馬叢彥，劉永祿，常海潔

（大連艦艇學(xué)院 航海系，遼寧 大連 116001）

近年來，隨著生產(chǎn)水平的發(fā)展，微粒的研究問題出現(xiàn)在醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、工業(yè)、軍事等領(lǐng)域，如在工業(yè)生產(chǎn)中涉及到粉塵粒子含量的測(cè)量問題以及微粒粒徑的測(cè)量問題。除此之外，空氣中粉塵粒子的增加形成霧霾天氣[1]，并引發(fā)人體的呼吸道疾病。因此研究微粒的米散射理論是十分必要的，對(duì)人類生產(chǎn)發(fā)展、生命健康與改善居住條件都具有重大意義。

米散射理論是由德國(guó)物理學(xué)家Gustav Mie 于18世紀(jì)60年代在研究金屬微粒的散射過程中提出的。起初將米散射運(yùn)用于膠體和大分子物質(zhì)的研究中，但當(dāng)時(shí)計(jì)算條件有限，且大氣光學(xué)進(jìn)展緩慢，米散射理論一直未得到充分的發(fā)展[2]。隨著計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展，諸多國(guó)內(nèi)外研究者開始加入到研究米散射理論中去，并且發(fā)表許多關(guān)于米散射的數(shù)值解析模型。由于計(jì)算方法的不同且不夠完善，許多學(xué)者得到的計(jì)算結(jié)果也存在著巨大的差異[4]。文中主要在前人的基礎(chǔ)上運(yùn)用 Matlab進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，得到不同粒徑、不同散射角下的散射光強(qiáng)和粉塵粒子的散射相函數(shù)，同時(shí)利用 COMS 工業(yè)相機(jī)拍攝激光束圖像的方法來得到粉塵粒子的灰度值，該灰度值表示側(cè)向散射能量的大小即粒子的散射向函數(shù)。

1 米散射理論基礎(chǔ)

對(duì)于米散射系數(shù)的計(jì)算，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者研究得到了許多算法和改進(jìn)算法，其中連分式法和后項(xiàng)遞進(jìn)算法是其中最經(jīng)典的算法。傳統(tǒng)的米散射遞推算法比較容易實(shí)現(xiàn)，但在遞推的過程值誤差會(huì)不斷地累加，且耗時(shí)較為嚴(yán)重[5]。張杰對(duì)大粉塵中煙塵顆粒的Mie散射、消光和吸收截面以及散射場(chǎng)進(jìn)行了計(jì)算，同時(shí)給出了散射場(chǎng)強(qiáng)度隨散射角的變化以及隨著粒子半徑的變化[6]。姬豐等人通過數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算了光散射的強(qiáng)度函數(shù)、消光系數(shù)以及散射系數(shù)。在文中計(jì)算負(fù)反射系數(shù)時(shí)，參考了張合勇計(jì)算散射系數(shù)時(shí)所用的方法，借助了 Matlab軟件里自帶的函數(shù)工具包，避免了復(fù)雜的迭代過程，提高了計(jì)算效率。

經(jīng)典的米散射理論是麥克斯韋方程處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。

如圖 1 所示，O點(diǎn)為散射體所在位置，入射光沿Z軸傳播，P為觀測(cè)點(diǎn)，OP之間距離為r，θ為入射光和反射光的夾角，稱為散射角。

根據(jù)米散射理論可知，當(dāng)入射光強(qiáng)為I0時(shí)，粒子經(jīng)波長(zhǎng)為λ的平面單色光照射，在散射角為θ，距離為r的P點(diǎn)處的散射光強(qiáng)為：

式中：Isca表示散射光強(qiáng)；I0表示入射光的初始光強(qiáng)；λ為入射光的波長(zhǎng)；r表示 P點(diǎn)與微粒之間的距離；φ為入射光的偏振角。散射粒子的尺度參數(shù)α=Dπ/λ，其中λ為入射光的波長(zhǎng)，D為散射粒子的直徑。散射粒子相對(duì)于周圍介質(zhì)的復(fù)折射率為其中m1為散射粒子的折射率，m2為散射粒子對(duì)入射光的吸收率[4]。對(duì)于同種粒子來講，折射率的虛部對(duì)散射光的影響不大[7]，因此給定折射率的虛部為 0.1×i。S1與 S2分別為垂直和平行于散射面的振幅函數(shù)，其表達(dá)式為[7-8]：

