張軍, 何旺驍, 金亮, 王麗娟

(1.西安交通大學(xué)體育中心, 710049, 西安; 2.西安交通大學(xué)生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 710049, 西安;3.西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)部, 710061, 西安; 4.西安交通大學(xué)理學(xué)院, 710049, 西安)

在臨床醫(yī)學(xué)和體育科學(xué)領(lǐng)域,利用非侵入式方法準(zhǔn)確確定腳踝作用力的需求在各種診斷與研究中越來越迫切[1]。針對(duì)這一需求,已有研究者利用正向動(dòng)力學(xué)和逆動(dòng)力學(xué)這2種基本方法建立了一些模型[2-4],并用于估測踝關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)過程中關(guān)節(jié)的力矩和受力[5]。一些學(xué)者利用這些模型研究了運(yùn)動(dòng)員[6]和關(guān)節(jié)炎患者[7]踝關(guān)節(jié)的受力狀態(tài),并得出了令人滿意的結(jié)果。例如:Kakihana等分析了橫向楔形鞋墊對(duì)踝關(guān)節(jié)和距下關(guān)節(jié)力矩的影響[8];Pain等估測了下落著地時(shí)軟組織活動(dòng)對(duì)關(guān)節(jié)力矩和作用力的影響[9]。此外,還有研究者對(duì)相關(guān)模型進(jìn)行了改進(jìn),進(jìn)一步提高了模型的精度,并利用復(fù)雜的人體三維模型計(jì)算了踝關(guān)節(jié)的受力情況[10]。

然而,到目前為止還沒有一個(gè)可以系統(tǒng)地描述包括肌肉力量、分段加速度和力矩的下肢踝關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型,這在一定程度上限制了與踝關(guān)節(jié)相關(guān)的醫(yī)學(xué)診斷和運(yùn)動(dòng)受力的研究。因此,本文基于逆動(dòng)力學(xué)方法,結(jié)合身體姿態(tài)和身體所受外力的測量結(jié)果,建立了一個(gè)簡化動(dòng)力學(xué)下肢模型和相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程,用來系統(tǒng)地描述踝關(guān)節(jié)在不同運(yùn)動(dòng)方式和負(fù)重情況下的受力。其中,身體姿態(tài)采用高速攝像機(jī)拍攝固定于受試者四肢的標(biāo)記物的運(yùn)動(dòng)軌跡得到,身體外部受力則由力平臺(tái)記錄[11]。根據(jù)相鄰肢體上跟蹤目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡,計(jì)算出各段肢體的相對(duì)位置和姿態(tài),從而確定關(guān)節(jié)角度;通過不同的操作,從這些數(shù)據(jù)中進(jìn)一步得到速度和加速度。之后,根據(jù)加速度以及身體受到的其他外部作用力預(yù)測相應(yīng)關(guān)節(jié)的作用力和力矩,再結(jié)合肌肉的解剖學(xué)數(shù)據(jù)與身體各部位的生物力學(xué)參數(shù),具體計(jì)算出關(guān)節(jié)作用力數(shù)據(jù)。

先前的許多研究已經(jīng)證明,不同的足部狀態(tài)(包括穿著不同種類的鞋和裸足)對(duì)于踝關(guān)節(jié)受力以及運(yùn)動(dòng)傷害的預(yù)防具有很大的影響[12-13]。利用本文提出的簡化下肢動(dòng)力學(xué)模型和相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程,可對(duì)不同足部狀態(tài)(穿著運(yùn)動(dòng)鞋、穿著登山鞋以及裸足)下踝關(guān)節(jié)的受力情況進(jìn)行分析驗(yàn)證,并進(jìn)一步為挑選合適的鞋類從而防止運(yùn)動(dòng)損傷提供依據(jù)。

1 人體下肢的簡化動(dòng)力學(xué)模型

用二維剛性桿模型來模擬下肢,由測得的身體各部分的重力和足底壓力,利用力矩平衡方程來確定關(guān)節(jié)力矩。在更為精確的分析中,應(yīng)考慮肌肉和關(guān)節(jié)的作用力。

