(diào)和平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)是兩種不同的平均數(shù)，不存在變形的問題[3]，從數(shù)理意義上理解也有其道理，也是我們應(yīng)該了解的。

5 加權(quán)平均數(shù)

在平均數(shù)應(yīng)用中，經(jīng)常還要考慮總體中不同個體的作用或貢獻(xiàn)度的區(qū)別，也就是要考慮權(quán)重因素，最常見的就是在跳水比賽中每個運動員每一跳得到的平均成績都是使用了加權(quán)平均數(shù)的處理方式。

加權(quán)平均數(shù)中的“權(quán)數(shù)”的表現(xiàn)形式多樣，當(dāng)權(quán)數(shù)發(fā)生變化時，對應(yīng)得到的結(jié)果可能會大相徑庭，這一特殊性，越來越受到人們的重視，在實踐中應(yīng)用越來越廣泛，使得分析問題更公正客觀。

以上主要通過對高中階段學(xué)習(xí)的均值不等式進(jìn)行進(jìn)一步探討，給出一般的均值不等式的形式。對不等式中的平均數(shù)概念進(jìn)行了討論，更好的明確了各平均數(shù)應(yīng)用的條件，及注意的事項，為實際生產(chǎn)中正確使用平均數(shù)提供了較清晰的方法，防止張冠李戴，具有一定意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]舒曉慧，劉建平.關(guān)于幾種平均數(shù)關(guān)系的構(gòu)造法證明及推廣[J].懷化學(xué)院學(xué)報，2004，23（2）：20-21.

[2]朱艷，季桂林.淺談統(tǒng)計中算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的正確應(yīng)用[J].濟(jì)南職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2012，6：54-55.

[3]馮勝群.正確認(rèn)識平均數(shù)、平均指標(biāo)、集中趨勢的涵義和關(guān)系[J].江蘇統(tǒng)計應(yīng)用研究，2001，9：13-16.

作者簡介：楊楚怡（2002-），女，安徽蚌埠人，安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)高三二班學(xué)生；管明峰（1982-），男，安徽蚌埠人，理學(xué)學(xué)士，安徽省固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)一級教師。