式中：an和bn均為米散射的散射系數(shù)；nπ和nτ為散射角函數(shù)，其僅與θ有關(guān)；n為正整數(shù)。在實(shí)際的計(jì)算過程中，因?yàn)閚必須取一個(gè)具體的數(shù)值，文中參考了 Bohren和 Huffman給出的確定 n值的標(biāo)準(zhǔn)：nmax=α+4α1/3+2。

其中，an和 bn的值由復(fù)折射率 m和粒子尺度 α決定，nψ和nξ分別為第一類Bessel函數(shù)和第一類Hankell函數(shù)。對(duì)于 Bessel函數(shù)以及 Hankell函數(shù)，Matlab中擁有內(nèi)置的函數(shù)集可供調(diào)用，以便于對(duì) an和bn的 計(jì)算。

n

π和nτ的函數(shù)表達(dá)式中Pn(cosθ)為締合勒讓德函數(shù)其有如下的循環(huán)關(guān)系[9]：

對(duì)于式（6），nπ和nτ的計(jì)算主要通過遞歸的算法，通過將 Matlab內(nèi)置函數(shù)與遞歸算法的有效結(jié)合得到米散射系數(shù)的值，同時(shí)計(jì)算效率也有效的提高。將計(jì)算所得四個(gè)負(fù)折射系數(shù)帶入式（1）和式（2）中即可得到散射面的振幅函數(shù)和散射光強(qiáng)。

2 散射結(jié)果及討論

2.1 散射光強(qiáng)

近來，空氣污染狀況愈加嚴(yán)重，其中導(dǎo)致空氣污染的主要原因是大氣中粉塵粒子濃度的增加。因此文中側(cè)重于對(duì)粉塵粒子的散射特性進(jìn)行研究，其中主要對(duì)粒徑在0～5 μm（PM2.5左右）的粒子進(jìn)行計(jì)算研究[10]，激光的波長(zhǎng)為 880 nm，以便于后續(xù)的實(shí)驗(yàn)對(duì)比。由此粒子的米散射效應(yīng)是成激光的光束對(duì)稱的，因此文中僅對(duì)0°～180°之間的散射光進(jìn)行分析討論。

圖 2給出了對(duì)應(yīng)不同的粒子粒徑下散射光強(qiáng) I0的分布曲線（其中散射角設(shè)為30°,初始光強(qiáng)設(shè)為1）?？梢钥闯觯Ｗ拥纳⑸鋸?qiáng)度與粒徑呈現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系。當(dāng)粒子的粒徑尺度變大，前向散射的強(qiáng)度變大。

由于不同粒徑的粒子對(duì)激光的反射效率不同，因此對(duì)計(jì)算所得的光強(qiáng)進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理。從圖 2可知：

1）粒子半徑小于0.4 μm時(shí)，粒子的前向散射不明顯，粒子粒徑越小，散射光強(qiáng)越呈90°角對(duì)稱，散射機(jī)理更符合瑞利散射定律。

2）隨著微粒粒徑的增加，粒子的散射光強(qiáng)集中于前向，使得前向散射的光強(qiáng)增加。

3）當(dāng)粒子直徑接接近或大于激光波長(zhǎng)時(shí)，散射光強(qiáng)角度的變化劇烈，粒子的直徑越大，這種變化的趨勢(shì)越復(fù)雜。

圖3a表示粒徑尺度在0～1.1 μm之間的散射光強(qiáng)度，粒徑間隔為0.2 μm。圖3b表示粒徑尺度在1.5～5 μm之間的散射光強(qiáng)度，粒徑間隔為0.5 μm。

2.2 散射相函數(shù)

散射相函數(shù)中相不代表角度，它的含義是一種角度關(guān)系[11]，表示激光經(jīng)過球形粒子散射后的空間能量分布[6,12]。散射相函數(shù)的表達(dá)式為：

粒子散射相函數(shù)隨散射角變化的關(guān)系如圖 4所示，粒徑在0.2～2.5 μm之間變化。其中粒子的散射現(xiàn)象是關(guān)于激光光束對(duì)稱的，因此僅畫出了 0°～180°的散射相函數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒徑半徑小于激光的波長(zhǎng)時(shí)，散射能量在 90°～100°之間存在一個(gè)極小值。隨著粒徑的增加，極小值所對(duì)應(yīng)的角度在減小。隨著粒子尺度的增加，散射能量越來越集中于 0°～20°之間，90°后的散射能量隨粒徑的增加逐步減少，這也符合隨著粒子尺度參數(shù)的增大，微粒前向散射越大的原理。