在圖1所示的模型中:人體的上半身被看作是一個(gè)附著在髖關(guān)節(jié)之上的砝碼,腿和腳由二維剛性桿模型模擬,踝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)被簡化為鉸鏈連接,肌肉作用力分別由小腿兩端的未知作用力表示,如圖1a、1b所示;作用于腳上的力包括腳的重力Gf、脛前力F1、腓腸肌作用力F2、踝關(guān)節(jié)作用力Fa和地面反作用力Fg,如圖1c所示。

踝關(guān)節(jié)的受力包括x軸方向的Fa,x和y軸方向的Fa,y。根據(jù)牛頓第二定律,性力等于腳部其他力在x軸方向分力的合力,即

腳部在x軸方向的慣

1:身體上半部分;2:股四頭肌;3:大腿;4:股二頭肌;5:腓腸肌;6:小腿;7:脛骨前肌;8:足部(a)下肢剛性桿模型

(b)腿足二維剛性桿模型

(c)足部受力簡圖圖1 下肢力學(xué)模型及受力圖解

(1)

式中:xA為A點(diǎn)的x軸坐標(biāo);mf為腳部的質(zhì)量;F1,x、F2,x、Fa,x和Fg,x分別代表脛前力、腓腸肌作用力、踝關(guān)節(jié)作用力和地面反作用力在x軸方向的分力。同樣,y軸方向的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(2)

式中:yA為A點(diǎn)的y軸坐標(biāo);F1,y、F2,y、Fa,y和Fg,y分別代表脛前力、腓腸肌作用力、踝關(guān)節(jié)作用力和地面反作用力在y軸方向的分力。值得注意的是,該等式考慮了重力的影響。

根據(jù)力矩平衡原理,可以得到如下方程

(3)

式中:Jf為腳部的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;α為腳部的角度;Ma,x、Ma,y、M2、M1、Mg,x和Mg,y分別代表Fa,x、Fa,y、F2、F1、Fg,x和Fg,y指向質(zhì)心的力矩。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的肌肉解剖數(shù)據(jù)和幾何知識(shí),利用三角函數(shù)可將F1和F2分別分解為F1,x、F1,y、F2,x、F2,y的加和形式。由于足底的壓力中心在模型中視為做勻速運(yùn)動(dòng),所以地面反作用力在y軸方向的力矩Mg,y可以用Fg,y和t/tt來表示。為統(tǒng)一計(jì)算,所有受試者都是由腳部開始接觸力平臺(tái)開始計(jì)時(shí),到腳部離開力平臺(tái)計(jì)時(shí)結(jié)束。為精確求解,總時(shí)間tt在下面的例子中均取0.94 s。

2 控制方程

由于三角函數(shù)的形式復(fù)雜,方程組仍然難以求解,因此有必要利用限制變量變化范圍的方法來簡化方程。簡化后的方程如下

(4)

Fg,x+0.1Fa,y(t)-0.1mfg

(5)

式中:lf為腳的長度。

讀了那么多年書，到頭來卻寫不準(zhǔn)常見字，如此荒誕的時(shí)代病見于很多人。在這個(gè)握著鼠標(biāo)放下筆桿的時(shí)代里，鍵盤上的手指翻飛代替了白紙上的一筆一畫；網(wǎng)絡(luò)上的檢索復(fù)制代替了頭腦中的凝詞煉句。而學(xué)校里漢字教學(xué)日漸縮水，生活中網(wǎng)言網(wǎng)語屢見不鮮，甚至一些字典也干脆“順乎潮流”“將錯(cuò)就錯(cuò)”……長年累月下來，越來越多的人開始淡忘漢字的具體構(gòu)造，只識(shí)得大體輪廓，遑論對(duì)于漢字之美的“上下求索”了。近些年，相關(guān)討論時(shí)而出現(xiàn)，如今已經(jīng)降級(jí)到“具字有幾橫”的水平，令人遺憾。而很多人猛然發(fā)現(xiàn)，打字慣了的自己已經(jīng)忘記了“忘字”本身，恐怕這才是最“細(xì)思極恐”的。

