邢家省，楊義川

(1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京 100191；2.北京航空航天大學數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

判斷函數(shù)列的一致收斂性是經典數(shù)學分析中的重要課題.奧斯古德定理和狄尼定理是判斷函數(shù)列一致收斂的一個充分條件，在數(shù)學分析中是常用定理.狄尼定理的另一種形式在數(shù)學分析中一般不作為定理，人們在使用它時不得不重復證明.筆者將對狄尼定理的另一種形式的結果給出證明，并將此結果應用于分布函數(shù)列的一致收斂性研究.對于隨機變量序列的分布函數(shù)列的收斂性，以往僅著重于弱收斂性，而對于一致收斂性的重視不夠.在實際應用中，分布函數(shù)列的一致收斂性是需要的，特別是要為近似計算提供理論依據(jù).

1 狄尼定理的另一種形式

定理1[1-7]設函數(shù)序列{fn(x)}在[a,b]上逐點收斂于函數(shù)f(x),若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且對于每個n,fn(x)都是[a,b]上的單調函數(shù),則 {fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x).

|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤

|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+

|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，

即{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x).

2 隨機變量序列的分布函數(shù)列的一致收斂性

Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，

1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.

因此，對于x<-M，若n≥N1，則

|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.

同樣地，對于x>M，若n>N1，則

|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤

1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.

已知F(x)在[-M,M]上連續(xù)，由于Fn(x)都是[-M,M]上的單調遞增函數(shù)，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收斂于F(x).對于上述ε，存在正整數(shù)N(N>N1)，當n>N時，對于?x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.綜上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收斂于F(x).

3 中心極限定理結果的進一步表述

中心極限定理是概率論中的重要結果，但往往僅表述為“分布函數(shù)列的點點收斂”，這對于近似計算理論是不夠用的，應表述為“分布函數(shù)列的一致收斂”這樣的深刻結果，才能為近似計算提供嚴密的理論依據(jù).

4 t-分布的隨機變量序列的極限分布直接證明方法

t-分布的隨機變量序列的極限分布是正態(tài)分布，這個結果是熟知的且有多種證明方法，但某些證明方法利用的知識較多，過于復雜.現(xiàn)給出2種直接證明方法.

關于x∈(-∞,+∞)是一致的.

5 隨機變量序列收斂實例

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