2.3 實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)程序的可行性，文中從光的散射相函數(shù)出發(fā)，利用MER-031-860U3M NIR近紅外COMS工業(yè)數(shù)字?jǐn)z像機(jī)對(duì) 880納米的紅外激光進(jìn)行近距離的拍攝實(shí)驗(yàn)。表 1 為紅外相機(jī)的主要參數(shù)，其中像素尺度為4.8 μm×4.8 μm僅代表了獲取圖像的清晰程度，像素尺度越大，圖像清晰度越高。對(duì)于捕捉微米級(jí)粒子靠的是相機(jī)感應(yīng)光線的裝置所決定，因此像素尺度不影響粒子的捕捉。圖 5為紅外相機(jī)的響應(yīng)曲線，從曲線上來看，該相機(jī)在880 nm的波段也有較好的響應(yīng)，為實(shí)驗(yàn)提供了設(shè)備支持。

表1 相機(jī)主要性能參數(shù)

圖6 為COMS相機(jī)在室內(nèi)黑暗條件下拍攝的原始圖像。在拍攝過程中，相機(jī)與激光束的距離為 30 cm，相機(jī)置于三腳架的云臺(tái)上，調(diào)整 COMS相機(jī)到合適的拍攝位置進(jìn)行拍攝，通過相機(jī)接口C連接在電腦上，由電腦實(shí)現(xiàn)對(duì)照片的采集。

微粒在激光的傳播中不僅會(huì)有散射作用還有吸收作用，此次試驗(yàn)忽略粒子吸收作用，此次試驗(yàn)激光距相機(jī)的距離為30 cm左右，采集72°～108°之間的散射光，進(jìn)入相機(jī)市場(chǎng)內(nèi)的激光束長(zhǎng)度為20 cm，所以發(fā)射光路徑和接受光路徑的兩個(gè)透射率[13]可近似為1。激光束上每一個(gè)微粒所形成的反射光到達(dá)鏡頭的距離也近似相同，使得散射光到達(dá) COMS相機(jī)鏡頭損失的能量近似相同。

利用COMS相機(jī)拍攝1000張散射圖像，并對(duì)這1000張散射圖像進(jìn)行疊加處理，求均值得到均值圖像。COMS相機(jī)的橫向分辨率為640，相機(jī)的視角為36°，所以每一個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度為0.0563°。拍攝所得的圖像在縱向上也有一定的寬度，文中將圖像上縱向的像素點(diǎn)灰度值進(jìn)行疊加表示 0.0563°范圍內(nèi)增加的散射能量。這樣將散射角從三維的狀態(tài)轉(zhuǎn)化為二維的狀態(tài)，從而使得計(jì)算量大大減少。將各個(gè)角度的散射能量轉(zhuǎn)化為與角度有關(guān)的一個(gè)矩陣長(zhǎng)度為 640的一維數(shù)組。同時(shí)對(duì)數(shù)組進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，只有這樣才能使得角度值與灰度值相匹配。通過將角度與像素點(diǎn)匹配的方式[14]，得到了如圖7所示的散射能量與角度的關(guān)系曲線（72°～108°之間）。

通過相機(jī)的固定拍攝無法得到單個(gè)粒子 0°～108°的散射能量，因此通過連續(xù)拍攝1000張激光圖像做均值處理來代表粉塵粒子的散射能量。室內(nèi)的粉塵粒子在各個(gè)粒徑的都有，將0～2.5 μm的粒子做加權(quán)平均得到平均粒子的散射能量分布。從所得的曲線來看，粒子的散射能有增加的趨勢(shì)，數(shù)值模擬所得的結(jié)果同該曲線走向一致，因此可以通過圖像的灰度值來模擬其散射能量的分布。

3 結(jié)語

文中在經(jīng)典米散射理論的基礎(chǔ)上利用 Matlab特有的 Bessel函數(shù)的命令集使得計(jì)算的效率得到了一定的提高。主要對(duì)0～5 μm內(nèi)的球形粒子進(jìn)行了計(jì)算，得到了不同粒子粒徑在同一散射角下的散射光強(qiáng)、不同散射角的散射光強(qiáng)和散射相函數(shù)與散射角的關(guān)系。此外，利用 COMS相機(jī)拍照的方法得到了激光的散射圖像，利用圖像的灰度值來模擬其散射能量的分布，效果良好，但采用的 COMS相機(jī)的視角太小，在以后實(shí)驗(yàn)過程中需要選取視角較大的紅外相機(jī)。

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