通過計(jì)算人體的生物力學(xué)參數(shù),測量地面對(duì)下肢的反作用力和運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)據(jù),可以由以上的方程確定踝關(guān)節(jié)的受力。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求解上述控制方程(4)和(5)分為2個(gè)步驟:生物力學(xué)參數(shù)的計(jì)算;方程(4)和(5)的數(shù)值求解。第一步,確定參數(shù)mf、mc、Jf、lf、lc和Jc(下角標(biāo)f表示腳,c表示質(zhì)心,這里將腳部的幾何中心視為質(zhì)心);第二步,利用高速攝像機(jī)和力平臺(tái)獲得的足部運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)據(jù),求得控制方程(4)和(5)的數(shù)值解。踝關(guān)節(jié)所受的合力Fa可由以下方程計(jì)算得到

(6)

3 實(shí)驗(yàn)部分

3.1 實(shí)驗(yàn)對(duì)象、材料及設(shè)備

實(shí)驗(yàn)對(duì)象是6名從西安體育學(xué)院篩選的男性運(yùn)動(dòng)員,身體各項(xiàng)參數(shù)如下:身高(173.0±4.0) cm;體質(zhì)量(61.7±4.7) kg;年齡(20.7±0.5)歲;腳長(27.3±0.8) cm。

實(shí)驗(yàn)材料:哥倫比亞登山鞋、耐克運(yùn)動(dòng)鞋各3雙(腳長分別為26.5、27.5、28 cm,故每種鞋選擇42、43、44歐碼各1雙)。

使用CASIO攝像機(jī)記錄運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)據(jù),使用力平臺(tái)(KISTLER 9287C,瑞士)捕獲動(dòng)力學(xué)信息。

3.2 實(shí)驗(yàn)步驟

實(shí)驗(yàn)包括基本數(shù)據(jù)測量、實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備工作、熱身和不同條件下的測試4個(gè)步驟。測試分為站立、行走、跑步和踏步等不同的實(shí)驗(yàn)條件,分別持續(xù)30和60 min。在站立測試時(shí),首先啟動(dòng)高速攝像機(jī)和肌電系統(tǒng),然后啟動(dòng)力平臺(tái)(此時(shí)激活信號(hào)同時(shí)傳輸?shù)狡渌O(shè)備),在受試者右腳向前邁出并站在力平臺(tái)上的同時(shí)記錄數(shù)據(jù)。其他步態(tài)下的測試程序和站立時(shí)相同,但受試者不是停留在力平臺(tái)上,而是向相反的方向行走、跑步或踏步。

3.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)的處理

為計(jì)算質(zhì)心的坐標(biāo)和下肢各部位的傾斜角度,利用動(dòng)作分析系統(tǒng)(APAS)處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù),處理的步驟包括數(shù)字化(在每一輪實(shí)驗(yàn)中利用儀器的目標(biāo)追蹤器件標(biāo)記腳尖、踝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié))、濾波(平滑結(jié)果)、變換(將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式)和顯示(使用表格輸出坐標(biāo))。在進(jìn)一步的處理中,通過反三角函數(shù)和生物力學(xué)數(shù)據(jù),分別得到質(zhì)心坐標(biāo)和身體各部分的傾斜角。利用Bioware軟件輔以Kistler測力平臺(tái),可在Excel中直接實(shí)時(shí)輸出力的數(shù)據(jù)。肌電信號(hào)通過MegaWin軟件用均方根方法取得平均值,并以Excel表格的形式輸出。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

4.1 模型參數(shù)的確定

4.2 模型的建立

用3.1節(jié)中的人體參數(shù)構(gòu)建踝關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型。由圖2～圖4可見,在走路、跑步和踏步時(shí),該模型模擬的受試者受力曲線和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相似,且曲線趨勢與Tang等人利用高性能計(jì)算機(jī)得到的結(jié)果[10]一致。

(a)踝關(guān)節(jié)所受的分力

(b)踝關(guān)節(jié)所受的合力圖2 行走過程中踝關(guān)節(jié)受力的模擬結(jié)果

(a)踝關(guān)節(jié)所受的分力

(b)踝關(guān)節(jié)所受的合力圖3 跑步過程中踝關(guān)節(jié)受力的模擬結(jié)果

(a)踝關(guān)節(jié)所受的分力

(b)踝關(guān)節(jié)所受的合力圖4 踏步過程中踝關(guān)節(jié)受力的模擬結(jié)果

隨后,對(duì)無負(fù)重、不同步態(tài)(行走、跑步和踏步)下5位受試者的踝關(guān)節(jié)受力進(jìn)行模擬和分析,得到平均作用力(峰面積除以時(shí)間)、峰值力和沖量(曲線對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分),如圖5所示,可見踏步時(shí)的平均作用力比跑步時(shí)的值高30%,比行走時(shí)的值高將近3倍;行走、跑步和踏步的峰值力表現(xiàn)出相同的趨勢。此外,不同步態(tài)下的沖量幾乎相等,說明在3種步態(tài)下踝關(guān)節(jié)的總受力幾乎是相同的。

(a)平均作用力

(b)峰值力

(c)沖量圖5 無負(fù)重時(shí)不同步態(tài)下踝關(guān)節(jié)的平均作用力、峰值力和沖量

采用相同的實(shí)驗(yàn)方法,模擬外加10 kg負(fù)重后不同步態(tài)下踝關(guān)節(jié)的受力曲線,處理后的數(shù)據(jù)如圖6所示,可見與圖5一樣,踏步時(shí)踝關(guān)節(jié)的平均受力大于跑步和行走時(shí)的平均受力。行走、跑步和踏步的受力峰值也存在相同的趨勢。

5 討 論

5.1 模型的驗(yàn)證

(a)平均作用力

(b)峰值力

(c)沖量圖6 負(fù)重時(shí)不同步態(tài)下踝關(guān)節(jié)的平均作用力、峰值力和沖量

研究結(jié)果表明,本文提出的簡化動(dòng)力學(xué)模型和其他的復(fù)雜模型[1]以及計(jì)算機(jī)軟件的分析模擬[15-16]一樣,能夠有效預(yù)測出踝關(guān)節(jié)受力。用本文模型獲得的肌肉受力曲線與肌電圖檢測顯示的肌電信號(hào)曲線具有相似的變化趨勢,即在肌肉等長收縮時(shí),肌肉受力隨著肌電信號(hào)增強(qiáng)而增加,由此表明,本文的簡化動(dòng)力學(xué)模型具有較強(qiáng)的合理性和科學(xué)性[16]。此外,肌電信號(hào)曲線和肌肉受力曲線總是同時(shí)達(dá)到最大值,這種相似性也在一定程度上進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的正確性與合理性。

5.2 生理學(xué)解釋

將圖5、圖6所示的平均作用力和峰值力數(shù)據(jù)除以體質(zhì)量,可得到平均加速度aave和峰值加速度apeak,結(jié)果如圖7所示(圖中重力加速度g取9.8 m/s2)。由圖7可知:行走、跑步和踏步的峰值力具有相同的趨勢;相比行走和跑步,踝關(guān)節(jié)在踏步時(shí)受到的作用力更大;踏步時(shí)踝關(guān)節(jié)的峰值力較大,所以踝關(guān)節(jié)更容易受到傷害,提示在跳躍等動(dòng)作不能避免的情況下,應(yīng)當(dāng)更加注意保護(hù)踝關(guān)節(jié);在10 kg負(fù)重的情況下,跑步時(shí)的平均加速度和峰值加速度值大于踏步時(shí)的值,提示在負(fù)重跑步時(shí)應(yīng)當(dāng)更加注意踝關(guān)節(jié)的保護(hù)。另外,根據(jù)圖7很容易發(fā)現(xiàn),行走和跑步時(shí)負(fù)重會(huì)增加踝關(guān)節(jié)壓力(平均加速度和峰值加速度更大),這符合一般的常識(shí)。然而,踏步時(shí)的相應(yīng)結(jié)果卻是相反的,對(duì)于這一現(xiàn)象最合理的解釋是,10 kg負(fù)重條件下被測者的重心明顯降低了。

(a)平均加速度

(b)峰值加速度圖7 有、無負(fù)重時(shí)不同步態(tài)下踝關(guān)節(jié)的加速度

本文模型的局限性是暫時(shí)無法校正肌肉等長收縮和重心移動(dòng)帶來的計(jì)算誤差。為了克服這一局限性,可以將個(gè)體的模型參數(shù)與其導(dǎo)出的個(gè)體骨骼參數(shù)和肌肉參數(shù)相結(jié)合,例如借助ISOFIT方法[17],并且可利用測得力的可視化反饋來顯著提高受試者被測力的整體精度,以進(jìn)一步提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型的匹配程度。

5.3 不同鞋類對(duì)踝關(guān)節(jié)受力的影響分析

利用本文的下肢受力模型和相同的試驗(yàn)方法,分別測定在無負(fù)重或10 kg負(fù)重、不同足部狀態(tài)(穿著運(yùn)動(dòng)鞋、穿著登山鞋或裸足)下踝關(guān)節(jié)的平均受力情況,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

(a)無負(fù)重

(b)負(fù)重10 kg圖8 有、無負(fù)重時(shí)不同足部狀態(tài)在3種步態(tài)下的踝關(guān)節(jié)平均受力情況

與前述實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似,在無負(fù)重和負(fù)重10 kg的情況下,踏步時(shí)的踝關(guān)節(jié)平均受力均顯著高于其他2種步態(tài)時(shí)的受力,提示應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注踏步時(shí)踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)損傷的預(yù)防。此外,在踏步時(shí)穿著合適的鞋類(如運(yùn)動(dòng)鞋,登山鞋等)能夠顯著分散踝關(guān)節(jié)受力,從而可有效降低踝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)傷害風(fēng)險(xiǎn)。運(yùn)動(dòng)鞋相比登山鞋具有更好的受力分散效果,這可能是由于運(yùn)動(dòng)鞋鞋底的緩沖材質(zhì)比登山鞋鞋底的防滑耐磨材質(zhì)能更好地吸收、分散踝關(guān)節(jié)的受力,同時(shí)運(yùn)動(dòng)鞋高幫的設(shè)計(jì)能幫助固定腳踝部位免受移位、扭傷等困擾[18]。

6 結(jié)束語

本文建立了一個(gè)簡化的下肢動(dòng)力學(xué)模型,用二維剛性桿模型模擬下肢,踝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)被簡化為鉸鏈連接,肌肉作用力分別由小腿兩端的未知作用力表示,并根據(jù)測得的身體各部分重力和足底壓力,利用力矩平衡方程來確定關(guān)節(jié)力矩。針對(duì)該模型建立了相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)方程,結(jié)合高速攝像機(jī)和力平臺(tái)獲得的數(shù)據(jù),便捷地得到了較高精度的踝關(guān)節(jié)受力數(shù)據(jù),并使用APAS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)處理。利用該動(dòng)力學(xué)模型,可以評(píng)估踝關(guān)節(jié)的受力情況,評(píng)價(jià)不同步態(tài)(如行走、跑步和踏步等)以及有、無負(fù)重時(shí)踝關(guān)節(jié)受力的差別,還可對(duì)穿著不同鞋類(如運(yùn)動(dòng)鞋、登山鞋)和裸足時(shí)的踝關(guān)節(jié)受力進(jìn)行對(duì)比分析。此項(xiàng)研究可應(yīng)用于下肢保護(hù)器具與鞋類研發(fā)中對(duì)踝關(guān)節(jié)受力的評(píng)價(jià),并且可為臨床上更為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)行為研究提供參考。

參考文獻(xiàn):

[1] WAGNER H, BOSTR?M K, RINKE B. Predicting isometric force from muscular activation using a physiologically inspired model [J]. Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, 2011, 10(6): 955-961.

[2] JONKERS I, SPAEPEN A, PAPAIOANNOU G, et al. An EMG-based, muscle driven forward simulation of single support phase of gait [J]. Journal of Biomechanics, 2002, 35(5): 609-619.

[3] SETH A, PANDY M G. A neuromusculoskeletal tracking method for estimating individual muscle forces in human movement [J]. Journal of Biomechanics, 2007, 40(2): 356-366.

[4] BUCHANAN T S, LLOYD D G, MANAL K, et al. Neuromusculoskeletal modeling: estimation of muscle forces and joint moments and movements from measurements of neural command [J]. Journal of Applied Biomechanics, 2004, 20(4): 367.

[5] 張軍, 李建喜, 夏鈺坤, 等. 行走過程中人體下肢受力模型的建立與驗(yàn)證 [J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 49(9): 134-140.

ZHANG Jun, LI Jianxi, XIA Yukun, et al. Establishment and verification of a mechanical model for analyzing the forces acted on lower limb during walking [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2015, 49(9): 134-140.

[6] BUCKWALTER J A, LANE N E. Athletics and osteoarthritis [J]. Am J Sport Med, 1997, 25: 873-881.

[7] HURWITZ D, RYALS A R, BLOCK J A, et al. Ankle pain and joint loading in subjects with osteoarthritis of the ankle [J]. J Orthop Res, 2000, 18: 572-579.

[8] KAKIHANA W, AKAI M, NAKAZAWA K, et al. Effects of laterally wedged insoles on ankle and subtalar joint moments [J]. Arch Phys Med Rehab, 2005, 86: 1465-1471.

[9] PAIN M T, CHALLIS J H. The influence of soft tissue movement on ground reaction forces, joint torques and joint reaction forces in drop landings [J]. J Biomech, 2006, 39: 119-124.

[10] TANG G, ZHANG X A, ZHANG L L, et al. A technical method using musculoskeletal model to analyse kinetic properties of muscles during human movement [J]. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, 2011, 14: 615-620.

[11] ORLIN M N, MCPOIL T G. Plantar pressure assessment [J]. Phys Ther, 2000, 80: 399-409.

[12] 何俊良, 劉宇, 傅維杰, 等. 高低幫籃球鞋對(duì)踝關(guān)節(jié)穩(wěn)定性及肌肉活動(dòng)影響的研究 [C]∥第十四屆全國運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)學(xué)術(shù)交流大會(huì)論文集. 北京: 中國體育科學(xué)學(xué)會(huì), 2010: 409-413.

[13] 曲毅. 慢跑鞋鞋底硬度對(duì)舒適性及緩沖性能的影響 [D]. 北京: 北京體育大學(xué), 2013.

[14] SCHMITT D. Insights into the evolution of human bipedalism from experimental studies of humans and other primates [J]. Journal of Experimental Biology, 2003, 206(9): 1437-1448.

[15] DELP S L, ANDERSON F C, ARNOLD A S, et al. OpenSim: open-source software to create and analyze kinetic simulations of movement [J]. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2007, 54(11): 1940-1950.

[16] DELP S L, LOAN J P. A computational framework for simulating and analyzing human and animal movement [J]. Computing in Science & Engineering, 2000, 2(5): 46-55.

[17] WAGNER H, SIEBERT T, ELLERBY DJ, et al. ISOFIT: a model-based method to measure muscle-tendon properties simultaneously [J]. Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, 2005, 4(1): 10-19.

[18] 蔡宇輝. 慢跑鞋鞋底緩沖減震功能的對(duì)比研究 [D]. 北京: 北京師范大學(xué), 2007.

[本刊相關(guān)文獻(xiàn)鏈接]

仲繼澤,謝志強(qiáng),沈渡,等.基于空間分布彈性模量的快速動(dòng)網(wǎng)格方法[J].2018,52(2):136-139.[doi:10.7652/xjtuxb 201802021]

張勝倫,裴世源,徐華,等.考慮瞬態(tài)沖擊和彈性變形的滑動(dòng)軸承特性與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[J].2018,52(1):100-106.[doi:10.7652/xjtuxb201801015]

申建廣,陶濤,梅雪松,等.一種數(shù)控滾齒機(jī)工作臺(tái)動(dòng)態(tài)特性建模方法及實(shí)驗(yàn)分析[J].2017,51(12):1-7.[doi:10.7652/xjtuxb201712001]

楊芳,陳渭,李培.接觸力模型對(duì)含間隙鉸接副多體系統(tǒng)分析的影響[J].2017,51(11):106-117.[doi:10.7652/xjtuxb2017 11015]

尹貴,張小棟,陳江城,等.下肢康復(fù)機(jī)器人按需輔助自適應(yīng)控制方法[J].2017,51(10):39-46.[doi:10.7652/xjtuxb 201710007]

妥吉英,鄧兆祥,張河山,等.新型扭轉(zhuǎn)準(zhǔn)零剛度的振動(dòng)角度傳感系統(tǒng)[J].2017,51(8):90-95.[doi:10.7652/xjtuxb2017 08015]

李文嘉,王安麟,曹巖,等.面向變矩器設(shè)計(jì)性能的平面流模型選用方法[J].2017,51(7):78-83.[doi:10.7652/xjtuxb 201707012]